初一下册数学教材

2023年12月11日发(作者：广西数学试卷2020)

圆梦教育

初一数学

简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问第一章 整式

一、数学天地

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。性质

题，比如（x+y）²=x²+2xy+y²，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算

的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。

这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡

三角（Pascal\'sTriangle）。

他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去，

1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。

2、第n行的数字个数为n个。

3、第n行数字和为2^(n－1)。（2的（n-1）次方）

4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。

5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。

6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。

7.两个未知数和的n次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第(n+1)行。

介绍

其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。

杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。

同时，这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律。 因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y

nCr x）。我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2^(x-1)

(即(a+b)^x中a,b都为1的时候) 。上述y^x 指y的x次方，(a nCr b) 指组合数。

而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。

二、知识串讲

1. 单项式

①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

②单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数.

③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

例1.在下列代数式：ab23,4,abc,0,xy,中，单项式有33x【 】

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个

23xy4例2.单项式的次数是【 】 （A）8次 （B）73次 （C）4次 （D）5次

例3.下列说法中正确的是【 】

（A）代数式一定是单项式 （B）单项式一定是代数式

222（C）单项式x的次数是0 （D）单项式－πxy的次数是6。

例4.单项式ab的系数是 ，次数是 。

232.多项式

①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.不含字母的项叫做常数项.

②一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.

例5.在下列代数式：1121ab,ab,ab2b1,3,,x2x1中，222多项式有【 】

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个

例6.下列多项式次数为3的是【 】

222（A）－5x＋6x－1 （B）πx＋x－1 （C）ab＋圆梦教育

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ab＋b2 （D）x2y2－2xy－1

3.整式 单项式和多项式统称为整式.

代数式整式单项式多项式其他代数式

二. 整式的加减

1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.

2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘.

例7. 化简：（1）2a2－3ab＋2b2－（2a2＋ab－3b2）

（2） 2x－（5a－7x－2a）

例8.减去－2x后，等于4x2－3x－5的代数式是什么？

例9.一个多项式加上3x2y－3xy2得x3－3x2y，这个多项式是多少？

三. 同底数幂的乘法

1.同底数幂的乘法法则:

amanamn(m,n都是正数)

2.在应用法则运算时,要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为amanapamnp（其中m、n、p均为正数）；

④公式还可以逆用：amnaman（m、n均为正整数）

例10.

10m110n1=________,64(6)5=______.

例11.

(xy)2(xy)5=_________________.

例12. 若ama3a4,则m=________;若x4xax16,则a=__________。

例13. 若am2,an5,则amn=________.

例14. 下面计算正确的是( )

A．b3b2b6； B．x3x3x6； C．a4a2a6；

D．mm5m6

四．幂的乘方与积的乘方

1. 幂的乘方法则：

amnamn(m,n都是正数)。

2. 积的乘方法则：abnanbn（n为正整数）。

3．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

例15.(1)1003(3)100 =_________ 。

例16. 若xn2,yn3,则(xy)n=_______。

例17. 计算：

（1）

(13ab2c)2

（2）

(a2)na3

（3）

(pq)35(pq)72

（4）

(3a2)3(a2)2a2

（5）(x2yn)2(xy)n1

（6）(p)8(p2)3[(p)3]2

数学笑话

我们都知道0是最小的自然数。有一天，0看见了8，便说：“哥们，今天为什么扎腰带。”8脸红红地走了。0又看见101，便同情地说：“哥们，你真惨，双拐都架上了，真是可怜”101顿时火冒三丈，对0说：“你不惨，到现在还是光棍一个。看看人家10都成双成对了”。0脸红了，便去找10评理。他气愤地说：“小样儿，傍了大款就以为我不认识你了”。10委屈地哭了。“1”对“7”说：兄弟，你啥时候被人把腰打断了？“7”对“1”说：你啥时候被人把脑袋砍掉了？“0”对“9”说：别以为装大尾巴狼就能吓唬人。“9”对“0”说：别以为剪掉尾巴你就是个人物了。“1”对“0”说：说你啥也不是，你还不承认。“0”对“1”说：就你好，你要是出息咋一辈子打光棍呢？“0”对“8”说：朋友，你啥时候买了根裤腰带呢？“8”对“0”说：你也太穷了，裤子都掉了也不买根裤腰带。“1”对“2”说：你以为你隆了腰就了不起啦。“2”对“1”说：你都瘦成那样了还减肥呢？

五. 同底数幂的除法

1. 同底数幂的除法法则:amanamn (a≠0,m、n都是正数,且m>n).

2. 在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即a01a0,如1001,(-2.50=1),则00无意义.

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③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即a-1-3p1 ( a≠0,p是正整数),

pa=_______,

的平方之差。

例25.下列式中能用平方差公式计算的有( )

①(x-而0,0都是无意义的。

例18.计算11y)(x+y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③22(x)5(x)2(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1)

x10x2x3x4 =______.

例19.水的质量0.000204kg,用科学记数法表示为__________.

例20.若(x2)0有意义,则x_________.

例21.如果am3,an9,则a3m2n=________.

例22.若5x-3y-2=0,则105x103y=_________.

