2024年3月8日发(作者：广水中考分析数学试卷答案)
外接球一、定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关性质1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面(类比：圆的垂径定理)；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心(类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心).2．结论：由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论。结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其对角线的中点。结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心外心的连线的中点。结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到。结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心三、有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．四、空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．·1·
专题一 墙角模型方法总结一、墙角模型是三棱锥有三条侧棱两两垂直的模型，用构造法(构造长方体)解决．1．长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．2．正方体的外接球，则2R=3a（a为正方体的边长）3．长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R=a2+b2+c2秒杀公式：R2=有以下四种类型：a2+b2+c24PcBbaA图1CAb图2BPcaCPcBaAb图3CAPcCabB图4例外型二、例题选讲例1.已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=3，BC=2，CD=5，则球O的表面积为A.12π C.9π B.7π D.8π()例2.若三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为(A.3 C.36 B.6 D.9)例3.已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于A.4π B.3π ·2·()
C.2π D.π例4.在正三棱锥S-ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是________．例5.(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A.86π C.26π 例6.已知二面角α-l-β的大小为B.46πD.6π ()π，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点3B，点C∈l，BC=22，PA=23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD+∠DAB=π．若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．三、专题训练1.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为A.7π 7C.π 2B.14π 714πD.3()2.等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为A.5π C.10π 20π 3D.34πB.()3.已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于________.4.已知四面体P-ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AB=PB=2，则球O的表面积为________．5.三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为27π 2C.273π A.273π 2D.27πB.()6.在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2，2，1)，B(2，2，-1)，C(0，2，1)，D(0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是A.16π D.6π7.在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且AB=1，BD=2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为A.2π C.16π B.8π D.4π()B.12π C.43π ()8.在正三棱锥S-ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC的·3·
外接球的表面积为A.6π C.32π B.12π D.36π()9.在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，383且AB=BC=CD，若此四面体的体积为，则其外接球的表面积为________．6310.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为32的正方形，AA1=3，E是线段A1B1上一点，若二面角A-BD-E的正切值为3，则三棱锥A-A1D1E外接球的表面积为________．11.【2010年新课标卷文7】设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2()12.【2011年新课标卷理15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6,BC=23,则棱锥O-ABCD的体积为.()13.【2016课标全国II】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.12πB.32π3C.8πD.4π14.【2017课标全国II】已知长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.15.【2017江苏卷】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.·4·
专题二 对棱相等模型方法总结一、对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2R=a2+b2+c2(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：x2+y2+z2R=8其中，三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z．2证明：设AC=BD=x，AB=CD=y，AD=BC=z，构造所成长方体的长宽高分别为a，b，c．a2+b2=x2b2+c2=z2a2+c2=y2相加得2a2+b2+c2=x2+y2+z2，即x2+y2+z2a+b+c=2222故x2+y2+z22R=a+b+c=2222x+y+zR2=8222xCzcADaybB二、例题选讲例1.正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．例2.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．例3.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的体积为．例4.在正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是A.6π 36C.π 32B.6π 3D.π2()例5.已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB=CD=1，AD=BC=3，若三棱锥A-BCD的外9π接球表面积为．则AC=________．2·5·
