教师资格证初中数学

2022年下半年教师资格证笔试《数学学科知识及教学能力》（初级中学）考生回忆版一、单项选择题1.函数A.0B.1C.2D.3正确答案：D零点的个数是（）。解析：本题考查零点的问题。令得，，，共有3个零点。故本题选D。，解2.定积分的值是（）。.D正确答案：C解析：本题考查定积分的运算。C。。故本题选

3.若线性方程组A.-4/3B.-2/3C.1/3D.2/3有非零解，则的值是（）。正确答案：B解析：本题考查齐次线性方程组解的情况。当齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数的个数时，齐次线性方程组有非零解。所以系数矩阵的秩为1。又因为系数矩阵为方阵，所以系数矩阵的行列式的值为0，即B。4.已知向量A.-2B.-1C.1D.2正确答案：D解析：本题考查空间向量的数量积的计算。，，。故本题选D。，，则的值是（）。，所以，所以。故本题选5.在空间直角坐标系中，A.斜交B.平行C.垂直D.在平面内正确答案：B解析：平面的法向量为,所以题选B。轴与平面的位置关系是（）。，轴的方向向量是，且平行。故本轴与平面法向量垂直，即与平面6.现在有大小相等、颜色不同的6个球，编号分别为1、2、3、4、5、6，从这6个球里面

随机取出来3个球，则编号为1、2、3的概率是（）。A.1/20B.1/10C.3/20D.1/5正确答案：A解析：本题考查概率的计算。由题可知,从这6个球里面随机取出来3个球有（种），编号为1、2、3有1种，则。故本题选A。7.“文华逾九章，拓扑公式彪史册；俊杰胜十书，机器证明誉寰球。”是对数学家成就的高度概括，这位数学家是（）。A.吴文俊B.苏步青C.祖冲之D.李善兰正确答案：A解析：本题考查数学史。吴文俊是中国数学界的泰山北斗，他是首届国家最高科技奖的得主，他开创了近代数学史上第一个由中国人原创的研究领域。“文华逾九章，拓扑公式彪史册；俊杰胜十书，机器证明誉寰球。”是对先生的毕生成就的高度概括。故本题选A。8.在初中数学的教学中，下列结论不要求证明的是（）。A.三角形的内角和为180°B.直角三角形的两个锐角互余C.两点之间线段最短D.角平分线上的点到角两边距离相等正确答案：C解析：本题考查命题的证明。两点之间线段最短是数学中的一个公理，不用证明。故本题选C。二、简答题1.已知函数在处可导，求。解析：在,此时处可导,可导必连续,在,所以对处对,求导得,求导得

,又因为,所以。2.有4件产品，1件是次品。其中3件是合格品，不放回地随机抽取两次，每次取1件产品。求在第一次取到合格品的条件下，第二次仍然取到合格品的概率。解析：记事件为“第一次取到的是合格品”。事件为“第二次取到的是合格品”,则表示“第一次取到合格品,第二次也取到合格品”。因为,,所以在第一次取到合格品的情况下,第二次也取到合格品的概率为：。3.在平面上投影的方程。,或(舍),所以为常数1,交线在解析：两式联立,得：一个平行于圆。该曲线在平面的面上,代入原方程,平面上投影的方程为是常数,可以看出交线是一个。4.义务教育阶段要求理解有理数的运算律，请列出并用符号表示。解析：运算律包括加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律、乘法对加法的分配律,交换律：加法,乘法,乘法。;结合律：加法;分配律：5.结合实例给出学生积累数学经验的两种活动。解析：(1)通过游戏,积累实践操作的数学活动经验。许多数学问题答案的得出,离不开动手的实践与发现,教师可以充分挖掘教材内容,使学生产生“动”的愿望。例如：在学习数轴的时候,让学生们拿一根绳子,站成一排,指定一位学生为原点,请其他学生说出自己代表的有理数;接着可以改变代表原点的同学,继续让其他同学说出自己代表的数据。在这个过程中,把学生的亲身经验与数学活动作了巧妙的结合。(2)创设生动有趣的生活情境,积累数学活动经验。

创设生动有趣的情境,可以让学生身临其境,加强生活中的数学和课本中的数学的联系,使数学与生活融为一体。例如：在学习有理数时,把用正负数表示相反意义的量与生活中的质量标准结合起来,就可以创设有趣的生活情境;还可以把有理数的减法问题转化为水面下潜水艇的深度差的问题,这种情境很容易让学生理解有理数减法的意义。三、解答题1.已知矩阵。（1）求行列式解析：的值；（5分）。（2）求方程组的解。（5分）解析：根据题意,对方程组的增广矩阵进行初等变换：