例23.计算 ：（1）

(3)0(0.2)2 （2）

[(mn)2(mn)3]2(mn)4

六. 整式的乘法

1. 单项式与单项式相乘法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

2．单项式与多项式相乘法则：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3．多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例24．计算 ：

（1） a6b·（－４a6b） （2）x·（－５x－２y＋１） （3）（a＋１）（a－12）

七．平方差公式

1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即ababa2b2。

2. 结构特征：

①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

例26.利用平方差公式计算：

（1）(x+6)(6-x) （2）(x1)(x122) （3）(a+b+c)(a-b-c) （4）20119899

八．完全平方公式

1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即ab2a22abb2；

2．结构特征：

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

例27. 若x2＋mx＋４是一个完全平方式，则m的值为 。

例28.计算：

（1）1x22 （2）12ab2（3）115x10y

（4）(2xy1)(2xy1) （5）(2xy)24(xy)(x2y) （6） 9982

九．整式的除法

1．单项式除法单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

2．多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。

例29.（1）8a2b2c÷_________=2a2bc. （2）__________÷(2107)5103

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例30．计算：

（1）9a2mb2m33amb2m

（2） （2）(7x3-6x2+3x)÷3x

（3）[(2xy)2(0.5x3y2z)]3[(25xy)(xy2)4]

三、信息反馈（拔高题专项练习）

1、若2x5y30，则4x32y的值为 。

2、在ax3y与xy的积中，不想含有xy项，则a必须为 。

3、若x2y26，xy3，则xy= 。4、若4x2mx9是一个完全平方式，则m的值为 。

5、计算2001220002002的结果是 。

6、已知ab211，ab27，则ab的值是 。

7、若a2pa8a23aq中不含有a3和a2项，则p ，q 。

28、已知x1x3，则x1x的值为 。

9、若10m3,10n2，则102m3n的值为 。

10、已知ab5，ab3，则a2b2的值为 。

11、当x= ，y= 时，多项式4x29y24x12y1有最小值，此时这个最小值是 。

12、已知ab32，ab1，化简a2b2的结果是 。

13、212212412812321的个位数字是 。

14、计算a2abb2a2abb2的结果是 。

15、若ab22b10，则ab2ab3ab1的值是 。

16、计算3x2y13x2y1的结果为 。

17、若14x42x20，则x的值为 。

18、1102= 。

19、若x3023x62有意义，则x的取值范围是 。

20、若代数式x2y214x2y50的值为0，则x ，y 。

21、计算2230410500.12的结果为 。

22、已知x2x10，则x2000x1999x1998的值为 。

23、多项式a312ab4am1b6是一个六次四项式，则m 。

24、若代数式2a23a7的值是8，则代数式4a26a9的值为 。

25、已知xxy20，xyy12，则xy的值为 。

26、已知xy3，则代数式5xy3yx3的值等于 。

27、如果28x16x222，则x的值为 。

28、若a2n3，则a3n4的值为 。

29、计算260060.1252001的结果为 。

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30、已知2x329，则x= 。

2n

考点1：余角、补角、对顶角

nn31、已知x5，y4，则xy= 。

32、若2x3,4y5，则2x2y的值为 。

33、已知2m3，2n4，则23m2n的值为 。

34、若ab22，则代数式aba2b5ab3b的值为 。

35、已知4x212xm2是一个完全平方式，则m的值为 。

36、若xy0，xy11，则x2xyy2的值为 。

37、若ab2，ab3，则ab2的值为 。

38、已知2x2329，则x的值是 。

39、若mn3，则2m24mn2n26的值为 。

40、已知xy29，xy25，则xy的值为 。

第二章 平行线与相交线

一、考点讲解：

1．余角：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为余角．

2．补角：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为补角．

3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

4．互为余角的有关性质：

① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．

②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○ ，∠1+∠ 3= 90○，则∠ 2= ∠ 3．

5．互为补角的有关性质：

①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．

②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．

6．对顶角的性质：对顶角相等．

二、经典考题剖析：

【考题1－1】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠ 1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（ ）

A．∠2 =45○

B．∠1=∠3

C．∠AOD与∠1互为补角

D．∠1的余角等于75○30′

解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．

三、针对性训练：

1．_______的余角相等，_______的补角相等．

2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__

3．下列说法中正确的是（）

A．两个互补的角中必有一个是钝角

B．一个角的补角一定比这个角大

C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角

D．相等的角一定互余

4．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32○，那么从A 圆梦教育

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处观测到C处的方向为（ ）

A．南偏西32C．南偏西58○

角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、32○

B．东偏南

D．东偏南○同旁”．

3．平行线的性质：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．

○

58

○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90则∠1=___，∠2=___．

6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．

7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=

8．如图 l－2－2，AB⊥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ）

A．0个 B．l个 C．2个 D．3个

9．如果一个角的补角是150○ ，那么这个角的余角是______

10．已知∠A和∠B互余，∠A与∠C互补，∠B与∠C的和等于周角的13 ，求∠A+∠B+∠C的度数．

11．如图如图1-2-3，已知∠AOC与∠B都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD的度数；

（2）求∠AOB和∠DOC的度数；

（3）∠A OB与∠DOC有何大小关系；

（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？

考点2：同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质

一、考点讲解：

1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行．

2．“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．

（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.

