从一个初等问题看高等代数中的若干技巧

2023年12月10日发(作者：学苑风暴数学试卷)

第ｌ６卷第４期　２０１３年７月　高等数学研究　ＳＴＵＤｌＥＳ　ＩＮ　Ｃ０ＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　ＶｏＬ　１６，Ｎｏ．４　Ｊｕ１．，２０１３　从一个初等问题看高等代数中的若干技巧　谢启鸿　，邵美悦。　（１．复旦大学数学科学学院，上海２００４３３；　２．于默奥大学计算科学系，瑞典于默奥ＳＥ－９０１８７）　摘要　将一个初等问题转换为一个高等代数问题，并给出多种证明方法，借此串联起高等代数中的若干　重要概念和相关技巧．　关键词　行列式；矩阵的秩；有限域；特征值　中图分类号　Ｏ１５１．２　文献标识码　Ａ　问题１　设有２　＋１个实数Ｘ１，ｚ２，…，Ｘ２计１，若　去掉其中任何一个，剩下的２，ｚ个数总可以平分成两　组，且每组数之和相等，证明　Ｚ１　２　…　Ｚ２　１・　注意到问题１的条件和结论在非异仿射变换下　保持不变，也就是说，若设　（￡）＝ａｔ＋ｂ（ｎ≠０），　则当Ｘ１，ｚ２，…，　２升ｌ满足问题１的条件时，　（ｚ１），　（ｚ　），…，　（ｚ。什　）也满足问题１的条件，并且由　（ｚ１）＝　（ｚ２）一…：　（ｚ２　１）　可以反过来推出　１　Ｚ２　…：＝＝Ｚ２井１．　另外，问题１等价于一个高等代数问题，也即有　关齐次线性方程组求解的如下问题．　问题２　设Ａ是２，ｌ＋１阶方阵，其主对角线上的　元素全为０，每行元素中恰有　个１和，１个一１．另设　（ｚ１，Ｘ２，…，Ｘ２井１）　，　Ｐ一（１，１，…，１）　是实数域上的２，ｚ＋１维列向量．证明齐次线性方程组　一０　的解空间为由Ｐ生成的１维列向量空间Ｒ．　由　一０可以得到Ｒ包含在Ａｘ一０的解空间　中．因此只要能证明　ｒａｎｋ（Ａ）＝２ｎ，　即可由线性方程组的求解理论解决问题１和问题２．　本文将给出上述问题的五种证明方法，并由此　收稿日期：２０１１－０９—０７；修改日期：２０１３－０４－０８　基金项目：复旦大学数学科学学院数学类基础课程教学团队（国家　级）项目资助　作者简介：谢启鸿（１９７６－－），男，江西赣州人，博士，副教授，从事代数　几何研究．Ｅｍａｉｌ：ｑｈｘｉｅ＠ｆｕｄａｎ．ｅｄｕ．ｃｎ　邵美悦（１９８３－－），男，浙江宁波人，博士研究生，从事数值　线性代数研究．Ｅｍａｉｌ：ｍｙｓｈａｏ＠ＣＳ．ｕｍｔ１．ｓｅ　文章编号　１００８—１３９９（２０１３）０４—００５３—０３　串联起高等代数中的若干重要概念和相关技巧，希　望能给读者一定的启发．在下面的讨论中，总是固定　使用问题１和问题２的记号和假设．　引理１　设ｃ为ｍ阶方阵，其主对角线上的元　素全为０，其余元素全为１，则　　ｌＣ　Ｉ一（一１）　（１一ｍ）．　引理２　设Ｂ一（　）为ｍ阶整数方阵，Ｐ是正　整数．将Ｂ的第（ｒ，ｓ）元素ｂ　变为ｂ　＋Ｐ，其余元素　保持不变，这样得到的新矩阵记为Ｂ，则　Ｉ　Ｂ　Ｉ三Ｂ（ｍｏｄ户）．　证明　将Ｂ的第ｒ行拆分为　（６ｒ１，…，ｂ　，…，６　）＋（０，…，　，…，Ｏ），　由行列式的性质即得结论．　为了后面叙述方便，称引理２中的Ｂ—Ｂ为一　个加Ｐ变换．因此引理２的结论是：整数行列式的值　在加Ｐ变换下模Ｐ同余．特别地，整数行列式的值在　加２变换下保持相同的奇偶性．　命题１　设Ｂ＝（　）为２咒阶方阵，其主对角线　上的元素全为０，其余元素为１或一１，则Ｂ是非异　阵．　证法１　由行列式的组合定义ｍ。　知　ｌ　Ｂ　ｌ一　∑（－１）　ｔ’　’　ｈｉ２２　ｏ，　（ｉ１，　．．＿’，　）∈　其中Ｓ。　是｛１，２，…，２　）的全排列的集合，Ｎ（ｉ　，ｉ。，　…，ｉ　）是（　，ｉ：，…，ｉ。　）的逆序数．下面将对每个单　项ｂ¨ｂ　…ｂ　．　的奇偶性进行分析，最后得到Ｉ　Ｂ　Ｉ　的值为奇数，从而Ｂ为非异阵．　如果存在某个１≤ｋ≤２ｎ使得ｉ　一ｋ，则由ｂ‘　等于０可得　ｂｉ，１ｂ　。２…ｂ　。２　＝０．　考虑剩余单项的集合　Ｓ一｛６ｆ　１ｂｌ　２…ｂｌ　２　：ｉ＾≠ｋ，１≤愚≤２ｎ），　显然这些单项的值只能是１或一１．构造映射