2024年1月10日发(作者：难点的小学数学试卷)

第10章 曲线积分与曲面积分

1．计算下列对弧长的曲线积分：

x3t(1)

xsinyds，其中C为，(0≤t≤1)；

Cyt(2)

xacost22，其中C为圆周，(0≤t≤2π)；

(xy)dsÑCyasintxa(tsint)2，其中C为摆线的第一拱(0≤t≤2π)；

ydsCya(1cost)(3)

(4)

(5)

(6)

Cyds，其中C为抛物线y2=2x上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧；

(xy)ds，其中C为以O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)为顶点的三角形的边界；

x2y2ds，其中C为圆周x2+y2=ax(a>0)；

CCxtcost(7)

zds，其中C为圆锥螺线ytsint从t =0到t =1的一段；

Czt222xyz42(8)

xds，其中C为圆周

Cz3解答：(1)

Cxsinyds3tsint31dt310tsintdt310(tcostcostdt)

0 0 0 122 110 1n1

310(sic；o

s1)(2)

(3)

222223(xy)dsa(asint)(acost)dt2a；

ÑC02Cydsa(1cost)2t(aacost)(asint)dt16a3sin5dt

002256332a3sin5da；

01522222222031221ydy(1y)3220(4)

Cydsy1(551)；

3(5)

C可以分割为三条直线OA:y0(0x1)，

0(0y，1)

OB:x

83

BA:y1x(0x1)

C(xy)ds=(xy)ds+(xy)ds+(xy)ds

OAOBAB111000

xdxydy(x1x)2dx

21；

aaxcost2222(6) C为圆周x+y=ax(a>0)；化为参数方程，(0≤t≤2π)，

aysint2(7)

Cxyds2220a2(1cost)aa2dt222

20costtdta2cosdt2a2；

022Czdst(costtsint)2(sinttcost)21dt

013122t2tdt(2t)0312101(3322)；

3xcos(8)

C可以表示为参数方程ysin;0,2

z3Cxdscos2sin2cos2d．

022所属章节：第十章第一节

难度：一级

xacost2．已知半圆形状铁丝(0≤t≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐标，求此铁丝yasint的质量

解答：mydsasint(asint)2(acost)2dt2a2

C0所属章节：第十章第一节

难度：一级

xacost3．已知螺旋线yasint(b>0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方，试求t从0到zbt

84

2π一段弧的质量

8解答：m(xyz)ds(a2b2t2)a2b2dta2b2(2πa2π3b2)

C03所属章节：第十章第一节

难度：二级

2222xa(tsint)4．求摆线的第一拱(0≤t≤2π)关于Ox轴的转动惯量(设其上各点的密度与该点ya(1cost)到x轴的距离成正比，比例系数为k)

解答：Ikydsk(1cost)C0323272a(1cost)asintdt2ka222230(1cost)dt

102447tsindtka

0235所属章节：第十章第一节

难度：二级

5．计算下列对坐标的曲线积分：

64ka32xacostπ(1)

ydxxdy，其中C为圆弧,(0t)，依参数t增加方向绕行；

C4yasint(2)

(3)

(4)

xa(tsint)，其中C为摆线自原点起的第一拱；

(2ay)dx(ay)dyCya(1cost)Cxdy，其中C为x+y=5上由点A(0，5)到点B(5，0)的一直线段；

222(xa)ya(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整，其中C为圆周xydxÑC个边界(按逆时针方向绕行)

解答：(1)

(2)

Cydxxdyasintd(acost)acostdasinta40240a2cos2tdt

22C(2ay)dx(ay)dy

[(2aaacost)d(atasint)(aaacost)d(a(1cost))a2

0(3)

Cxdyxd(5x)0525

2(4)