二、经典考题剖析：

【考题2－1】如图1―2―4，直线a ∥b，则∠A CB＝________

解：78

点拨：过点 C作CD平行于a，因为a∥b，所以CD∥b．则∠A C D＝2 8，∠DCB=5 0．所以∠ACB＝78．

【考题2－2】（2004、开福，6分） 如图1―2―5，AB∥CD，直线EF分别交A

B、CD于点E、F，EG平分∠B EF，交CD于点G，∠1=5 0○求∠2的度数．

解：65○

点拨：由AB∥CD，

得∠ BEF＝180○－∠1=130○ ，

∠ BEG=∠2．

又因为EG平分∠BEF，

所以∠2=∠BEG=12 ∠BEF=65°（根据平行线的性质）

三、针对性训练：

1．如图1－2－6，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ）

A．l个 B．2个 C．3个 D．4个

2．下列说法中正确的个数是（ ）

（1）在同一平面内不相交的两条直线必平行；

（2）在同一平面内不平行的两条直线必相交；

（3）两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；

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（4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行。

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．如果两个角的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么这两个角只能（）

A．相等 B．互补C．相等或互补D．相等且互补

4．如图l－2－7。AB∥CD，若∠ABE=130○，∠CDE=

152○，则∠BED=________

5．对于同一平面内的三条直线a, b, c，总结出下列五个论断：①a∥b，②b∥c，③a⊥b，④a∥c，⑤a⊥c；以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：________________.

6．如图 l－2－8，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1相等的角共有（ ）

A．6个 B．5个 C．4个 D．2个

7．两条平行线被第三条直线所截，设一对同旁内角的平分线的夹角为山则下列结论正确的是（ ）

A、a＞90○. B。a＜90○.C、a =90○

.D．以上均错

8．一个角的两边和另一个角的两边分别平行，而一个角比另一个角的3倍少30○.，则这两个角的大小分别是_____________

9．如图 1－2－9，AB∥CD∥PN，若∠ABC＝50°，∠CPN＝150○，求∠BCP的度数．

10．如图1－2－10，一条公路两次拐弯后和原来的方向相同，即拐弯前后的两条路互相平行，第一次拐的角为∠B=150○，则第二次拐的角∠C为多少度？为什么？

11．如图1－2－11 所示，若以DC、AB为两条直线，这两条直线被第三条直线所截，那么第三条直线有几种可能？都出现什么角？分别写出来．

12．如图1－2－12所示，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中，∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得的4个关系中任意选取一个加以证明．

13．如图1－2－13，已知直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．

（1）请写出图1－2－13 中面积相等的各对三角形；

_____________________________________.

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置，总有______与ΔABC的面积相等．理由是______________.

考点3：平行线的判定

一、考点讲解：

1．平行线的定义：在同一平面内．不相交的两条直线是平行线．

2．如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行．

3．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定 圆梦教育

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直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角．

4．常见的几种两条直线平行的结论：

（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行．

（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行．

二、经典考题剖析：

【考题3－1】一学员在广场上练习驾驶汽车，若其两次拐弯后仍沿原方向前进，则两次拐弯的角度可能是（ ）

A．第一次向左拐30○，第二次向右拐 30○

B．第一次向右拐30○，第二次向左拐130○

C．第一次向右拐50○，第二次向右拐130○

D．第一次向左拐50○．第二次向左拐130○

解：A 点拨：本题创设了一个真实的问题。要使经过两次拐弯后．汽车行驶的方向与原来的方向相同．就得保证原来，现在的行驶方向是两条平行线且方向一致．本题旨在考查平行线的判定与空间观念。解题时可根据选项中两次拐弯的角度画出汽车行驶的方向，再判定其是否相同，应选A．

【考题3－2】如图l－2－14，已知B D⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ABC．

证明：因为BD⊥AC，EF⊥AC．所以BD∥EF．所以∠3=∠1．因为∠1=∠2，所以∠2=∠3．所以 GD∥BC．所以∠AGD=∠ABC．

点拨：审题时，根据分析，只看相关线段组成的图形而不考虑其他部分，这样就能避免图形的其他部分干扰思路．

三、针对性训练：

l． 已知：如图l－2－15，下列条件中，不能判定是直线l1∥l2的是（ ）

A．∠1=∠3 B．∠2=∠3

C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180○

2．如图l－2－16，直线AD与AB、CD相交于 A、D两点，EC、BF与AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．

3．一个人从A点出发向北偏东60°方向走了4米到B点，再从B点向南偏西15°方向走了3米到C点，那么∠ABC等于（ ）

A．75○

B．45○

C．105○

D．135○

4．如图l－2－17，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EFG=54○，试求∠DEG和∠BGD′的大小．

5．如图1－2－18，∠B=52○，∠DCG=128○，∠FGK=54°，问直线AB与EK及BD与FH的关系如何？请证明之．

6．已知：如图l－2－19，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F．∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ACB．

7．如图l－2－20，直线AB、CD是二条河的两岸，并且AB∥CD．点E为直线AB、CD外一点．现想过点E作岸CD的平 圆梦教育

初一数学

行线．只需过点E作岸AB的平行线即可．其理由是什么？

8．如图l－2－21，要判定AB∥CD，AD∥BC，AE∥ CF，各需要哪些条件？根据是什么？

★★★(II)自我检测★★★

【回顾1】（如图1－2－22，直线a、b被直线l所截，a∥b，如果∠1=50○，那么∠2=____．

【回顾2】（在图l－2－23的几何体中，上下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图中和下底面平行的直线有（ ）

A．1条 B．2条 C．4条 D．8条

【回顾3】如图1－2－24，已知 AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠l＝70°，则∠2的度数是_________

【回顾4】“如果两条平行线被第三条直线所截得的八个角中．有一个角的度数已知，则（ ）”

A．只能求出其余三个角的度数

B．只能求出其余五个角的度数

C．只能求出其余六个角的度数

D．可以求出其余七个角的度数

【回顾5】如图1－2－25，两条直线a、b被第三条直线c所截，如果a∥b，∠1=70○，那么∠2=________．

【回顾6】如图1－2－26，已知AB⊥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠l=50○，则∠2的度数为（ ）