,可得方程组的解为。四、论述题1.以等腰三角形和轴对称为例,论述你对“图形的性质”与“图形的变化”含义及相互关系的理解。解析：“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导图形的几何性质和定理,理解和掌握尺规作图的基本原理和方法。在等腰三角形的学习中,需要理解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理。“图形的变化”强调从运动变化的观点来研究图形,理解图形在轴对称、旋转和平移时的变化规律和变化中的不变量。在轴对称的学习中,通过具体实例理解轴对称的概念,探索它的基本性质,能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形,理解轴对称图形的概念,探索常见平面图形的轴对称性质,认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。“图形的性质”和“图形的变化”的关系：由图形的性质到图形的变化,从形象逐步到抽象;都体现了数形结合的思想;向学生渗透了“解析化”解题策略。等腰三角形的学习,是从最基本的概念和性质出发,然后到分析其轴对称的性质,是从具体的显而易见的方面到抽象的特殊对称性的分析;在等腰三角形基本性质和轴对称性质的分析中,都涉及到了相关证明和计算,都涉及到了数形结合的思想;等腰三角形和轴对称性质的学习中,都有通过计算得出相应结论的过程,渗透了解析的思想解决数学问题的方法和策略。五、案例分析题1.现实生活中，教师有不同引出菱形概念的方法：【教师甲】让学生画出周长为12的平行四边形，要求各个边长为整数。学生在教师引导下，画出了边长分别是1和5、2和4、3和3的平行四边形，将第3个平行四边形与前面2个平行四边形进行对比，从而引出菱形的概念。

【教师乙】让学生观察以下生活中平行四边形图片的共性，从而引出菱形的概念。【教师丙】引导学生回顾小学学习的平行四边形、矩形等图形，请学生用一张B5的纸按下列步骤得到一个平行四边形，发现该平行四边形的特殊之处，由此引出菱形的概念。【教师丁】在学生学习了三角形、特殊三角形和平行四边形的基础之上，类比三角形到特殊三角形的研究过程，将平行四边形的边长间的关系特殊化，从而得到特殊的平行四边形，由此引出菱形的概念。分析上述各位老师关于菱形教学各自的优点。解析：(1)教师甲的优点：鼓励学生开动脑筋进行思考平行四边形周长和边长之间的关系,加

强了对于平行四边形性质的回顾。通过对比三个平行四边形的不同之处,能够最本质的呈现出菱形和普通的平行四边形之间的联系和区别,通过数据的呈现,体现了数学的严谨性,加强了知识点之间的对比与联系,并且能够增强学生的观察对比,归纳总结能力。(2)教师乙的优点：用生活中常见的实物图片导入,引导学生进行观察,能够迅速引学生的注意力,并且加强数学与实际生活的联系,教学更加生动形象,更加具体,能够增强几何直观。符合新课标的观念,在实际情境中教学,将数学生活化,实际化。(3)教师丙的优点：通过学生自己动手操作来引出菱形的概念,能够增强学生的数学活动经验,并且“动”起来让数学的理论和实践进行了有机的结合,更能加强学生对于菱形概念的理解。并且能够增强学生自己动手操作的能力,充分体现了学生的主体性,教师的主导作用。(4)教师丁的优点：从学生已有的知识经验出发,遵循学生的认知规律,能够加强新旧知识的联系,培养类比的数学思想,并且能够体现出菱形与平行四边形的特殊之处。能够培养学生的数学逻辑,加强整个几何图形体系的对比,对知识点记忆更加深刻。六、教学设计题材料：下面是某版九年级上册教材“实际问题与二次函数”单元的一道例题。例题右图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加了多少？根据上面的内容完成下列任务（1）给出该例题的解答；（8分）解析：以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为示的二次函数为。由抛物线经过点轴建立直角坐标系,设这条抛物线表,可得,,这条抛物线表示的二次函数为。当水面下降1m时,水面的纵坐标为-3,根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为,据此可求

出这时的水面宽度是,由此可得,水面下降1m,水面宽度增加m。（2）基于该例题的教学，设计两个引导性的问题和解题的小结，并分别给出设计意图。（22分）解析：①问题一：能否运用所学的知识解决拱桥问题?设计意图：通过对实际问题的分析和问题的引导,让学生更好的理解二次函数是解决该问题的重要模型。问题二：我们知道二次函数的图象是抛物线,如何建立适当的坐标系,从而求出该抛物线表示的二次函数?设计意图：通过操作,让学生明白解决拱桥问题有多种建立平面直角坐标系的方法(例如以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为的连线为线为轴,以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系;以抛物线和水面的两个交点轴建立直角坐标系;以抛物线和水面的两个交点的连轴,以其中的一个交点为原点,建立直角坐标系),体会解题方法的多样性和简捷性,加深对所学知识的理解和运用二次函数模型解决实际问题的能力。②小结：利用二次函数解决实际问题的过程是什么?如何利用二次函数解决实际问题?教师引导学生整理上面解决问题的思路步骤,分析利用二次函数解决实际问题的一般方法。学生思考后师生共同归纳总结：根据实际问题,建立适当的平面直角坐标系,列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,解决问题。设计意图：对解决问题的思路方法进行反思,通过同学之间的合作与交流,让学生积累和总结经验,培养学生归纳概括能力,养成良好的数学思维习惯。