C分成两部分在C1:(xa)2y2a2(a0)在x轴的上部逆时针方向，C2是从原点指向(2a,0)，则蜒xydxCπ3xydxxydxxa(xa)dxx0dxa

?C1C22a020222a所属章节：第十章第二节

难度：一级

85

6．计算(x2y2)dxxydy，其中O为坐标原点，点A的坐标为(1，1)：

OA(1) OA为直线段y=x；

(2) OA为抛物线段y=x2；

(3) OA为y=0，x=1的折线段

1解答：(1)(xy)dxxydyx2dx；

OA； (2)(x2y2)dxxydyxxdxxd(x)15OA0(3) 设点B的坐标为(1，0)，则OA分为两段

OA(x2y2)dxxydyOBBAx2dxydy00115．

6所属章节：第十章第二节

难度：一级

7．计算2xydxx2dy，其中点A、B的坐标分别为A(0，0)，B(1，1)：

AB(1) AB为直线段y=x；

(2) AB为抛物线段y=x2；

(3) AB为y=0，x=1的折线段

解答：(1)

(2)

AB2xydxxdy(2x2dxx2dx)1；

021AB2xydxx2dy[2x3dxx2d(x2)]1；

021 (3) 设点C的坐标为(1，0)，则AB分为两段

AB2xydxxdyACCB0dx1dy1．

0011所属章节：第十章第二节

难度：一级

8．计算下列曲线积分：

xt(1)

(y2z2)dx2yzdyx2dy，其中L依参数增加方向绕行的曲线段yt2(0≤t≤1)；

Lzt3(2)

Lxdxydy(xy1)dz，L为从点A(1，1，1)到点B(2，3，4)的一直线段；

1解答：(1)(y2z2)dx2yzdyx2dz(t4t64t63t4)dtL01；

35xt1(2)此时L 写作参数方程y2t1 (0t1)

z3t1

86

Lxdxydy(xy1)dz(t14t29t3)dt13．

01所属章节：第十章第二节

难度：一级

9．一力场由沿横轴正方向的常力F所构成。试求当一质量为m的质点沿圆周x2+y2=a2(a>0)按逆时针方向移过位于第一象限那一段圆弧时场力所作的功

解答：Fdx2FdacostFa．

L0所属章节：第十章第二节

难度：一级

10．设有力场的力，其大小与作用点到Oz轴的距离成反比(比例系数为k)，方向垂直且朝着xcostOz轴，试求当一质点沿圆周y1从点(1，1，0)到点(0，1，1)时力所作的功．

zsint注：本题已改动，否则点不在圆周上．

解答:由题目可知F=xcostkxy(,,0).当一质点沿圆周y1从点(1，1，0)

x2y2x2y2x2y2zsint到点(0，1，1)时，y为常数，dy0，此时力所作的功为：

kx2y2Lxx2y2dx200ktkcost1120dcostdtkln(1t)kln2．

12211cost1t22所属章节：第十章第二节

难度：三级

11．把对坐标的曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy化成对弧长的曲线积分，其中C为：

C(1) 在xOy平面内沿直线y=x从点(0，0)到点(1，1)；

(2) 在xOy平面内沿抛物线y=x2从点(0，0)到点(1，1)；

解答：(1)P(x,y)dxQ(x,y)dyFnds，n为y=x的单位法向量，n(CC22,)，

22CP(x,y)dxQ(x,y)dyFndsCC1(P(x,y)Q(x,y))ds；

21,2x14x2(2)

n为yx2的单位法向量，n(14x2)，

87

CP(x,y)dxQ(x,y)dyFndsCP(x,y)2xQ(x,y)14x2Cds．

所属章节：第十章第二节

难度：二级

xt12．设L为曲线yt2上相应于t从0到1的曲线段，试把对坐标的曲线积分PdxQdyRdzLzt3化成对弧长的曲线积分

xt解答：n为曲线Lyt2的单位法向量，

zt3n(114t9t24,2t14t9t24,3t214t9t24)(114x9y22,2x14x9y22,3y14x9y22),LPdxQdyRdzFndsLP2xQ3yR14x9y22LdS．