A．50○

B．60○

C．65○

D．70○

【回顾7】如图l－2－27，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐的角∠A是120○，第二次拐的角∠B是150○第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）

A．120○

B．130○

C．140○

D．150○

★★★(III)课外作业★★★

(一)选择题

【备考1】已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍多36o，则这两个角的度数是（ ）

A．20○和 96○。 B．36○和144○

C．40○和156○

D．不能确定

【备考2】如图l－2－28．已知AB∥CD．AP分别交AB、CD于A、C两点，CE平分∠DCF，∠1=100○

则∠2=（ ）

A．40○

B．50○

C．60○

D．70○

【备考3】如图l－2－29，l1∥l2 ，AB⊥l1，∠ABC=130○，则∠α=（ ）

A．60○

B．50○

C．40○

D．30○

【备考4】如图l－2－30，直线c与直线地为相交，且a∥b，则下列结论：①∠l=∠2；②∠l=∠3；③∠3=∠2．正确的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【备考5】图l－2－31由三个火柴棒组成，移动其中一根．使得到的新图形有一组平行线，一组内错角，下列说法正确的是（ ）

①移动a,使a,b被c所截。②移动b．使b，c被a所截．③移动b，使b，a被c所截．④移动c使c、b被a所截．

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A．①② B、②③ C、①③ D．①②③④

【备考6】在同一平向内有2004条直线a1 a2 a3…a2004，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…．那么a1与a2004，的位置关系是（ ）

A．垂直 B．平行

C.相交但不垂直 D．以上都不对

（二）填空题（每题 4分，共 28分）

【备考7】如图l－2－32所示，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G，

【备考15】如图l－2－38，一块玻璃，A B∥CD．玻璃的下半部分打碎了，若量得上半部分中∠C=120o，∠D=95°，你能知若∠1=50○，则∠E=_______．

【备考8】如图l－2－33，已知∠l=∠2,∠A=135○，∠C=100○．则∠B=_______．

【备考9】如图l－2－34，有一座山，想在山中开凿一条隧道直通甲、乙两地，在甲地测得隧道方向为北偏东41．5○，如果甲、乙两地同时开工，要使隧道在山里准确打通．乙地隧道施工的角度为_______．

【备考10】如图l－2－35所示．B、C是河岸上两点．A是对岸岸边上一点．测得∠ABC=45°，∠ACB=45○．BC＝60米，则点A到岸边BC的距离为____米．

【备考11】如图l－2－36．已知A B∥CD，∠l=∠2．若 ∠l=50○．则∠3=_____．

【备考12】条直线和两条平行线中的一条垂直（或平行），那么这条直线也和另一条直线_______．

【备考13】如果∠1和∠2是两条平行线l1、l2，被第三条直线l3所截得的一对同位角，那么∠1和∠2的关系是__________.

二、学科内综合题（每题9分．共18分）

【备考14】如图l－2－37，若∠3=∠l+∠2，试猜想A B与CD之间有何关系？

道下半部分中的∠A和∠ B的度数吗？并说明理由

第三章 生活中的数据

知识梳理：

一、单位换算

1、长度单位：（1）百万分之一米又称微米，即1微米=10-6米。（2）10亿分之一米又称纳米，即1纳米=10-9米。（3）1微米=103纳米。（4）1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=109纳米。

2、面积单位（1）10-6千米2=1米2=102分米2=104厘米2=106毫米2=1012微米2=1018纳米2。

3、质量单位（1）1吨=103千克=106克。

二、科学计数法

科学计数法表示一个数就是把一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|<10,n为正整数且n的值等于这个数的整数部分的位数减去1.

（1）当a表示一个绝对值大于10的数时，n为正整数且n的值等于这个数的整数部分的位数减去1.

（2）当它表示一个绝对值小于0.1的数时，n为负数且n的绝对值等于这个数的第一个非零数前面的零的个数（包括小数点后面的零）.

三、近似数与精确数

1、精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值。

2、近似数是指用测量或统计的方法、四舍五入、估计等得到的数。

例如：考范围题目：近似数X=2.8,则X的范围是

近似数X=4.0,则X的范围是

（规律：左边为最后一位数字减5，且有等号，右边为最后一位数字后面多写一个数字5，且没有等号）

四、近似数和有效数字

1.有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不为0的 圆梦教育

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数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都是这216.58亿元，数据216.58亿精确到（ ）.

个数的有效数字.

（Ａ）百亿位 （Ｂ）亿位 （Ｃ）2.精确度：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.

百万位 （Ｄ）百分位

近似数的精确度有两种形式：①精确到某一位；②保留几个有效数字.

6.用四舍五入得到近似数0.4708，下列说法正确的是3.用科学计数法表示近似数：一个绝对值比较大的的整（ ）.

数取近似值时，如果整数位数多于保留的有效数字的个数，或表示整十、整百……的近似数，一般用 （A）精确到万位，有3个有效数字 （B）精科学计数法表示.

注意：在说明一个数的精确度时，主要看最后一个确到万分位，有4个有效数字

有效数字的位数，在哪一位精确度就说成精确到哪一位，对于科学计数法表示的数应注意将其还原为原来的数后，再确定它的精确度.

五、统计图（表）

1、条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。

2、折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。

3、扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

4、象形统计图：能直观地反映数据之间的意义。

典型习题

1.下面的数据中，是精确数字的是（ ）.

