上海财经大学附属北郊高级中学2023届高三上学期开学考试数学试题

2023年12月30日发(作者：五年级下册73页数学试卷)

上海财经大学附属北郊高级中学2023届高三上学期开学考试数学试题

一、填空题

1. 已知集合

2. 函数

3. 若复数z满足

4. 在

5.

已知

，，则___________.

的定义域是___________

（i为虚数单位），则______.

的二项展开式中，项的系数为___________(结果用数值表示).

，则__________．

6. 设P为直线上的一点，且位于第一象限，若点P到双曲线两条渐近线的距离之积为27，则点P的坐标为___________

7. 已知

，，且，则的最小值为___________

的8. 已知函数围是______.

在区间上是增函数，则实数的取值范9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1+（n﹣1）d，5a2＝a8，则Sn＝__．

10. 袋中有一个白球和个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是___________.

11. 已知定义在上的函数，则方程

满足，当有___________个根.

时，12. 在平面直角坐标系个不同的动点，满足

二、单选题

13. 已知、，则“A．充分不必要条件

C．充要条件

中，已知，且，是上的两恒成立，则实数最小值是________

”是“”的（ ）

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

14. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ）

A． B． C． D．

15. 如图，在棱长为1的正方体中，P?Q?R分别是棱AB?BC?的中点，以PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为（ ）

A．

16. 设，，定义运算“△”和“”如下：.若正数，，，满足，，△ B．， D．，，则（ ）

B．

C．

D．

A．△C．△

，，△三、解答题

17. 如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点.

(1)求此圆锥的表面积：

(2)求异面直线PQ与SO所成角的大小.

18. 甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：

①连续竞猜次，每次相互独立；

②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为，再由乙猜测甲写的数字，记为，已知，若，则本次竞猜成功；

③在次竞猜中，至少有次竞猜成功，则两人获奖.

（1）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；

（2）现从人组成的代表队中选人参加此游戏，这人中有且仅有对双胞胎，记选出的人中含有双胞胎的对数为，求的分布列和期望.

19. 已知函数(1)设值；

是.

的反函数，若，使得函数在，求的(2)是否存在常数的值，并证明此时

为奇函数，若存在，求m上单调递增，若不存在，请说明理由.

20. 已知为椭圆C：内一定点，Q为直线l：上一动点，直线PQ与椭圆C交于A?B两点（点B位于P?Q两点之间），O为坐标原点.

(1)当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；

(2)当AOB的面积为时，求点Q的横坐标；

，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不(3)设，是，请说明理由.

21. 已知函数，无穷数列满足，.

(1)若，写出数列的通项公式（不必证明）；

(2)若，且，，成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由；

(3)证明：，，，，成等差数列的充要条件是.