2023年12月31日发(作者：王朝霞数学试卷3的答案)
2020年考研数学一真题解析一(1)、选择题【答案】g(x)\'则【解析J勹】(t)dt（方法D�r一）g(t)dt.利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～(A)l)dt�
(B)『t2dt=气+万）dt�rt3
令dt=气(C)
f\"『『(/ln(l-。工sint2dt�tdt�f5
2。c2dt
=丘3(D)
J:-cosx
/忒臣了厂。rdt-I-cosr
tidt�I:\'\'l令dt故应选CD).=岊（占）寺xm阶和n阶无穷小，则（方法二）设J(x)和 1)阶无穷小0时，f(x)和 r C / -1) dt ,m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 叫。。ln(l+ #)dt,m =立，n2= 1, 则n(m+l)=立2. CC)厂sint2 dt, m = 2, n = 1 , 则n(m+ 1= 3.叫产。) 1一cos,·= =5.故应选(D).。t,m=一，n232, 则n(m+l)若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x【(2)解析【答案】】（方法C 一）直接法=O处连续，且f(O)= 工lim-of(x) = 0. j\'(O) = Jim ;-0 f(x) -Xf(O) 0 = lim r•O f(x)X = X = 工-olim ,/了f(x) .,·-olim f(x) ——• X� j\'(0)• 0 = 0 故应选(C).（方法二）排除法取f(x)= { X1, , X X =# 0 0 ，则lim= J-0 f位）o, 且3 但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在_lim。Jf(x) = = O,lim工-of(x一) =x—3 =了lim 工-o�· xX 2 limr--0 X 2 0 X若取f(x)= x, 则lim= 0处不连续，则排除选项(A),CB).J-0 f(x)= 0, 且f(x)在x=O处可导，但•5 • 排除CD)\'故应选CC).(3)【答案】Alim ,·-·O f(x) X 1 2 = lim 2= lim -#-0 X .r-0 X .r-•O X 【解析】利用函数z= .I一位，y)在(x。,Yo)处可微的充要条件im幻-J\'.心X-J:t:,y = Q.2 Z 汇�,Jt:,x+ t:,y,0)处可微，则因为f(x,y)在(0,O) ,O) :r r7f(Of(x,y)— Bf(Oy ax ay im = 0 2+ 2 ,-酝。妇y_y•O -of(O,O) of(O,O) -= 而n•(x,y,f(x,y)) x+y f釭，y).－ imn•(x,y,f位，y))= O 即im,有z .r-Q z .T伽。,J x+ y户°y-0 正确答案选CA).(4)【答案】A［解析】由阿贝尔定理，当Ir, ,=! 杠I n• (x,y,f丘y))l=O.,,/x2 + y2 ay= 所以，当互沁.,rz\"发散时，Ir I?:, R. 答案选CA).\"=I l a1 a2 a3 -a2 0 a1 ,a2 ,a3 = I a1 ,a2, 商I=b1 b2 b3 -h2 = I C1 Cz C:i -Cz ,a3线性相关且a1,az线性无关．于是a1,az 从而U3必可由a1,a2线性表示．(7)【答案】D【解析】儿B,C中恰有一个事件发生即CAU BU C)—CAB U BC U AC). 因为P(AB)=U C) -CBC U AC)的概率趴故P(ABC)= 0 ,所以恰有一个事件发生可以只考虑CAU B -P(BC) -P(AC) PCCA U B LJ C)-(BC U AC))= PCA).LP(B)+PCC)—PCBC) -PCAC) l --———1 l -1 5 1 1 .L—-1 =-+—--=—4 4 I 4 ] 2 12 12 12 12 答案选CD).