（A）中国人口约为1223890000人 （B）俄罗斯的国土面积约为17070000km2

（C）小明有5枝钢笔 （D）去年全年约有92天是晴天

2. （呼和浩特）某种生物孢子的直径为0.00063m，用科学记数法表示为（ ）

（A）0.63103m （B）6.3104m

（C）6.3103m （D）63105m

3. （沈阳）沈阳市水质监测部门2006年全年共监测水量达48909.6万吨，水质达标率为100%．用科学记数法表示2006年全年共监测水量约为（ ）万吨（保留三个有效数字）

（A）4.89×104 （B）4.89×105 （C）4.90×104 （D）4.90×105

4. 数0.036 01四舍五入到万分位后的近似数的有效数字是（ ）

（A）0.036 （B）0.36 （C）0.306

（D）0.0360

5.今年1—5月份，深圳市累计完成地方一般预算收入 （C）精确到十万分位，有3个有效数字 （D）精确到十万分位，有4个有效数字

7. 0.2506≈ （保留三个有效数字），此时精确到 位。

8．近似数3.14×105精确到 位，有效数字是 。

9. 52.68亿精确到 位，有效数字是 。

10.去人均捐款数额(元)年我7.6七年级国遭6.234%九年级受到5.4八年级38%非典七年级八年级九年级年级型肺图(1)图(2)炎传染性疾病的巨大灾难，全国人民万众一心，众志成城，抗击“非典”下图（1）是某市某中学“献爱心，抗非典”自愿捐款活动中学生捐款情况制成的条形图，图（2）是该中学学生人数比例分布图。该校共有学生1450人。

（1） 九年级学生共捐款多少元？

（2） 该校学生平均每人捐款多少元？

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中考真题：

1.（2011江苏徐州，2,2分）2010年我国总人口约为1 370 000 000人，该人口数用科学记数法表示为（ ）

。

A.0.1371011 .

B.1.37109 .

C.13.7108 .137107

2. （2011江西乐平，2，3分）根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，广东省常住人口约为10430万人.这个数据可以用科学计数法表示为（ ）.

.A. 1.043×108人B. 1.043×107人C.1.043×104 人D. 1043×105人

3. （2011山东济南，3，3分）“山东半岛蓝色经济区”规划主体区包括的海域面积共159500平方公里．159500用科学记数法表示为（ ）

A.．1595×102B．159.5×103

C．15.95×104D．1.595×105

4．（2011，山东东营）北京时间2011年3月11日，日本近海发生9.0级强烈地震。本次地震导致地球当天自转快了0.0000016秒。这里的0.0000016秒请你用科学记数法表示为

______秒.

5. （2011山东烟台，13，4分）微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小.某种电子元件的面积大约为0.000

000 7平方毫米，用科学记数法表示为_______________平方毫米.

6. （2011湖南郴州 7，3分）2003年10月15日9时，航天英雄杨利伟乘“神舟”五号载人飞船首次发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道开始飞行，飞了十四圈，飞行路程约为6.01×105千米. 这个路程保留有哪几个有效数字________.

7.（2011南京，3，2分）在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%．则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为（ ）

A．0.736×106人

B．7.36×104人

C．7.36×105人

D．7.36×106人

8.（2011湖南衡阳，2，3分）某市在一次扶贫

助残元

用

活科

动

学

中记

，共数

法

捐

款表

示

3185800（

保

留

两

元

个

，将

有

3185800效

数

字）

9. (2011

为

___________

湖

南

娄

底

元

，

。2,3

分

)2011

年

4

月

28日，国家统计局发布2010年第六次全国人口普查主要数据公报，数据显示，大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1339724852人，大陆总人口这个数据用科学记数法表示(保留3个有效数字)为_______________人。

10.

（2011黑龙江鸡西11，黑河1，3分）2010年

10

月

31

日

，

上

海

世

博

会

闭

幕

.

累

计

参

观

者突破7308万人次，创造了世博会历史上新的纪录.用科学记数法表示为___ ___人

次

．

（

结

果

保

留

两

个

有

效

数

字）

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第四章《概率》

一、知识网络

事件

确定事件

不确定事件

必然事件

不可能事件

游戏 概率模型

公平

游戏

不公

平游

戏

通过计算概率作出正确的决策

（2）通过试验，用频率估计可能性，需要经过多次的试验，当频率逐渐稳定时，用稳定时的频率值估计可能性.

4．游戏的公平与不公平

一个公平的游戏应该是游戏的双方获胜的可能性相同，不公平的游戏是指游戏双方或获胜的可能性不同.较简单的游戏可以从通过分析的方法判断其是否公平；对于比较复杂且比较难判断公平性的游戏，我们可以通过做试验的方法来确定其公平性.

5．两种模型的概率

（1）等可能性事件的概率：

在一次试验中，如果不确定现象的可能结果只有有限个，且每一个结果都是等可能的，求这种类型事件的概率称为等可能事件的概率型.如摸球、掷硬币、掷骰子等都属于等可能性.

在等可能事件中， 如果所有等可能的结果为n，而其中所包含的事件A可能出现的结果数是m，那么事件A的概率P（A）=m.

n

二、知识要点

概率

（2）区域事件发生的概率：在与图形有关的概率问题中，概率的大小往往与面积有关，这种类型的概率称为区域型概率.在区域事件中，某一事件发生的概率等于这一事件所有可能结果组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积.

如P（小猫停留在黑砖上）=黑砖总面积.

地板砖总面积1．确定事件发生的可能性

在某一条件下，事件发生的可能性是有大小的.不可能事件是永远不会发生的事件，其发生的可能性为0；必然事件是在一定的条件下必然发生的事件，其发生的可能性是100%.