三、专题训练1.已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．2.表面积为83的正四面体的外接球的表面积为A.43π C.8π B.12πD.46π ()3.已知四面体ABCD满足AB=CD=6，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．4.三棱锥中S-ABC，SA=BC=13，SB=AC=5，SC=AB=10．则三棱锥的外接球的表面积为______.5.已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC=BD=5，则a=________.6.正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是A.12π C.8π B.32πD.24π ()·6·
专题三 汉堡模型方法总结一、汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法解决．找球心法：多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．秒杀公式2R=h+r22其中h为直棱柱的高，r为底面外接圆的半径．以直三棱柱为例，模型如下图C1O2OrAB1h2O1B图1C1FA1O2OCEAO1图2CBAB图3C1O2B1OCO1EA1B1A1FR如图1，图2，图3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步：确定球心O的位置，O1是ΔABC的外心，O2是△A1B1C1的外心，由对称性可知球心O的位置是O1O2的中点，则OO1⊥平面ABC；11第二步：算出小圆O1的半径AO1=r，OO1=AA1=h(AA1=h也是圆柱的高)；22h第三步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2⇒R2=()2+r2⇒R=r2+(h)2，解出R.22注意：底面外接圆的半径r的求法a1.正弦定理：=2R通用sinA2.直角三角形：半径等于斜边的一半3.等边三角形：半径等于三分之二高4.长（正）方形：半径等于对角线的一半二、例题选讲例1.(2013辽宁)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为317 213C. 2A.的表面积为A.πa2 B.·7·72πa3 B.210D.310 ()例2.(2010年新课标卷理10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球()
112C.πa 3120°，则此球的表面积等于A.10π C.30π D.32πa7()例3.(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=B.20π D.40π例4.已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于A.4π 32πC. 316π 3D.16πB.()()例5.若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为A.(125-12)π C.(123+3)π B.123πD.16π 三、专题训练1.一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为28π 343πC. 3A.B.22π 3()D.7π2.一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱9柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________.83.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面积为接球的表面积为A.4π C.16π 33，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC-A1B1C1外4()B.8π D.32π4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，则该三棱柱的外接球的体积为40π 332030πC. 27A.B.4030π 27()D.20π5.已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A-EF-C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为A.6π C.4π B.5πD.3π()6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=23，∠BAC=2π，则球O的体积为()332πA. B.3π3·8·
4πC. 3D.8π7.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60°，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的A.2倍 B.2倍D.3倍π，则该正四棱柱外接球的表面3()C.22倍 ()8.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，二面角A1-BD-C1的大小为积为A.12π C.16π B.14πD.18π 9.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为________．10.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O．若三棱锥P-ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为．11.(2017年全国卷III第8题)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A.πB.3π4C.π2D.π4()12.【2008年海南宁夏文14】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为.·9·
专题四 垂面模型方法总结一、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是h△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1=r，OO1=，∴R2=r2+2h2．4AAB1ORDO1BCrBO2Oh2O1D1CD二、例题选讲例1.已知在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB=30°，AC=2AB=23，SA=1．则该三棱锥的外接球的体积为13A.13π 813C.π 6ABC的外接球的表面积为A.23π C.64π 23π 464D.π3B.(256π 320483D.π27B.)(B.13π D.1313π6())例2.三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-例3.在三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，SA=25，则该三棱锥的外接球的表面积为64A.π 3436C.π 3例4.在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=120˚，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A.103π C.20π B.18π D.93π()例5.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线5PD与平面ABC所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为________．5三、专题训练1.三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为(A.18π B.21π 2)·10·