所属章节：第十章第二节

难度：二级

13．设闭曲线C为正向圆周x2+y2=4，试就函数P=2x–y，Q=x+3y验证格林公式的正确性

解答：格林公式P(x,y)dxQ(x,y)dy(CDQP)dxdy，

xy2由于(2x-y)dx(x3y)dy2(4cos2sin)dcos2(2cos6sin)dsin

C0022(210sincos)d8，

02(DQP)dxdy2dxdy8，

xyD所以格林公式正确．

所属章节：第十章第三节

难度：一级

14．试利用格林公式计算下列曲线积分：

(1)

(2)

132(xy2y)dxxxdy，其中C以x=1、y=x及y=2x为边的三角形正向边界；

ÑC3Ñxydyx2C2ydx，C为正向圆周x2+y2=a2；

88

(注：本题已改动，否则结果为0)

x2y2(3)

(xy)dx(xy)dy，C为椭圆周221，取正向

Cab解答：(1)

111132(xy2y)dxxxdydxdy1211，D为C所围区域；

ÑC3222D2a(2)

(3)

22223Ñxydyxydx(xy)dxdyddCD0014πa，D为C所围区域；

2Ñ(xy)dx(xy)dy2dxdy2ab，D为C所围区域．

CD所属章节：第十章第三节

难度：一级

15．利用曲线积分，求下列曲线所围图形的面积：

3xacost(1) 星形线；

3yasint(2) 椭圆9x2+16y2=144；

(3) 圆x2+y2=2ax

211223223233332解答：(1)Ñxdyydxa{costdsintsintdcost}sintcostdta；

002C2208x4cost(2) 椭圆9x2+16y2=144化为参数方程,

y3sint2221Cxdyydx6{0costdsint0sintdcost}60dt12；

2Ñxacosta(3) 圆x2+y2=2ax化为参数方程,

yasint21a2a2xdyydx{(acosta)dsintasintd(acosta)}ÑC0220220(1cost)dta2．

所属章节：第十章第三节

难度：二级

16．验证下列曲线积分在xOy平面内与路径无关，并计算它们的积分值：

(1)

(2)

(3)

(2,2)(1,1)(3,4)(xy)dx(xy)dy；

(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy；

(2xyy41)dx(x24xy3)dy

(1,2)(1,2)(0,0)

89

解答：(1) 因为QP1，则曲线积分在xOy平面内与路径无关，此时可选取yx,x[1,2],

xy21(2,2)(1,1)(xy)dx(xy)dy2xdx3；

QP12xy3y2，则曲线积分在xOy平面内与路径无关，此时可选取xy(2) 因为yx1,x[1,2

],(3,4)(1,2)(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy{6x(x1)2(x1)36x2(x1)3x(x1)2}dx

122(x1){6x23x(x1)(x1)2}dx236;

1(3) 因为QP2x4y3，则曲线积分在xOy平面内与路径无关，此时选取y2x,x[0,1],

xy10(1,2)(0,0)(2xyy41)dx(x24xy3)dy{4x216x412x264x4}dx15．

所属章节：第十章第四节

难度：二级

17．利用格林公式计算下列曲线积分：

(1)

C(2xy4)dx(3x5y6)dy，其中C为三顶点分别为(0，0)，(3，0)，(3，2)三角形正向边界；

x3xtsint(2)

(xy3xe)dxysinydy，其中C是沿摆线从点(0，0)到点(π，2)的C3y1cost2x一段弧；

(3)

C(exsinymy)dx(excosym)dy，其中C为上半圆周x2y2ax，取逆时针方向．

注：本小题已加了条件．

解答：

(1)

Ñ(2xy4)dx(3x5y6)dy4dxdy12，D为C所围区域；

CD2xx3(2)

(xy3xe)dxysinydy

C3x3x32xÑ(xy3xe)dxysinydy(xy3xe)dxysinydy，

CC1C1332x其中C1:x2y,y[0,2]方向从点(π，2)到点(0，0)，由格林公式前一积分为零，故

90

2x332原积分(x2y3xex)dxysinydy{()xeysiny}dy

0C133323824423eπ(π1)3π32cos2sin2；

3(3)