2．不确定事件发生可能性

不确定事件发生的可能性是不确定的，一个不确定事件发生的可能性可以用0到1之间的数表示.对于一个不确定事件，我们可以通过大量的试验来探究其发生可能性.根据不确定事件发生可能性，不确定事件又可分为很可能发生事件（发生的可能性很大）；可能发生事件（有一定的发生可能性）；不太可能发生事件（发生的可能性较小）.很可能发生事件只是发生的可能性非常大，但其发生的可能性不是1；不太可能发生事件虽然发生的可能性相当小，但其发生的可能性不是0.

3．频率与可能性

试验是估计可能性的一种方法.通过试验的方法用频率估计可能性应注意以下几点：

（1）通过试验的方法用频率估计可能性，试验要在相同的条件下进行，否则结果可能会受到影响.

6．利用概率解决实际问题

用概率来解释生活中的实际问题的关键是能够准确计算出事件发生的概率，再结合事件发生的等可能性加以判断说明.

三、易混易错

1.混淆确定事件、不确定事件、必然事件和不可能事件之间的区别与联系.如，下列事件是必然事件的是（ ）

A.明天要下雨

B.打开电视机，正在直播足球比赛

C.抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1

D.买一张3D彩票，一定会中一等奖

不少同学会错误地选择A，或B，或D.

而事实上，在特定的条件下，有些事件我们事先能够肯定它一定会发生，就是必然事件.因为明天到底是否下雨，今天我们还不能够知道，因此，问题中的“明天要下雨” 是一个随机事件；打开电视机所看到的节目与所在的时间、所收看的频道有关系，因此，问题中的“打开电视机，正在直播足球比赛”，也是一个随机事件；一枚正方体骰子有6个面，上面的点数分别为1、2、3、圆梦教育

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4、5、6，无论怎样进行抛掷，都是这6个数中的一个，分析：要判断游戏是否公平，主要比较小明、小亮因而“抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1”是一个必然事件；同样买一张3D彩票，能否中一等奖也是不确定的.因此，本题正确应该选C.

2.混淆单一事件发生的可能结果和所有可能发生的结果之间的关系.如，一布袋中放有红、黄、自三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，贝贝从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球，试求贝贝两次都能摸到白球的概率.

不少同学会错误认为：因为一布袋中放有红、黄、自三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，所以小亮从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球的概率均为13.

而事实上，题目是要求贝贝两次都能摸到白球的概率，而不是每一次贝贝两次都能摸到白球的概率.由于布袋中放有红、黄、自三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，所以贝贝从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球，这样两次摸出球的结果是：（红，红）、（红，黄）、（红，白）、（黄，红）、（黄，黄）、（黄，白）、（白，红）、（白，黄）、（白，白），由此贝贝两次都能摸到白球的概率是P（白，白）＝19.

3.玩游戏受表面现象所迷惑.如，从一副扑克中分离出所有的红桃，并将红桃J记为11，红桃Q记为12，红桃K记为13，现将分离出来的红桃洗匀，背面朝上，从中任意抽取一张，数字是偶数的贝贝赢，奇数的京京赢.你认为游戏是否公平吗？

咋一看，数字只有偶数和奇数，所以这个游戏是公平的，而仔细分析一下这13个数字中有6个偶数，7个奇数，显然贝贝和京京获胜的概率是不等的，因此这个游戏不公平.

四、 典型例析

1．游戏是否公平

和判断游戏是否公平题目主要有以下几种类型：一是与投掷硬币有关的游戏；二是数字有关的游戏；三是有转盘有关的游戏；四是抽牌有关的游戏等.解决问题的关键都是看游戏双方获胜的概率是否相同.

例1 有两套分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字的卡片，小明和小亮各自从一套卡片中，任意摸出两张，按照下列的游戏规则做游戏，请你判断是否公平.如果不公平，你认为偏向了哪一方？

（1）小明摸到的卡片上的数字都是偶数为胜，小亮摸到的卡片上的数字都是奇数为胜.

（2）若把两套卡片中的6都拿去，（1）的结论有什么变化？

获胜的概率的大小，如果概率相同，则游戏公平；否则不公平.

解：(1)因为P(小明获胜)=3162,

P(小亮获胜)=3612,

P(小明获胜)=P(小亮获胜),所以游戏公平.

(2) P(小明获胜)=235, P(小亮获胜)=5, P(小明获胜)≠P(小亮获胜),所以游戏不公平.偏向小亮.

例2如图1,小明、小华用牌面数字分别为1、2、3、4的4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面，若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数，则小明获胜；反之，小华获胜；这个游戏公平吗？请说明理由.

分析:要看游戏是否公平,则需要计算小明、小华获胜的概率，即计算一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数的概率和偶数概率.

解：这个游戏不公平.

理由：因为一次抽出两张牌的组合共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）六种情况.其中有4组中两个数的和是奇数，所以P(小明获胜)=4623,P(小华获胜)=13,所以这个游戏不公平.

【评注】从以上两例看出,正确计算出游戏双方获胜的概率是判断游戏是否公平的关键.要判断某个游戏是否公平,应正确计算出游戏双方的概率.

2. 概率的计算

计算概率主要有两种类型,一类是摸球型概率的计算;二是与图形有关的概率计算,解决概率的计算问题,关键是掌握概率的意义以及计算的方法.

例3 (2006年无锡市中考试题) 在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，它们除颜色不相同外，其余均相同．若把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 .