C.21π D.42π2.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为A.4π C.16π B.12π D.32π()3.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为A.4π C.16π B.12π D.64π()4.在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，PA=2，AB=AC=3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为4π 3C.8π A.82π 3D.12πB.()5.在三棱锥A-BCD中，AC=CD=2，AB=AD=BD=BC=1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．6.如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是A.7π C.3π B.5π D.π()7.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA=26，则△OAB的面积为A.3 B.22 D.63C.33 ()8.三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为．9.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，ED=3，若鳖臑P-ADE的外接球的体积为92π，则阳马P-ABCD的外接球的表面积为________．·11·
10.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB=π1，AD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为．记点M的轨迹长度为α，则tanα=．；当三棱4锥P-ABM的体积最小时，三棱锥P-ABM的外接球的表面积为．·12·
专题五 切瓜模型方法总结一、切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面,即α⊥β．类型Ⅰ:△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ:△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ:△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ：侧面△ABC是一般三角形，设为α面，底面是一般三角形或者四边形，设为β面，如图，解决方法是过α，β的外心O2，O1作所在平面的垂线，垂线必交于一点O，O即为外接球的球心．可用秒杀公式：(双半径单交线公式)l24其中r1、r2为面α，β的外接圆的半径，l为两个面的交线BC的长．R2=r12+r22-证明：过O1，O2作AB的垂线，则OO1⎳O2E，OO2⎳O1E∵α⊥β∴四边形OO2EO1为矩形∴R2=OB2=OO22+O2B2=O1E2+O2B2=O1B2-BE2+O2B2l222=r1+r2-．4AAαAαOB类型ⅠβDCBαOO1βDCO1BβO2OC类型Ⅱ类型ⅢAαDAO2EB二、例题选讲αOCO1βO2OECO1DβF类型ⅣDB类型Ⅳ例1.三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P−ABC外接球的半径为.例2.如图，已知平面四边形ABCD满足AB=AD=2，∠A=60˚，∠C=90˚，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________．·13·
例3.已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为10πA. 3C.6π (B.5π 20πD.3)例4.已知ΔABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=22，PC=5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．例5.已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥A-DECB的外接球的表面积为________． 三、专题训练1.把边长为3的正方ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC⊥平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为A.32π C.18π B.27π D.9π()2.在三棱锥A-BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________．3.已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，则球O的表面积为A.4π C.16π B.12π D.36π()4.在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，ΔABC是边长为2的正三角形，若∠BDC=锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为A.52π 3B.3π π，三棱4()·14·
C.4π 5.已知空间四边形ABCD，∠BAC=D.28π32π，AB=AC=23，BD=4，CD=25，且平面ABC⊥平面3BCD，则该几何体的外接球的表面积为()A.24π C.64π B.48π D.96π6.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=22，PA=PD=AB=2，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为A.2π C.8π B.4π D.12π()7.在四棱锥A-BCDE中，ΔABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为A.2121π C.721π 8.已知空间四边形ABCD，∠BAC=B.84π D.2821π()2π，AB=AC=23，BD=CD=6，且平面ABC⊥平面BCD，则空3间四边形ABCD的外接球的表面积为()A.60π C.24π B.36π D.12π9.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，PB=PC=43，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．10.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP=25,AB=6,∠ACB=ABC所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为A.13π 52πC. 3B.52π 5213πD.3π，且直线PA与平面3()·15·
专题六 斗笠模型一、方法总结棱锥顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式h2+r22h其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的半径R=PPPOCAO1PCAO1OBABABCOOCO1PCO1OBAO1PCBBAO1O证明：取ΔABC的外心O1，∵P的射影是ΔABC的外心∴三棱锥P−ABC的三条侧棱相等∴球心O在PO1由勾股定理OA2=O1A2+O1O2⇒R2=(h−R)2+r2，或R2=(R−h)2+r2解得h2+r2R=2h二、例题选讲例1.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为．例2.(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为A.64π C.36π B.48π D.32π()例3.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=26,AC=AB=4，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为________．·16·
