2024年3月31日发(作者：学前班期末语文数学试卷)
中考数学经典几何证明题60例
一、解答题（共60小题）
1．（ 遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作
AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
2．（ 珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．
（1）如图1，连接BD，AF，则BD AF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，
H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．
3．（ 镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，
F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA= °时，四边形BFDE是正方形．
4．（ 漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在
边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD=8，CF=4，求的值．
5．（ 玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O
的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．
6．（ 永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使
DE=AB．
（1）求证：∠ABC=∠EDC；
（2）求证：△ABC≌△EDC．
7．（ 营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过
点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；
的中点，连接CE，求CE的长． （3）在（2）的条件下，若点E是
8．（ 徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且
AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE= 时，四边形BFCE是菱形．
9．（ 宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中
点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
10．（ 湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
11．（ 咸宁）已知关于x的一元二次方程mx
2
﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
12．（ 咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰
好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．
（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．
13．（ 梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平
分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．
14．（ 威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于
点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．
15．（ 铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接
DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．
求证：AD=CE．
16．（ 通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，
且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．
17．（ 铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．
（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
18．（ 天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作
DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
（1）AC•PD=AP•BC；
（2）PE=PD．
19．（ 泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E
为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．
20．（ 随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．
（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作
法），并证明：PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．
21．（ 绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延
长线于点E．
（1）求证：BD+2DE=BM．
（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，
则线段DG= ．
22．（ 苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方
画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．
23．（ 上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长
线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．
24．（ 厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）
（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且
AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．
求证：四边形ABCD是矩形．
25．（ 庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平
分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．
（1）当AB=2时，求△GEC的面积；
（2）求证：AE=EF．
26．（ 青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求
证：四边形ADCE是菱形．
27．（ 钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．
28．（ 黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于
点E，交PC于A、B两点．
（1）求证：PN与⊙O相切；
（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．
29．（ 潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的
延长线交于点M，∠COB=∠APB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．
30．（ 盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，
垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．
（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；
（2）求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件
不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的
结论．
31．（ 内江）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC
于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
32．（ 南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．
33．（ 南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于
点D，连接AD，BD．
（1）求证：∠BAD=∠BDC；
（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）
34．（ 南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于
点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
35．（ 南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
36．（ 南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S
▱ABCD
=15，过点A作AE⊥BC，垂足
为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D
的形状为
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，
将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．
①求证：四边形AFF′D是菱形．
②求四边形AFF′D的两条对角线的长．
37．（ 梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．
38．（ 龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC=，求BE的长．
39．（ 柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相
切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．
40．（ 辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，
E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．
41．（ 连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F
处，DF交AB于点E．
（1）求证；∠EDB=∠EBD；
（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．
42．（ 莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向
外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD
交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．
43．（ 酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，
E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形．
（直接写出答案，不需要说明理由）
44．（ 荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O
于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE
2
=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．
45．（ 吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S
扇形
=
得S
扇形
==•
，由弧长l=，
•R=lR．通过观察，我们发现S
扇形
=lR类似于S
三角形
=×底×高．
类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）
的面积公式及其应用．
（1）设扇环的面积为S
扇环
，的长为l
1
，的长为l
2
，线段AD的长为h（即两个同心圆
半径R与r的差）．类比S
梯形
=×（上底+下底）×高，用含l
1
，l
2
，h的代数式表示S
扇环
，
并证明；
（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，
花园的面积最大，最大面积是多少？
46．（ 黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转
到△OC′D′．
（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；
②AC′⊥BD′；
（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想
∠AEB=θ是否成立？请说明理由．
47．（ 黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交
BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCP=∠BAN
（2）求证：=．
48．（ 湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺
时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
49．（ 葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点
D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？
50．（ 呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是
对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．
51．（ 呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，
AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若PC=2，求⊙O的半径．
52．（ 贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂
足为D，OE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）．
53．（ 贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点
F．若DE=4，BD=8．
（1）求证：AF=EF；
（2）求证：BF平分∠ABD．
54．（ 河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延
长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．
（1）求证：△CDP≌△POB；
（2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ；
②连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形．
55．（ 桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；
（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．
56．（ 贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E
是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．
（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）
（2）求证：四边形ABMC是菱形．
57．（ 甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，
AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM
是什么四边形？并证明你的结论．
58．（ 东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE
对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
59．（ 大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．
（1）证明：AB=CD；
（2）证明：DP•BD=AD•BC；
（2）证明：BD
2
=AB
2
+AD•BC．
60．（ 赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO
交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是的切线．
（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．
中考数学经典几何证明题60例
参考答案与试题解析
一、解答题（共60小题）
1．（ 遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作
AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
考点：菱 形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中
位线定理．
专题：证 明题．
分析：（ 1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组
对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中
线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；
（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面
积公式可求出结论．
解答：（ 1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：设菱形DC边上的高为h，
∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，
∵BC=
∴DC=BC=
∴h==
=
，
，
×=10．
，
菱形ADCF的面积为：DC•h=
点评：本 题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形
的面积计算，主要考查学生的推理能力．
2．（ 珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．
（1）如图1，连接BD，AF，则BD = AF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，
H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．
考点：全 等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．
专题：证 明题．
分析：（ 1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得
AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根
据全等三角形的判定与性质，可得答案．
解答：（ 1）解：由AB=AC，
得∠ABC=ACB．
由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
得DF=AC，∠DFE=∠ACB．
在△ABF和△DFB中，
，
△ABF≌△DFB（SAS），
BD=AF，
故答案为：BD=AF；
（2）证明：如图：
MN∥BF，
△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，
=，=，
∴MG=HN，MB=NF．
在△BMH和△FNG中，
，
△BMH≌△FNG（SAS），
∴BH=FG．
点评：本 题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，
全等三角形的判定与性质．
3．（ 镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，
F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA= 20 °时，四边形BFDE是正方形．
考点：菱 形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．
专题：证 明题．
分析：（ 1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF；
（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四边形BFDE
是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得
∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．
解答：（ 1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，
∴∠BAE=∠BCF，
在△BAE与△BCF中，
∴△BAE≌△BCF（SAS）；
（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，
∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，
∵△BAE≌△BCF，
∴∠EBA=∠FBC，
又∵∠ABC=50°，
∴∠EBA+∠FBC=40°，
∴∠EBA=×40°=20°．
故答案为：20．
点评：本 题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是根
据SAS证明△BAE≌△BCF．
4．（ 漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在
边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD=8，CF=4，求的值．
考点：翻 折变换（折叠问题）；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．
专题：证 明题．
分析：（ 1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，
易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；
（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出
解答：（ 1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，
∵FG∥CD，
∴∠2=∠3，
∴FG=FE，
∴DG=GF=EF=DE，
∴四边形DEFG为菱形；
（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，
在Rt△EFC中，FC
2
+EC
2
=EF
2
，
的值．
即4
2
+（8﹣x）
2
=x
2
，
解得：x=5，CE=8﹣x=3，
∴=．
点评：本 题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判
定方法是解答此题的关键．
5．（ 玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O
的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．
考点：切 线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算．
专题：证 明题．
分析：
（1）由∠BOD=60°E为的中点，得到，于是得到DE∥BC，根据CD
是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四
边形；
（2）连接OE，由（1）知，
方程即可得到结论．
解答：解 ：（1）∵∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴=，
的中点，
，
，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列
∵E为
∴
∴DE∥AB，OD⊥BE，
即DE∥BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（2）连接OE，由（1）知，
∴∠BOE=120°，
∵阴影部分面积为6π，
∴
∴r=6．
=6π，
，
点评：本 题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明
是解题的关键．
6．（ 永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使
DE=AB．
（1）求证：∠ABC=∠EDC；
（2）求证：△ABC≌△EDC．
考点：全 等三角形的判定与性质．
专题：证 明题．
分析：（ 1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于
180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；
（2）根据“边角边”证明即可．
解答：（ 1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，
∴∠B+∠ADC=180°，
又∵∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
点评：本 题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的
内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等
的关键，也是本题的难点．
7．（ 营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过
点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；
的中点，连接CE，求CE的长． （3）在（2）的条件下，若点E是
考点：切 线的判定；扇形面积的计算．
专题：证 明题．
分析：（ 1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；
（2）证明△ADP∽△PDA，得到成比例线段求出BC的长，根据S
阴
=S
⊙O
﹣S
△ABC
求出答案；
（3）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．
