2024年3月28日发(作者：上海数学试卷教材)
2019年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）.
1．（4分）已知集合
A
＝（﹣∞，3），
B
＝（2，+∞），则
A
∩
B
＝ ．
2．（4分）已知
z
∈C，且满足＝
i
，求
z
＝ ．
3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为 ．
4．（4分）已知二项式（2
x
+1）
5
，则展开式中含
x
2
项的系数为 ．
5．（4分）已知
x
，
y
满足，则
z
＝2
x
﹣3
y
的最小值为 ．
6．（4分）已知函数
f
（
x
）周期为1，且当0＜
x
≤1时，
f
（
x
）＝log
2
x
，则
f
（）＝ ．
7．（5分）若
x
，
y
∈R
+
，且+2
y
＝3，则的最大值为 ．
8．（5分）已知数列{
a
n
}前
n
项和为
S
n
，且满足
S
n
+
a
n
＝2，则
S
5
＝ ．
9．（5分）过曲线
y
2
＝4
x
的焦点
F
并垂直于
x
轴的直线分别与曲线
y
2
＝4
x
交于
A
，
B
，
A
在
B
上方，
M
为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝ ．
10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码
中，恰有两位数字相同的概率是 ．
11．（5分）已知数列{
a
n
}满足
a
n
＜
a
n
+1
（
n
∈N*），
P
n
（
n
，
a
n
）（
n
≥3）均在双曲线
＝1上，则|
P
n
P
n
+1
|＝ ．
﹣
a
|（
x
＞1，
a
＞0），
f
（
x
）与
x
轴交点为
A
，若对于
f
（
x
）
﹣
12．（5分）已知
f
（
x
）＝|
图象上任意一点
P
，在其图象上总存在另一点
Q
（
P
、
Q
异于
A
），满足
AP
⊥
AQ
，且|
AP
|
＝|
AQ
|，则
a
＝ ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生
第1页（共24页）
应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（5分）已知直线方程2
x
﹣
y
+
c
＝0的一个方向向量可以是（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）
14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角
边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
15．（5分）已知ω∈R，函数
f
（
x
）＝（
x
﹣6）
2
•sin（ω
x
），存在常数
a
∈R，使
f
（
x
+
a
）
为偶函数，则ω的值可能为（ ）
A． B． C． D．
16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：
①存在α在第一象限，β在第三象限；
②存在α在第二象限，β在第四象限；
则（ ）
A．①②均正确
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤.
17．（14分）如图，在长方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
为
BB
1
上一点，已知
BM
＝2，
CD
＝3，
AD
＝4，
AA
1
＝5．
（1）求直线
A
1
C
和平面
ABCD
的夹角；
（2）求点
A
到平面
A
1
MC
的距离．
B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
第2页（共24页）
18．（14分）已知
f
（
x
）＝
ax
+，
a
∈R．
（1）当
a
＝1时，求不等式
f
（
x
）+1＜
f
（
x
+1）的解集；
（2）若
f
（
x
）在
x
∈[1，2]时有零点，求
a
的取值范围．
第3页（共24页）
19．（14分）如图，
A
﹣
B
﹣
C
为海岸线，
AB
为线段，
∠
BDC
＝22°，∠
CBD
＝68°，∠
BDA
＝58°．
（1）求的长度；
为四分之一圆弧，
BD
＝39.2
km
，
（2）若
AB
＝40
km
，求
D
到海岸线
A
﹣
B
﹣
C
的最短距离．（精确到0.001
km
）
20．（16分）已知椭圆
点．
（1）若直线
l
垂直于
x
轴，求|
AB
|；
（2）当∠
F
1
AB
＝90°时，
A
在
x
轴上方时，求
A
、
B
的坐标；
（3）若直线
AF
1
交
y
轴于
M
，直线
BF
1
交
y
轴于
N
，是否存在直线
l
，使得
S
＝
+＝1，
F
1
，
F
2
为左、右焦点，直线
l
过
F
2
交椭圆于
A
，
B
两
S
，若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，请说明理由．
第4页（共24页）
21．（18分）数列{
a
n
}（
n
∈N*）有100项，
a
1
＝
a
，对任意
n
∈[2，100]，存在
a
n
＝
a
i
+
d
，
i
∈[1，
n
﹣1]，若
a
k
与前
n
项中某一项相等，则称
a
k
具有性质
P
．
（1）若
a
1
＝1，
d
＝2，求
a
4
所有可能的值；
（2）若{
a
n
}不为等差数列，求证：数列{
a
n
}中存在某些项具有性质
P
；
（3）若{
a
n
}中恰有三项具有性质
P
，这三项和为
c
，使用
a
，
d
，
c
表示
a
1
+
a
2
+…+
a
100
．
第5页（共24页）
2019年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）.