(8)【答案】B【解析】L1,L2分别经过A(a2,优，Cz),B(a3,仇，C3)两点．于是L1,匕交于一点已{= B AP1P2…P, = 1� 因P,均可逆，故有A=BP, I…1\'21 ril\'记p尸…P了P尸故应选CB).(6)【答案】c【解析】由直线标准方程,az = (az ,bz ,Cz)T, 直线知I八心的方向向掀分别是a1= (a1 ,b1 ,c1)T 冠I=o I a1 ,az, \'即有a1 ,az不平行(5)【答案】B【解析】矩阵A经初等列变换得到B,故存在初等矩阵P,(i = 1, 2, …，t)使【评注】解析中用到了原命题成立时，它的逆否命题一定成立．:厂-+EX�上,DX� 上X,独立同分布，方差存在，根据中心极限定理2 4 p了了•6 • ． 2020年全国硕士研究生招生考试数学（一）参考答案fN(100 X;=1 x, 近似服从｀《正态分布-1 2 , 100 X 一1 4 ，即N） (50,25).100 5}�p50 ,s;; 55答案选{二、填空题(B).三0}�.. (\"三o)�中(I)【(9)解析【答案】】Jim-—--1气;--o[e工1 -1lnO+x)]1 =i,四 ln(e\"-(l +x) l)lnO -(e+x) r -1)= JmlnO +x ) -e\'+ 1 = Jim1 + 1 x --\' ,._.o -x --o Zx 2 (1 (10)【答案】—迈= li心m一会。 + 1 2 x)2 -e工=-1 【解析】少=y\'1 dx xI ((t) t) =五言＝ l v1fTT t t\' d则豆2 y ＝－1 =-肛dt ＝（－了1 ）. v\'1+t2 =-v\'1+t2 l3 (11)琴（了控．t r=I【解析【】答案厂。】n+amf(x)dx=-厂只需求出。[f\'(x)+af\'(x)]dx =-J\'(x)J\'(十=)=丿：厂-。af (x)尸。微分方程的特征方程为入巴2+J\'a)..+l(x)及f(十=)==入OI�巴f(x)即可．当a>Z当a=Z时，入1,2= —a土Jc!-=了I, A2时，入为两负实根，f位）= C2 I1e\'•工+C2e甲，1=入2v\'4=? x)e—r\'不论如上哪种情形，均有当O = CC1 + C22= (cf(1十cos=) = 2 工li+C2sinv\'4=? x)e －和. -+oomf(x) = <+=) 2 = ,I .r-十OO厂0 f(x)釭＝－+oo+oo= f\'厂o,f\'limf (x) = 0. 因而(0) + 。[/\'a(x)f (0) +af\'(x)]dx == n + am.-f\'(x) lo -af(x) lo【(12)解析【】答案f】(x,4ey)有二阶连续偏导，利用一一3或ya2 f －＝—ayax· a2 一f －. ay aJ -= xe ,(.ryl 2 •7 • ＝主LI·= 4所求主勹. 0戒X(I!)OXOy CJ.I) (13【答案】矿(a1-4) 【解析】由行列式性质恒等变形，例如把2行加到1行，3行加到4行，再把1列的-1倍加到2列，4列的—1倍加到3列O -l a l a aO O a 00 0 0 a 1 -1 0 a l -1 0 a 2 -1 ＝ = ——1 1 a O-1 2 a 011 a O -11 O 00 a0 a O Oa a a 2 2 2 = a = (a2—4 I a2 a 叮= .r\'/ 扫x+xex\"/• 3归【答案】2 (14)【解析】【评注】基本计算题，解法非常多，也可每列都加到第1列，再消o,… =Cov(XY) = E(XY= E�fxsin xdx -EX• EY (Xsin X) = E(XY) = r xsin x· 上dx--\"-f .x�u(—牙号），Y= sin X,EX = 02 -:rcos x) I令=1-= -(sin :r 亢亢六= 3x2 -y = 0 1 1 -J: -【解】由{/ (15)0,,0(点为驻得(6\'12).2 -X 几=24y= 0 =几=-1,C = f�y = 48y 可计算A=几=6x,B -1. 判别式t::,.