分析:本题是一道与摸球有关的概率计算试题,因为袋子中共有4个球,每个球被摸到的可能性相同,所以共有四种情况,而摸到红球可能有3种,所以 摸到红球的概率是34. 解: 填34.

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【评注】本题是摸球型概率计算问题,解决问题的关键是理解此类问题中概率的计算方法.

例4(2006年浙江丽水市中考试题) 某商场利用转盘进行有奖促销活动,转盘扇形区域的圆心角及奖品设置如下:

特等一等二等三等鼓励奖 奖 奖 奖 奖

圆心1° 10° 60° 90° 199°

角

奖品 冰箱 彩电 学习自行笔记机 车 本

小英有一次转盘的机会,能奖学习机的概率是__________.

分析:本题是一道转盘游戏有关的概率计算试题,观察表格信息可知,当转盘停止后,指针停止在60的扇形区域内,可以获得学习机.本题即计算指针停留在60扇形区域上的概率.

解:P(奖学习机的概率)=6036012

【评注】解决本题需要正确理解题意,能从表格中获取正确的解题信息.

例5（2006年吉林）如图2，口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1cm，2cm，3cm，4cm和5cm，袋外有2张卡片，分别写有4cm和5cm．现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题：

（1）求这三条线段能构成三角形的概率；

4cm

5cm

（2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率． 图2

分析：由于口袋中有5张完全相同的卡片，随机从袋内取出一张卡片，则每张卡片 图2

被抽到的机会是相同的，用抽到的卡片上的数量与4cm和5cm组合，共有5种可能的情况：①1cm，4cm，5cm；

②2cm，4cm，5cm；③3cm，4cm，5cm；④4cm，4cm，5cm；⑤5cm，4cm，5cm.其中能构成三角形的有②2cm，4cm，5cm；③3cm，4cm，5cm；④4cm，4cm，5cm；⑤5cm，4cm，5cm四种；能构成等腰三角形的有④4cm，4cm，5cm；⑤5cm，4cm，5cm..

解：（1）P(能构成三角形)=45；（2）P(能构成等腰三角形)=25.

【评注】本题是一道以三角形的构成为载体的概率计算问题,解决问题需要熟练掌握三角形三边形的关系以

及等腰三角形的概念.

3.概率的应用

所谓概率的应用,就是通过计算某些事件概率来解决实际问题,作出正确决策.

例6(2006年贵州遵义中考试题) 一商场有A、B、C三种型号的甲品牌DVD和D、E两种型号的乙品牌DVD.某中学准备从甲、乙两种品牌的DVD中各选购一种型号的DAD安装到各个教室.

（1）写出所有的选购方案；

（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号DVD被选中的概率是多少？

分析：从甲、乙两种品牌的DVD中各购买一台，因为甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，所以共有以下六种可能：（A，D），（B，D），C，D），（A，E），（B，E），（C，E），其中含有A的有两种可能，由此可以求出A型号DVD被选中的概率.

解：（1）选购的方案有：（A，D），（B，D），C，D），（A，E），（B，E），（C，E）.

（2）A型号DVD被选中的概率P=2613.

【评注】正确列出所有等可能的情况，从中找出含有A型DVD的次数是求概率的关键.

例7如图3所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6；

（1）若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？

（2）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为23，

图3 图4

分析：要计算指针停止后，指针指向奇数区域的概率，因为转盘被等分成六个扇形，其中三个扇形中分别含有奇数1，3，5，所以指针指向奇数区域的概率为36.要设计指针指向的区域的概率为23，只要把其中的四个区域涂上阴影，则指针指向阴影部分的概率即为23

解：（1）P（指针指向奇数区域）=3162.

（2）如图4所示，自由转动转盘，当转盘停止时， 圆梦教育

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指针指向阴影部分区域的概率为23

【评注】在设计转盘游戏中，一般将转盘均匀的分成若干份，从而保证指针停止在各个区域的可能性都相同.

例8(2006年辽宁大连)小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1,2,3,4,5,6的正六面体骰子的质量是否合格,在相同的条件下,同时抛两枚骰子20000次,结果发现两个朝上面的点数和是7的次数为20次,你认为这两枚骰子质量是否都合格(合格标准为:在相同条件下抛骰子时,骰子各个面朝上的机会相等)?并说明理由.

分析：要判断两枚骰子质量是否合格，根据合格标准为:在相同条件下抛骰子时,骰子各个面朝上的机会相等，只要看试验20000次得到和为7的频率是否稳定于理论机会.如果相等，则说明两枚骰子的质量合格；否则，两枚骰子的不合格.

解:两枚骰子质量都不合格.

因为同时抛两枚骰子两个朝上点数和有以下几种情况:2、3、4、5、6、7、3、4、5、6、7、4、5、6、7、8、9、5、6、7、8、9、10、6、7、8、9、10、11、7、8、9、10、11、12.

所以出现两个面朝上面的点数和为7的概率为61366≈0.167.

试验20000次出现两个面朝上点数和为7的频率为20200000.001.

因为大数次试验的频率非常接近概率.而0.001和0.167相差很大，所以两枚骰子质量都不合格.

【评注】本题是一道用试验频率与概率之间的关系来解决的实际问题，解决问题的关键是正确理解试验大次数下频率值与概率之间的关系.