C(exsinymy)dx(excosym)dy

CC1C1xxxxÑ(esinymy)dx(ecosym)dy(esinymy)dx(ecosym)dy

其中C1:y0,x[0,2a]方向从点[2a,0]到点(0，0)，记D为CC1所围区域，则由格林公式

原积分mdxdy2a0dy1ma2．

D08所属章节：第十章第三节

难度：二级

18．计算曲线积分ydxxdyCx2y2：

(1) C为任一按段光滑的、不包含原点的闭曲线；

x2(2) C为椭圆y21，取正向；

4解答：(1) 由于当x2y20时，yx(2)()，故由格林公式

222yxyxxyydxxdy0dxdy0

ÑCx2y2D(2)

ydxxdy蜒Cx2y2ydxxdyydxxdyydxxdy222CC1x2y2蜒C1x2y2C1x2y2，其中C1:xy取负向，由于C1:xcost,ysint，所以

22222sintcostydxxdydt2．

2Cx2y20所属章节：第十章第三节

难度：三级

19．验证下列P(x，y)dx+Q(x，y)dy在全平面内是某个函数u(x，y)的全微分，并求此原函数u(x，y)：

(1)

(x2y)dx(2xy)dy；

91

(2)

(x22xyy2)dx(x22xyy2)dy；

(3)

(x44xy3)dx(6x2y25y4)dy；

x5注：本小题已作改动，原来题中(x4xy)dx(6xy5y)dy，与参考答案2x2y3y5C543224x5不相符．也可以改动答案为2x2y3y5C．

5(4)

excosydxexsinydy；

解答：(1)

QP2 , P(x，y)dx+Q(x，y)dy在全平面内是u(x，y)的全微分.

xyxx2uy2u(x,y)(x2y)dx2xy(y),2x(y)2xy,(y)C

02y21则u(x,y)(x2y2)2xyC

2(2)

QP2x2y , P(x，y)dx+Q(x，y)dy在全平面内是u(x，y)的全微分.

xyx222x3uu(x,y)(x2xyy)dxxyxy2(y),x22xy(y)x22xyy2，

03yy3(y)C，则

31u(x,y)(x3y3)xy(xy)C；

3(3)

QP12xy2 , P(x，y)dx+Q(x，y)dy在全平面内是u(x，y)的全微分.

xyx4323x5uu(x,y)(x4xy)dx2xy(y),6x2y2(y)6x2y25y4,(y)y5C

05yx5则u(x,y)2x2y3y5C；

5(4)

QPexsiny , P(x，y)dx+Q(x，y)dy在全平面内是u(x，y)的全微分.

xy

92

u(x,y)excosydxexcosy(y),0xuexsiny(y)exsiny,(y)C

y则u(x,y)excosyC．

所属章节：第十章第四节

难度：二级

20．设有力场F=(x+y2)i+(2xy–8)j，证明质点在此力场内移动时，场力所作的功与路径无关，只与起终点有关

解答：由于QP2y，利用格林公式知场力所作的功与路径无关, 只与起终点有关．

xy所属章节：第十章第四节

难度：二级

21．计算下列曲面积分

(1)

(2)

(3)

xyzdS，其中S为平面xySz1在第一卦限的部分；

2xdS，其中S为球面xS2y2z2R2在第一卦限的部分；

Sx2y2dS，其中S为单位球面x2y2z21；

(4)

xS2y2dS，其中S为锥面zx2y2及平面z=1所围区域的整个边界曲面；

解答：(1)

z22x2y,zx2,zy2,Dxy{(x,y)xy1,x0,y0}

xyzdS3xy(22x2y)dxdy6dxSDxy011x0xy(1xy)dy1；

20(2)zR2x2y2,zxxRxR2x2y2,zyyR2x2y2R,Dxy{(x,y)x2y2R2,x0,y0}，

xdSSDxyRxy222dxdyR2d02cosR220dR44；

(3)z1x2y2,zxx1x2y2,zyy1x2y2,Dxy{(x,y)x2y21}

93

SxydS2Dxy22x2y21x2y2dxdy2d0212120d2；

(3)将S分为两个曲面S1,S2.S1为锥面zx2y2

zx2y2,zxxx2y2,zyyx2y22,Dxy{(x,y)x2y21}

21xS12ydS2xydxdy2d3d22Dxy002

2S2为平面z=1，z1,zx0,zy0,Dxy{(x,y)x2y21}.