1．（4分）已知集合
A
＝（﹣∞，3），
B
＝（2，+∞），则
A
∩
B
＝ （2，3） ．
【分析】根据交集的概念可得．
【解答】解：根据交集的概念可得
A
∩
B
＝（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．
2．（4分）已知
z
∈C，且满足＝
i
，求
z
＝ 5﹣
i
．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由
故答案为：5﹣
i
．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为
【分析】直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．
【解答】解：向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），
则
所以：cos
，，
＝，
．
＝
i
，得
z
﹣5＝，即
z
＝5+＝5﹣
i
．
第6页（共24页）
故：与的夹角为
故答案为：
．
【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转
换能力，属于基础题型．
4．（4分）已知二项式（2
x
+1）
5
，则展开式中含
x
2
项的系数为 40 ．
【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令
x
的幂指数等于2，求得
r
的值，即可求
得含
x
2
项的系数值．
【解答】解：二项式（2
x
﹣1）
5
的展开式的通项公式为
T
r
+1
＝
C
5
r
•2
5﹣
r
•
x
5﹣
r
，
令5﹣
r
＝2，求得
r
＝3，可得展开式中含
x
2
项的系数值为
C
5
3
•2
2
＝40，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项
的系数，属于基础题．
5．（4分）已知
x
，
y
满足，则
z
＝2
x
﹣3
y
的最小值为 ﹣6 ．
【分析】画出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合平移直线，可得
所求最小值．
【解答】解：作出不等式组
由
z
＝2
x
﹣3
y
即
y
＝
表示的平面区域，
，表示直线在
y
轴上的截距的相反数的倍，
平移直线2
x
﹣3
y
＝0，当经过点（0，2）时，
z
＝2
x
﹣3
y
取得最小值﹣6，
故答案为：﹣6．
第7页（共24页）
【点评】本题考查线性规划的运用，考查平移法求最值的方法，数形结合思想，考查运
算能力，属于基础题．
6．（4分）已知函数
f
（
x
）周期为1，且当0＜
x
≤1时，
f
（
x
）＝log
2
x
，则
f
（）＝ ﹣
1 ．
【分析】由题意知函数
f
（
x
）周期为1，所以化简
f
（）再代入即可．
【解答】解：因为函数
f
（
x
）周期为1，所以
f
（）＝
f
（），
因为当0＜
x
≤1时，
f
（
x
）＝log
2
x
，所以
f
（）＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数的周期性，属于简单题．
7．（5分）若
x
，
y
∈R
+
，且+2
y
＝3，则的最大值为 ．
【分析】根据基本不等式可得．
【解答】解：3＝+2
y
≥2
故答案为：
【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．
第8页（共24页）
，∴≤（）
2
＝；
8．（5分）已知数列{
a
n
}前
n
项和为
S
n
，且满足
S
n
+
a
n
＝2，则
S
5
＝
【分析】由已知数列递推式可得数列{
a
n
}是等比数列，且
前
n
项和公式求解．
【解答】解：由
S
n
+
a
n
＝2，①
得2
a
1
＝2，即
a
1
＝1，
且
S
n
﹣1
+
a
n
﹣1
＝2（
n
≥2），②
①﹣②得：（
n
≥2）．
．
．
，再由等比数列的
∴数列{
a
n
}是等比数列，且
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前
n
项和的求法，
是中档题．
9．（5分）过曲线
y
2
＝4
x
的焦点
F
并垂直于
x
轴的直线分别与曲线
y
2
＝4
x
交于
A
，
B
，
A
在
B
上方，
M
为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝ 3 ．
【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运
算求出结果．
【解答】解：过
y
2
＝4
x
的焦点
F
并垂直于
x
轴的直线分别与
y
2
＝4
x
交于
A
，
B
，
A
在
B
上方，
依题意：得到：
A
（1，2）
B
（1，﹣2），
设点
M
（
x
，
y
），
第9页（共24页）
所以：
M
为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），