解答：（ 1）证明：如图1，连接OC，
∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOP=∠COP，
在△PAO和△PCO中，
，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，
∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，
∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，
∴∠PAD=∠AOD，
∴△ADP∽△ODA，
∴，
∴AD
2
=PD•DO，
∵AC=8，PD=，
∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，
由题意知OD为△的中位线，
∴BC=6，OD=6，AB=10．
∴S阴=S
⊙O
﹣S
△ABC
=﹣24；
（3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，
∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，
∵点E是的中点，
∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，
CM=MB=3，
BE=AB•cos45°=5，
∴EM=
则CE=CM+EM=7
=4
．
，
点评：本 题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质，灵活
运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键．
8．（ 徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且
AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE= 4 时，四边形BFCE是菱形．
考点：平 行四边形的判定；菱形的判定．
专题：证 明题．
分析：（ 1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，
∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．
解答：（ 1）证明：∵AB=DC，
∴AC=DF，
在△AEC和△DFB中
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF=EC，∠ACE=∠DBF
∴EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，
∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，
∴BC=10﹣3﹣3=4，
∵∠EBD=60°，
∴BE=BC=4，
∴当BE=4 时，四边形BFCE是菱形，
故答案为：4．
点评：此 题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意
数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
9．（ 宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，
连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
考点：平 行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题：证 明题．
分析：（ 1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等
可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形
对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式
列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB
是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列
式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上
的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．
解答：（ 1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，
所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；
②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=3，
所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，
由勾股定理得，CG===，
所以，四边形BDFC的面积=3×=3；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时
不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．
点评：本 题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，
（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．
10．（ 湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题：证明题．
分析：（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边
形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；
（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角
为直角的四边形为矩形即可的值．
解答：证明： （1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB=180°，
∵∠DEB=90°，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，
则四边形BFDE为矩形．
点评：此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌
握矩形的判定方法是解本题的关键．
11．（ 咸宁）已知关于x的一元二次方程mx
2
﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
考点：根 的判别式；解一元二次方程-公式法．
专题：证 明题．
分析：（ 1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
解答：
1）证明：△=（m+2）
2
﹣8m （
=m
2
﹣4m+4
=（m﹣2）
2
，
∵不论m为何值时，（m﹣2）
2
≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：解方程得，x=
x
1
=，x
2
=1，
，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
点评：本 题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情
况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等
的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．
12．（ 咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰
好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．
（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．
考点：切 线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
专题：证 明题．
分析：（ 1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边
形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；
（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，
得出AD
2
=AC•AF，进而求出AD．
解答：（ 1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．
∵BC与⊙O相切于一点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°=∠C，
∴OD∥AC，
∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=AO=0D，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵OA=OD，
∴四边形AODE是菱形．
（2）解：设⊙O的半径为r．
∵OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴
解得r=
，即10r=6（10﹣r）．
，
． ∴⊙O的半径为
如图2，连接OD、DF．
∵OD∥AC，
∴∠DAC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DAC=∠DAO，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°=∠C，
∴△ADC∽△AFD，
∴，
∴AD
2
=AC•AF，
∵AC=6，AF=
∴AD
2
=
∴AD=
×6=45，
=3．
，
点评：本 题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质
以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质
及判定是解本题的关键．
13．（ 梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平
分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．
考点：正 方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
专题：证 明题．
分析：（ 1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得
出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得
出结论；
（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据
锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4
再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．
解答：（ 1）证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，
∴∠EQN=∠BHM=90°．
，
∵∠EMQ=∠BMH，
∴△EMQ∽△BMH，
∴∠QEM=∠HBM．
在Rt△APB与Rt△HFE中，
，
∴△APB≌△HFE，
∴HF=AP；
（2）解：由勾股定理得，BP=
∵EF是BP的垂直平分线，
∴BQ=BP=2，
×=．
==4．
∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2
由（1）知，△APB≌△HFE，
∴EF=BP=4，
∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．
点评：本 题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此
题的关键．
14．（ 威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于
点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．
考点：相 似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．
专题：证 明题．
分析：（ 1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后
利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；
（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从
而得到AC的长．
解答：（ 1）证明：连结AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
而AB=AC，
∴BE=CE；
（2）连结DE，如图，
∵BE=CE=3，
∴BC=6，
∵∠BED=∠BAC，
而∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴=，即=，
∴BA=9，
∴AC=BA=9．
点评：本 题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中
已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．
15．（ 铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接
DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．
求证：AD=CE．