第5章是三角形

一、与三角形有关的线段

1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形

2、等边三角形：三边都相等的三角形

3、等腰三角形：有两条边相等的三角形

4、不等边三角形：三边都不相等的三角形

5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角

6、三角形分类：不等边三角形

等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形

等边三角形

7、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。依据：两点之间，线段最短

注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形

2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和

3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形

8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高

9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线

注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小

10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线

11、三角形的高、中线、角平分线均为线段

12、三角形的稳定性，四边形没有稳定性

二、与三角形有关的角

1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。

证明方法：利用平行线性质

由此可推出：三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角

2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角

结合内角和可知：三角形的外角最少两个钝角

3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角

5、三角形的外角和为360度

6、等腰三角形两个底角相等

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7、A+B=C，或者A-B=C等相似形式，均可推出三角形为直角△

8、A+BC等相似形式，均可推出三角形为钝角△

9、A+B>C等形式，可以说明C为锐角，但不能因为C为锐角，推出三角形为锐角△！

三、多边形及其内角和

1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形

2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。

3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角

4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角

5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线

6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形

7、多边形的内角和：n边形内角和等于（n-2）*180

8、多边形的外角和：360度

注：有些题，利用外角和，能提升解题速度

9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分成n-2个△

注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案

10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线n*（n-3）/2

生活中的轴对称

一、轴对称图形与轴对称

①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。

②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。

③常见的轴对称图形：线段（两条对称轴），角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形

二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

∵ ∠1=∠2 PB⊥OB PA⊥OA

∴ PB=PA

三、线段垂直平分线：

①概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

∵ OA=OB CD⊥AB

∴ PA=PB

四、等腰三角形性质： （有两条边相等的三角形叫做等腰三角形）

①等腰三角形是轴对称图形； （一条对称轴）

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②等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶3、（1）长方形有 条对称轴；

角的平分线重合； （三线合一）

（2）等腰三角形有 条对称轴，对称轴③等腰三角形的两个底角相等。 （简称：是 ；

等边对等角）

（3）等边三角形有 条对称轴，对称轴五、在一个三角形中，如果有两个角相等，那么是 ；

它所对的两条边也相等。（简称：等角对等边）

（4）圆有 条对称轴，对称轴六、等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等是 ；

腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。

（5）正方形有 条对称轴，对称轴① 等边三角形的三条边相等，三个角都等于是 。

60；

4、在日常生活中，事物所呈现的对称性能给人们以平②等边三角形有三条对称轴。

衡与和谐的美感. 我们的汉语也有类似的情况，呈现轴对称图形的汉字有 （请举出两个．．例

子，笔画的粗细和书写的字体可忽略不计）.

七、轴对称的性质：

5、等腰三角形一个底角为40°，则此等腰三角1.关于某条直线对称的两个图形是全等形；

形顶角为_________

2.对应线段、对应角相等；

6、你的前胸写上15，在镜子中你胸前的数是3.对应点的连线被对称轴垂直且平分； 4._______。

对应线段如果相交，那么交点在对称轴上。

7、小明衣服上的号码在镜子中如右图，则小明八、镜子改变了什么：

衣服上的实际号码为 ( )

1、物与像关于镜面成轴对称；（分清左右对称与上下对称）

2、常见的问题：①物体成像问题；②数字与字

母成像问题；③时钟成像问题

8、在△ABC中，AB=AC，BC中点为E，BD⊥第六章 轴对称图形

AC，垂足为D，

一、耐心填一填！

若∠EAD=20º，则∠ABD= 。

1、如右图，这个轴对称图形有____条对称轴。

9、△ABC中，AB=AC，∠A=58º，AB的垂直2、线段使轴对称图形，线段的对称轴是

平分线交AC于N，则∠NBC=

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10、设点A、B关于直线MN对称，则 垂直平分 。

11、正五边形的对称轴共有（ ）

精心选一选！

1、下列说法中，正确的是（ ）

A、两个全等三角形组成一个轴对称图形；B、直角三角形一定是轴对称图形；

C、轴对称图形是由两个图形组成的； D、等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形。

2、等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）

A、7cm B、3cm C、7cm或3cm D、5cm

3、在线段、直线、射线、角、等腰三角形、任意的一个三角形、五角星这些图形中，轴对称图形有（ ）

A、6个 B、5个 C、4个

D、3个

三、用心想一想

1、下列图形中，找出哪些是轴对称图形，请画出它们所有的对称轴。（11分）

2、请将正方形分成四个形状相同的部分，并使之成为轴对称图形，你可以画出几个这样的图形？在你画出的各图形中画出对称轴，并至少各找出一组对应点、对应线段。（6分）

3、小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“ ”的样子，

请你判断这个英文单词是（ ）（4分）

（A） （B）

（C） （D）

四、如图，△ABC中，AB=AC，点M、N分别在BC所在直线上，且AM=AN。

请问：

BM=CN

吗？请说明理由。（6分）

A

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M B C

1．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那N

五、会用你学过的知识解决问题吗？

1、在45°的Rt△ABC中，A90,DEBC,BD是∠ABC的平分线，且BD＝13，AB=12，求△DEC的周长。（5分）ADBEC

2、如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？ （7分）

居民区A

·

居民区B

·

街道

本章 提高精练

么它的底角的度数是_________．

2．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．

3．等腰三角形的两边长分别为3厘米和6厘米，这个三角形的周长为_________．

4．如图，在 中， 平分 ，则D点到AB的距离为________．

5．如图，在 中， 平分

，若 ，则 ．

6．如图， ，AB的垂直平分线交AC于D，则 ．

7．如图， 中，DE垂直平分

的周长为13，那么 的周长为__________．

．如图，如果点M在 的平分线上且 厘米，则 ，你的理由是？

4 5 6 7

8