xS121ydSxydxdyd3d

002Dxy22221xS2y2dS1(21)π．

2所属章节：第十章第五节

难度：二级

22．设半径为R的球面上每点的密度等于该点到某一定直径的距离的平方，求此球面的质量

解答：将直径设为Z轴, 球心为原点,球的方程为zR2x2y2，

zxxRxyS222,zyyRxy222,

球面的质量为x2y2dS，

xS2ydS2R2Dxyx2y2R2x2y2dxdy2Rd02R08dπR4．

3R223所属章节：第十章第五节

难度：二级

23．求球面za2x2y2含在柱面x2y2ax0内部的面积

解答：za2x2y2,zxaa2x2y2xa2x2y22,zyacosya2x2{(x,y)x2y2ax}

dSSDxydxdyad2a220d(2)a2．

94

所属章节：第十章第五节

难度：二级

124．求旋转抛物面z(x2y2)被平面z=2所截部分的质心位置，假设其上各点的密度与该2点到z轴的距离平方成正比．

1解答：由旋转抛物面z(x2y2)的对称性，质心位置在z轴，

2%zMz2(12551)，

S222222M7(2551)k(xy)dSk(xy)1xydxdySDxykz(xy)dS221k(x2y2)21x2y2dxdy2Dxy其中Dxy:{(x,y)x2y24}．

所属章节：第十章第五节

难度：二级

25．计算下列曲面积分

(1)

(2)

(3)

2zdxdy，其中S为平面xyz1位于第一象限部分的上侧；

Sxdydzydzdxzdxdy，其中S为球面xS2y2z2R2的外侧；

(xS3yz)dydz2x2ydzdxzdxdy，其中S为柱面x2y2R2(0≤z≤1)的外侧；

（此题的柱面是否封闭？若是，则答案有误，若不是，则题目中积分符号上的圆圈不对；以下按封闭解答）

(4)

222222zxy,xy1,x0,y0,z0在第一象限，其中S为xzdydzxydzdxyzdxdyS中所围立体的表面的外侧；

解答：

(1)

zdxdy(1xy)dxdydxSDxy02211x0(1xy)2dy1；

12(2)由S的对称性可知，

乙xdydzydzdxzdxdy3zdxdy6SSDR2x2y2dxdy

6d02R0R2r2rdr4R2；

(3)

Ò(xS3yz)dydz2x2ydzdxzdxdy(x21)dxdydz

2R1000ddr(r2cos21)rdz

π4RπR2；

495

(4)

ÒSxzdydzxydzdxyzdxdy(zxy)dxdydzddr(zr2)dz200022221r28．

所属章节：第十章第六节

难度：二级

26．利用高斯公式计算下列曲面积分

(1)

(2)

(3)

222

xdydzydzdxzdxdy，其中S是由x=0，y=0，z=0,xyz1所围立体表面的外侧；Sx(yz)dydz(xy)dxdy，其中S为xSS2y21，z=0及z=3所围立体表面的外侧；

xdydzydzdx(xyz1)dxdy，其中S为上半球面za2x2y2的上侧；

(4)

2222，其中S为锥面被z=0所截部分的(xyz)dydz(yzx)dzdx2zdxdyz1xyS上侧．

注：(3)(4)两题积分符号上的圆圈已去掉，由于所涉曲面不封闭。

解答：

1(1)x2dydzy2dzdxz2dxdy(2x2y2z)dxdydz6xdxdydz；

4S(2)

(3)