考点：全 等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
专题：证 明题．
分析：作 DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等
边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．
解答：证 明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：
则∠DGF=∠ECF，
在△DFG和△EFC中，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴GD=CE，
，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∴∠A=∠ADG=∠AGD，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD=GD，
∴AD=CE．
点评：本 题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角
形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
16．（ 通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，
且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．
考点：全 等三角形的判定．
专题：证 明题．
分析：根 据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可
证得结论．
解答：解 ：∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠3+∠4=∠4+∠5，
∴∠3=∠5，
在△ACD中，∠ACD=90°，
∴∠2+∠D=90°，
∵∠BAE=∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠D，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
点评：本 题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、
SAS、ASA、AAS和HL．
17．（ 铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．
（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
考点：矩 形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质．
专题：证 明题．
分析：（ 1）首先根据矩形的性质可得AB平行且等于CD，然后根据DE=BF，可得AF平行
且等于CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长
度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．
解答：解 ；（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵DE=BF，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AE=CE，
设DE=x，
则AE=
则
，CE=8﹣x，
=8﹣x，
解得：x=，
则菱形的边长为：8﹣=
周长为：4×=25，
，
故菱形AFCE的周长为25．
点评：本 题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相等的性
质以及菱形四条边相等的性质．
18．（ 天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作
DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
（1）AC•PD=AP•BC；
（2）PE=PD．
考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据DE⊥AB，判断
出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以
据此判断出PE=PD即可．
=；然后判断出=，即可判断出ED=2EP，
（2）首先根据△AEP∽△ABC，判断出
此判断出AC•PD=AP•BC即可．
解答：解： （1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴=…①，
；然后根据PE=PD，可得，据
又∵AD∥OC，
∴∠DAE=∠COB，
∴△AED∽△OBC，
∴===…②，
由①②，可得ED=2EP，
∴PE=PD．
（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴，
∵PE=PD，
∴，
∴AC•PD=AP•BC．
点评：（1）此题主要考查了切线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切
点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
19．（ 泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E
为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题：证明题．
分析：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS） ，则由
该全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等
以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．
解答：证明： （1）延长DE交AB于点G，连接AD．
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴ED∥BC，ED=BC．
∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB．
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．
又BF=BC，
∴BF=DE．
∴在△AED与△DFB中，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴AE=DF，即DF=AE；
（2）设AC与FD交于点O．
∵由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠AED=∠DFB，
∴∠DEO=∠DFG．
∵∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠DOE+∠EDO=90°，
∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．
，
点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合
全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择
恰当的判定条件．
20．（ 随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．
（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作
法），并证明：PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．
考点：切 线的判定与性质；弧长的计算；作图—基本作图．
专题：证 明题．
分析：（ 1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，根据角
平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；
（2）首先证明△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP
中求出OA，用弧长公式计算即可．
解答：解 ：（1）作图如右图，
连接OA，过O作OB⊥PC，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，
∴OA=OB，即d=r，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵PA、PC是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵AB=AP=4，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠AOB=120°，∠POA=60°，
在Rt△AOP中，tan60°=
∴OA=
∴==．
点评：本 题考查了尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数
以及弧长的计算，求出圆心角和半径长是解决问题的关键．
21．（ 绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延
长线于点E．
（1）求证：BD+2DE=BM．
（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，
则线段DG= ．
考点：相 似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
专题：证 明题．
分析：（ 1）过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，首先证明△DEN≌△PEM，得到
DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到结论；
（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再
由△DFG∽△BMG即可求出DG的长．
解答：（ 1）证明：过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，
∴PM∥CN，
∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，
∴BM=PM，
∵BM=DN，
∴DN=MP，
在△DEN和△PEM中
，
∴△DEN≌△PEM，
∴DE=EP，
∵△BMP是等腰直角三角形
∴BP=BM
∴BD+2DE=BM．
（2）解：∵AF：FD=1：2，
∴DF：BC=2：3，
∵△BCN∽△FDN，
∴
设正方形边长为a，又知CM=2，
∴BM=DN=a+2，CN=2a+2
∴，
解得：a=2，
∴DF=，BM=4，BD=2
又∵△DFG∽△BMG，
∴，
，
∴
∴DG=．
，
故答案为：．
点评：本 题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、
相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形相似求出正方形的边
长是解决第2小题的关键．
22．（ 苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方
画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．
考点：全 等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算．
专题：证 明题．
分析：（ 1）根据题意得出BD=CD=BC，由SSS证明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD
即可；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出
∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根据弧长公式求
出、 的长度，即可得出结果．
解答：（ 1）证明：根据题意得：BD=CD=BC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD=∠CAD，
即AD平分∠BAC；
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∵BD=CD=BC，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴∠DBE=∠DCF=55°，
∵BC=6，∴BD=CD=6，
∴
∴
的长度=
、
的长度=
+
=
=
；
． 的长度之和为
点评：本 题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算；熟练
掌握全等三角形和等边三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23．（ 上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长
线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．
考点：相 似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．
专题：证 明题．
分析：
（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边
形的判定即可得到结论；
（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结
论．
解答：证 明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=BD，
∵OE=OB，
∴OE=BD，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥BE；
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