例4.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为81πA. B.16π 427πC.9π D.4()例5.如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中2点，cos∠PEF=，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为________．2例6.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=3，则该三棱锥外接球的体积为(4π 3C.43π A.82π 332D.π3B.)三、专题训练1.已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30°，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．2.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为A.π C.4π π 34πD.3B.()3.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=6，AC=AB=2，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为A.4π C.16π B.8π D.9π()4.已知体积为3的正三棱锥P-ABC的外接球的球心为O，若满足OA+OB+OC=0，则此三棱锥外接球的半径是A.2 C.3(B.D.3)2 42 5.已知正四棱锥P-ABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为124π 3500πC. 81A.625π 81256πD.9B.()6.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若ΔSAB的面积为8，则该圆·17·
锥外接球的表面积是________．7.已知圆台O1O2上底面圆O1的半径为2，下底面圆O2的半径为22，圆台的外接球的球心为O，且球心在圆台的轴O1O2上，满足|O1O|=3|OO2|，则圆台O1O2的外接球的表面积为________．8.在六棱锥P-ABCDEF中，底面是边长为2的正六边形，PA=2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于________．9.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=2，BC=10，∠APC=外接球的表面积为________．10.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=92，AB=8，AC=6．顶点P在平面ABC内的射影为H，若AH=λAB+μAC且μ+2λ=1，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为________．π，则三棱锥P-ABC的2·18·
专题七 鳄鱼模型方法总结一、鳄鱼模型即普通三棱锥模型(两个面不垂直)，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：(双距离单交线公式)m2+n2-2mncosθl22R=+4sin2θ其中R为外接球半径，m为平面α外接球圆心到交线CD的距离，n为平面β外接圆圆心到交线CD的距离，θ为二面角A-CD-B的平面角，l为交线CD的长．证明：如图所示∵OO1⊥O1E,OO2⊥O2E∴O，O1，E，O2四点共圆∴在△O1O2E中，由余弦定理得O1O22=m2+n2-2mncosθ由正弦定理得O1O2=2r外=OEsinθO1O22l2∴R=OC=OE+CE=+2sinθm2+n2-2mncosθl2=+4sin2θ2222二、例题选讲例1.在三棱锥A-BCD中，ΔABD和ΔCBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A-BD-C的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为．．例2.在等腰直角ΔABC中，AB=2，∠BAC=90°，AD为斜边BC的高，将ΔABC沿AD折叠，使二面角B-AD-C为60°，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为则四面体ABCD外接球的半径为．例3.在四面体ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=90°，二面角A-BD-C的大小为150°，例4.在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是3-，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是()3A.4π B.6π C.8π D.9π例5.已知三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=22，BC=3，PA=PB=32，且二面角P-AB-C·19·
的大小为150°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为A.100π C.110π B.108πD.111π ()例6.在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P-AC-B的余弦值为61-，当三棱锥P-ABC的体积最大值为时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为．33例7.在体积为23的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，ΔPAB为等边三角形，二3面角P-AB-C为锐角，则四棱锥P-ABCD外接球的半径为()A.C.21 33 B.23D.2 三、专题训练1.在三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=BC=AC=2，二面角S-BC-A的大小为60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是14π 340πC. 9A.16π352πD.9B. ()2.已知三棱锥A-BCD，BC=6，且ΔABC、ΔBCD均为等边三角形，二面角A-BC-D的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是．3.已知边长为6的菱形ABCD中，∠BAD=120°，沿对角线AC折成二面角B-AC-D的大小为θ的四面1体且cosθ=，则四面体ABCD的外接球的表面积为．34.在三棱锥P-ABC中，顶点P在底面ABC的投影G是ΔABC的外心，PB=BC=2，且面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为5.直角三角形ABC，∠ABC=-C的大小为．π，AC+BC=2，将ΔABC绕AB边旋转至ΔABC位置，若二面角C-AB2()2π，则四面体C-ABC的外接球的表面积的最小值为3B.3πD.2πA.6π 3C.π 2 6.已知空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，CD=3，若二面角A-BD-C的取值范围π2π为则该几何体的外接球表面积的取值范围为．4，3，7.在三棱锥S-ABC中，底面ΔABC是边长为3的等边三角形，SA=3，SB=23，二面角S-AB-C的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为．8.在四面体ABCD中，BC=CD=BD=AB=2，∠ABC=90°，二面角A-BC-D的平面角为150°，则四面体ABCD外接球的表面积为31π 3C.31π A.124π3D.124πB. ()9.在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=7，BD=23，二面角A-BD-C是钝角．若三棱锥A-BCD的体积为2．则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是()·20·