= AC -B2 = 288xy 在(0,0)点处，!::,.=-1<趴不是极值点；三、解答题上上）＝—1 小值为极在尸上）点处，t::,.= 3 0且A＝ 1 O取6\'12 6 12 215· ．(16【分析】挖去奇点(00用格林公式z = e2 (e2足够小），方向为顺时针方向，【解】取L1:丘+yy dy -ydx + X + +y ?. dy 则I=釭-Y2 dx + x 釭乎z z 2 2 L+L1 4x+ y 丘-l-y4:r+ y 凸丘+y 4x-yQ、工+y令P=z z , = 4. 2\'甘+y4x+ y2 aQ＝抒＝-4x-8xy + y2 计算得(4:rz + yz)z 妇的> > I(-§其中D1= { (x,y) I 4x2 + y2�E勹．所以I=因而I=0 -2 E 崎L (:r+ ydy =(4:r—ydx+ 了E 2dxdyJJ o, ．【分析】得到和函数的微分方程，解微分方程求出和函数(17)1 n+-生旦=lim-主=1【解】由阿达玛公式p=lim. .n �-n-l a,, \" = •8 •今XrcXe:X主=2 E TC. + 幕级数= = = 1 ,, +a,,x\"十1汁1X+a1 =�(nS\'(x) =�na,,x\'i=�(n+l)a, n-1 n-1n-1= == = \'+ 上�anx\"十1llnX\")=�na,,x\"十上�a,,x\"+l = x2 n-12 n-1 n-1 n-1令S(x)=�a,,x\", 则,,-] 2n-1 = 2020年全国硕士研究生招生考试数学（一）参考答案．所以，当牛x的收敛半径R=上=1, 二。P IxI< 1时，�a,,x\"收敛．n-1 即S(x) = xS\'(x)1In I S(x) +2 I=—ISCx)+21= 二C C1 1 —In I 1-x曰InC,2 ,S(x)+2= 1 1 l s\'(x)+—S(x) + 1\' = -• —一一．-x 2S(x) + 22 1 士Ci心歹)二．2 -2.亦是S(x)+2 = 由S(O)= 0得C= 2, 所求和函数为S(x)= (18)【分析】利用投影轮换法．厂厂【解】贝tlI==If[』:!; 曲面�:Z= /2二了的法向量n={zx,z:,-1} = {， {P,Q,R}·{-zx, —z:, 1 }dxdy,J x2 + v2 立立｝X \' y , —l _ x(汀(xy)+2x-y)_y(yf(xy)+2y+x)2 ,J xz + v＝』［－，二巧(xy)—2左二了三f(xy)+习dxdy= II左杠dy＋寸(xy)+zdxdy] ＝厂叫:r• rdr =牛(I >设I2CD : 1�x2 + y�4)使(0,1], 由拉格朗日定理知存在t;E (O,c), 若cE M I J(c) I =-�M.C C (19)【证明l【评注】本题只给出j釭）连续，因而不能采取补曲面高斯公式计算．f(c) = M. J(c) -f(O)＝f(c) C c-0 = J\'(t;) ,2汃使若cE0,2],同理存在肛EO j\'(�) = 从而有IJ\'<�) I= -<�) I= 从而有IJ\'综上所述，存在扣E(0,2), 使得If\'化）l�M. < II)若cE[O,l),则I J I =—一多M.M -2-c2cf(2)—f(c) = -f(c)2—c2-c •9 • M=I f(c) =I f(c)—f(O) I= I j\'(�) I C冬Mc同理，当cECl,由于O�c<1, 则M=0 .若C= 1, 且M>2]时，也可得M=0 .矛盾，则MM O= I /Cl) I= If f\'(x)dx I勹:I /\'Cx) I cl工 即(20)【韶】=C I)O.二次型J经正交变换原题得证．X=Qy化为二次型g.记二次型f,g的矩阵分别是A和A=[因A�B,于是�a,;=�b,; , I A —I = I B- /I , ]即,n{:-勹 =勹，:勹5,又因a�c II从故a=4,b=l.只要)对二次型令｛：；=二f=式—4X1X2+ 4式和g+ �2即Y�, �1Q=\'[:.:J= 4贞+4劝[Y2_ �] [�:][-o1 0 1]是正交矩阵合于所求．