则：（
x
，
y
）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），
代入
y
2
＝4
x
，
得到：λ＝3．
故答案为：3
【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应
用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码
中，恰有两位数字相同的概率是 ．
【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类
和分步，计算可得所求值．
【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，
总的基本事件个数为1000，
其中恰有两位数字相同的个数为
则其中恰有两位数字相同的概率是
CC
＝270，
＝；
方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，
总的基本事件个数为1000，
其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，
可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣
故答案为：．
＝．
【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求
第10页（共24页）
法，以及运算能力，属于基础题．
11．（5分）已知数列{
a
n
}满足
a
n
＜
a
n
+1
（
n
∈N*），
P
n
（
n
，
a
n
）（
n
≥3）均在双曲线﹣
＝1上，则|
P
n
P
n
+1
|＝ ．
【分析】法一：根据两点之间的距离和极限即可求出，
法二：根据向量法，当
n
→+∞时，
P
n
P
n
+1
与渐近线平行，
P
n
P
n
+1
在
x
轴的投影为1，渐
近线倾斜角为θ，则tanθ＝，即可求出．
【解答】解：法一：由﹣＝1，可得
a
n
＝，
∴
P
n
（
n
，），
∴
P
n
+1
（
n
+1，），
∴|
P
n
P
n
+1
|＝＝
∴求解极限可得|
P
n
P
n
+1
|＝，
方法二：当
n
→+∞时，
P
n
P
n
+1
与渐近线平行，
P
n
P
n
+1
在
x
轴的投影为1，渐近线倾斜角
为θ，则tanθ＝
故
P
n
P
n
+1
＝
，
＝
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式，极限的思想，向量的投影，
第11页（共24页）
属于中档题．
12．（5分）已知
f
（
x
）＝|﹣
a
|（
x
＞1，
a
＞0），
f
（
x
）与
x
轴交点为
A
，若对于
f
（
x
）
图象上任意一点
P
，在其图象上总存在另一点
Q
（
P
、
Q
异于
A
），满足
AP
⊥
AQ
，且|
AP
|
＝|
AQ
|，则
a
＝ ．
【分析】本题根据题意对函数
f
（
x
）分析之后可画出
f
（
x
）大致图象，然后结合图象可
不妨设点
P
在左边曲线上，点
Q
在右边曲线上．设直线
AP
的斜率为
k
，联立直线与曲
线的方程可得
P
点坐标，同理可得
Q
点坐标．再分别算出|
AP
|、|
AQ
|，再根据|
AP
|＝|
AQ
|
及
k
的任意性可解得
a
的值．
【解答】解：由题意，可知：
令
f
（
x
）＝|﹣
a
|＝0，解得：
x
＝+1，
∴点
A
的坐标为：（+1，0）．
则
f
（
x
）＝．
∴
f
（
x
）大致图象如下：
由题意，很明显
P
、
Q
两点分别在两个分段曲线上，
不妨设点
P
在左边曲线上，点
Q
在右边曲线上．
第12页（共24页）
设直线
AP
的斜率为
k
，则
l
AP
：
y
＝
k
（
x
﹣﹣1）．
联立方程：，
整理，得：
kx
2
+[
a
﹣
k
（+2）]
x
+
k
（+1）﹣
a
﹣2＝0．
∴
x
P
+
x
A
＝﹣
∵
x
A
＝+1，
＝+2﹣．
∴
x
P
＝+2﹣﹣
x
A
＝1﹣．
再将
x
P
＝1﹣代入第一个方程，可得：
y
P
＝﹣
a
﹣．
）．
．
∴点
P
的坐标为：（1﹣，﹣
a
﹣
∴|
AP
|＝
＝
＝
∵
AP
⊥
AQ
，
∴直线
AQ
的斜率为﹣，则
l
AQ
：
y
＝﹣（
x
﹣﹣1）．
同理类似求点
P
的坐标的过程，可得：
点
Q
的坐标为：（1﹣
ak
，
a
+
∴|
AQ
|＝
＝
＝
）．
∵|
AP
|＝|
AQ
|，及
k
的任意性，可知：
第13页（共24页）
＝
a
2
，解得：
a
＝
故答案为：．
．
【点评】本题主要考查对函数分析能力，根据平移对称画出符合函数的图象，采用数形
结合法分析问题，以及用平面解析几何的方法进行计算，以及设而不求法的应用．本题
是一道较难的中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生
应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（5分）已知直线方程2