A.12π C.13π 37π353D.π4B. 10.在平面五边形ABCDE中，∠A=60°，AB=AE=63起后所得几何体的外接球的表面积是．，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC=DE=6．将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120°，则沿对角线BE折3，则四面体S−311.在四面体S−ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，二面角S−AC−B的余弦值为−ABC的外接球表面积为．．12.在边长为23的菱形ABCD中，∠BAD=60∘，沿对角线BD折成二面角A−BD−C为120∘的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为面角的大小为120∘，则此四面体的外接球的体积为13.在四棱锥ABCD中，∠BDA=120∘，∠BDC=150∘，AD=BD=2，CD=3，二面角A−BD−C的平．·21·
专题八 已知球心或球半径模型一、例题选讲例1.(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为BC=3，BD=3，∠CBD=90˚，则球O的体积为________．例3.(2012全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为2 62C. 3A.3 62D.2B.()．例2.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为3，例4.(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．例5.三棱锥S-ABC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为( )A.2+3 C.3 D.2B.2-3 二、专题训练1.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB=22，∠ACB=90°，PA为球O的直径且PA=4，则点P到底面ABC的距离为A.C.2 3 B.22 D.23()2.已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=23，且四棱锥O-ABCD的体积为83，则R等于A.4 47C. 9B.23 D.13()3.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，16三棱锥P-ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为()316π40πA. B. 3364π80πC. D.334.已知三棱锥A-SBC的体积为个球的表面积为．23，各顶点均在以PA为直径球面上，AB=AC=2,BC=2，则这35.(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．6.(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为·22·
4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为A.64π C.36π 7.(2020·全国Ⅱ)已知△ABC是面积为B.48π D.32π()93的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面4积为16π，则O到平面ABC的距离为()3 3 23D.2B.3，则这两个8()A.C.1 8.如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的圆锥高之差的绝对值为R 24RC. 3A.B.2R 3D.R9.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是()A.4π C.2π B.π πD.210.在三棱锥A-BCD中，底面为Rt△，且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为________．·23·
专题九 最值模型方法总结一、最值问题的解法有两种方法一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．二、例题选讲例1.已知三棱锥P-ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．例2.在四面体ABCD中，AB=1，BC=CD=3，AC=2，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为A.2π C.6π B.3π D.8π()例3.已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+163，则球O的体积等于42π 3322πC. 3A.162π 3642πD.3B.(4 316C. 3A.为________．8 332D.3B.)()例4.三棱锥A-BCD内接于半径为5的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为例5.已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高二、专题训练1.三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为棱锥的高的最大值为A.4 C.8 500π的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三3()B.6 D.102.(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A.36π C.144π B.64π D.256π()3.已知点A，B，C，D均在球O上，AB=BC=6，AC=23．若三棱锥D-ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为________．4.在三棱锥A-BCD中，AB=1，BC=2，CD=AC=3，当三棱锥A-BCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．5.已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=BC=2，AC=22，若三棱锥D-ABC体·24·
积的最大值为2，则球O的表面积为A.8π 25πC. 3B.9π 121πD.9()6.三棱锥A-BCD的一条棱长为a，其余棱长均为2，当三棱锥A-BCD的体积最大时，它的外接球的表面积为21π 45πC. 4A.20π 35πD.3B.()7.已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为3 22C. 3A.23 31D.3B.()8.(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为A.123 C.243 B.183 D.543()9.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC=∠BSC=30˚，则棱锥S-ABC的体积最大为A.2 C.3 8 3D.23B.()10.四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P-ABCD体积的最大值为A.8 C.16 8 316D.3B.()11.(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是A.4π C.6π 9π 232πD.3B.()12.已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为．13.如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，82π连接A1C．若当三棱锥A1-CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1-CDE外接球的体积为，则a3=()A.2 B.2 ·25·
C.22 D.414.已知三棱锥S-ABC的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为23，SA⊥平面ABC，SA=4，∠ABC=120°，则球O的体积的最小值为________．·26·
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