【评注】经X= Q如求出A的特征向量并单位化构造正交矩阵Qi=1z得XTAx=5叶3s[_ �], = = 从类似构造正交矩阵Qz使yQT而X= Q1Q21Y而得= BQy= 1Q215云，即x亦可．Q1z,y = Q2z有zQ21Y,Aa线性无关(21)【解】c I)因a#-0且a不是A的特征向量．于是Aa#-ka,从而a与Aa不共线，即a,或（反证法）若P不可逆，有，故P=(a,Aa)可逆．([a与Aa成比例，I) (万法一）于由A飞是AaAP+= = Aaka. 又a#-0知aIP I= I a,Aa -6a= 0有A2a是I= A的特征向址与已知条= o6a—件矛盾．因P可逆，于是=A(a,Aa) (a,Aa)[ 0 = (Aa,A_iJ 2a) = (Aa, Aa妞—Aa)1 6 lP一!AP=0 6 记B= O 6IIB-于（是A有[1 2个不同特征值从而A可相似对角-1 而BI=-1入+入—I _}6—1=入l2土，入－6特征值2,3. 因A2+ A -6E 化．于由方法二A2a+）Aa—6a= O, 即(A= 2(A-2E) (A+ 3E) = (A+ 3E) (A -2E), 即A(Aa即是(A(A—-2E2E) 十)3a)(Aa(A+ 3E)a = 0, +A—6E)a = O,= 十2(Aa3a)= 十O,3a),•10• 2020年全国硕士研究生招生考试数学（一）参考答案．由a不是特征向量，有Aa、+3a -=I= 0 从而入=2是A的特征值，类似有入=-3是特征值．下略．F(22)(x,y【解 】= = P(l){X1CX,,Y�x,Y的�y分布函数} = P{X, F(x,y)�x,X3X1 + (1-X=�P{X, P{XP{X3 I3)X=2�y 03 == l)O)P{XP{X, 1�x,X,X, +�x,X3X1 O+ O -X,)X-X2 3)X2�y �y I X3 X3 = 1} ) )+ = -1 2 l �x,X2�y P{X, �x,XI X3 = O} -+2 1 P{X1�x,X, �y I X3 = 1) 2�y} -+1 P{X1�x,X1�y )= -P{X, 2 1 �x)P{X2 2�y1 氏C II()Y＝) -+P{X1�min(x,y)} 一中釭）趴y2 12 )-趴min+1 2 2 (x,y))y)的= 分布函数= P{X3X1 + (1-X3)X2�y= PP{X-{X1 3 == lO}}P{XP{X3X1 + Cl -) X3)Xz�y I X3 = O}十3X1 + Cl-X3)Xz�y I X3 = 1} = -2 1 P{XP{X2�y r-3 = 0) -1 I x+2 1 P{X, �y } -+1 P{X1�y1 I x3 = 1})-趴y+1 Y -N(O,2 l). 2�y2 ) = -2 中(y2 )=趴y)(23)【解】F(t) = o, -C令）\'\'t \'?,< O\'厂行）· 沪－（令），Cl)P{T>t}=o,f(x)�F\'(x�t m-1 o, 心+-FCt)= -0.P{T> s十t!T>s}厂f(t)dt= F(t) += = FCC扩）\"\',t > =P{T> s十t,T>s}=PmP{T>s十t{}e -(－ 宁令））\"\',n （(JI)给定tI\'tz\'…, t,,\'似然函数为= e-C宁）\"P{T>s} \'+ (令）T>寸L(0) = III “ i-1 ;-1 _1 -(五0 ）,,, = m \" IT�e“ t• m-1 , . m 一e0 ;-1 \"\' 飞�）nL(0=nln=m订叫勹�(m-l)ln+\"。,,,t;-mnn0� \'』0t; m \"\' 令din L解得矿de(0= -mnl ＝�\" t;万,-1 —笘(-em+I m)t7\'=0,--。n �+ “ 工-;-1 0;=J 0\",+I = 0 n ;-1 勹不难验证为最大值最大似然估计值0=•11•t t�0, < 0.
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