ÒS2139x(yz)dydz(xy)dxdy(yz)dxdydzddr(rsinz)rdz；

0002xdydzydzdx(xyz1)dxdy

SÒxdydzydzdx(xyz1)dxdyxdydzydzdx(xyz1)dxdy

SS1S13dxdydz(1xy)dxdy2a3a2，

Dxy其中S1为平面z0,x2y2a2的下侧；

(4)

(xS2yz)dydz(y2zx)dzdx2zdxdy

2222Ò(xyz)dydz(yzx)dzdx2zdxdy(xyz)dydz(yzx)dzdx2zdxdySS1S12(xy1)dxdydz0dxdyDxy2

3其中S1为平面z0,x2y21下侧．

96

所属章节：第十章第六节

难度：二级

27．利用斯托克斯公式计算曲线积分(exx2y2z2)dx(eyy2z)dy(ezyz2)dz，其中L为Ly2z2R2正向圆周

x0解答：

Ñ(eLxx2y2z2)dx(eyy2z)dy(ezyz2)dz222:yzRx0(y2z2)dydz2x2y2zdxdz2x2yz2dxdy

Dxy:y2z2R2(yz)dydz22R22．

所属章节：第十章第六节

难度：二级

28．求向量场A穿出所给曲面的通量：

(1) A=x3i+y3j+z3k，S为x2+y2+z2=a2；

(2) A=2xi+y2j+z2k，S为柱面x2+y2=a2，z=0，z=h所围立体的全表面

解答：(1)

(3x3y3z)dxdydzdd3r4sindr0002222a125πa；

5(2)

(22y2z)dxdydzddr(22rsin2z)rdr2πh(1h)a2．

0002ah所属章节：第十章第七节

难度：二级

29．求下列向量场的散度div A：

(1) A=x3i+y3j+z3k在点(1，0，–1)处的散度；

(2) A=x2yi+xyzj–yz2k在点(1，–1，1)处的散度；

(3) A=x2yzi+xy2zj+xyz2k在任一点的散度；

(4) A=x2yz3(xzi–y2j+2x2yk)在任一点的散度

解答：(1)

divA(2)

divAMM(3x23y23z2)MM6；

(3xyxz2yz)1；

(3)

divA2xyz2xyz2xyz6xyz；

(4)

divA3x2yz43x2y2z36x4y2z23x2yz2(z2yz2x2y)．

所属章节：第十章第七节

97

难度：二级

30．求向量场A= –yi+xj+Ck(C为常数)沿下列闭曲线C的环量Γ：

(1) C：圆周x2+y2=R2，z=0的正向；

(2) C：圆周(x–2)2+y2=R2，z=0的正向

ijyxknds2dxdy2R2, 其中S圆周(x–2)2+y2=R2，z=0的平面．

zSCknds2dxdy2R2,其中S圆周x2+y2=R2，z=0的平面；

zSCxyjyx解答：(1)

=Si (2)

=Sxy所属章节：第十章第七节

难度：二级

31．求下列向量场A的旋度rot A：

(1) A=y2i+z2j+x2k；

(2) A=x2i+y2j+z2k；

(3) A=xcoszi+ylnxj–z2k；

(4) A=3xz2i–yzj+(x+2z)k

ijyz2k0 ；

zz2jkk2(zixjyk)；

zx2xy2解答：(1)

rot Aijyy2i(2)

rot Axx2(3)

rot Axxcosziyxsinzjk；

yzxylnxz2jyyzkyi(6xz1)k．

zx2z(4)

rot Ax3xz2所属章节：第十章第七节

98

难度：二级

32．设r=xi+yj+zk，r=|r|，f(r)为可微函数，试求：

(1) div[f(r)r]；

(2) rot[f(r)r]

f(r)2f(r)2f(r)2解答：(1)

div[f(r)r]xf(r)yf(r)zf(r)rf(r)3f(r)；

rij(2)

rot[f(r)r]xyf(r)xf(r)y所属章节：第十章第七节

难度：二级

rkz0．f(r)zr99


更多推荐

曲线,下列,计算,方向,改动,曲面,原点