x
﹣
y
+
c
＝0的一个方向向量可以是（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．
【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），
故选：
D
．
【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量，属基础题．
14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角
边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积，作比得答案．
【解答】解：如图，
第14页（共24页）
则，，
∴两个圆锥的体积之比为．
故选：
B
．
【点评】本题考查圆锥的定义，考查圆锥体积的求法，是基础题．
15．（5分）已知ω∈R，函数
f
（
x
）＝（
x
﹣6）
2
•sin（ω
x
），存在常数
a
∈R，使
f
（
x
+
a
）
为偶函数，则ω的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．
【解答】解：由于函数
f
（
x
）＝（
x
﹣6）
2
•sin（ω
x
），存在常数
a
∈R，
f
（
x
+
a
）为偶函数，
则：
f
（
x
+
a
）＝（
x
+
a
﹣6）
2
•sin[ω（
x
+
a
）]，
由于函数为偶函数，
故：
a
＝6，
所以：
当
k
＝1时．ω＝
故选：
C
．
第15页（共24页）
，
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转
换能力，属于基础题型．
16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：
①存在α在第一象限，β在第三象限；
②存在α在第二象限，β在第四象限；
则（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
【分析】考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值
法，令tanα＝﹣，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②．
【解答】解：由tanα•tanβ＝tan（α+β），
即为tanα•tanβ＝，
设
m
＝tanα，
n
＝tanβ，可得
n
2
m
2
+
n
（1﹣
m
）+
m
＝0，
若
m
＞0，可得上式关于
n
的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得
n
＞0，
即有
m
＞1，考虑△＝
f
（
m
）＝（1﹣
m
）
2
﹣4
m
3
，
f
′（
m
）＝2
m
﹣2﹣8
m
2
＝﹣8（
m
﹣
）
2
﹣，
当
m
＞1时，
f
（
m
）递减，可得
f
（
m
）＜
f
（1）＝﹣4＜0，则方程无解，
β在第三象限不可能，故①错；
可令tanα＝﹣，
由tanα•tanβ＝tan（α+β），
即为tanα•tanβ＝，
第16页（共24页）
可得﹣tanβ＝，
解得tanβ＝﹣6±
故选：
D
．
，存在β在第四象限，故②对．
【点评】本题考查三角函数的正切公式，以及方程思想、运算能力，属于基础题．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤.
17．（14分）如图，在长方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
为
BB
1
上一点，已知
BM
＝2，
CD
＝3，
AD
＝4，
AA
1
＝5．
（1）求直线
A
1
C
和平面
ABCD
的夹角；
（2）求点
A
到平面
A
1
MC
的距离．
【分析】（1）由题意可得
A
1
C
与平面
ABCD
所成夹角为∠
A
1
CA
，判断△
A
1
CA
为等腰三
角形，即可求出，
（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点
A
到平面
A
1
MC
的距离
d
＝，
求出法向量即可求出．
【解答】解：（1）依题意：
AA
1
⊥平面
ABCD
，连接
AC
，则
A
1
C
与平面
ABCD
所成夹
第17页（共24页）
角为∠
A
1
CA
，
∵
AA
1
＝5，
AC
＝
∴△
A
1
CA
为等腰三角形，
∴∠
A
1
CA
＝，
，
＝5，
∴直线
A
1
C
和平面
ABCD
的夹角为
（2）（空间向量），如图建立坐标系，
则
A
（0，0，0），
C
（3，0，0），
A
1
（0，0，5），
M
（3，0，2），
∴＝（3，4，0），＝（3，4，﹣5），＝（0，4．﹣2），
设平面
A
1
MC
的法向量＝（
x
，
y
，
z
），
由，可得＝（2，1，2），
∴点
A
到平面
A
1
MC
的距离
d
＝＝
第18页（共24页）
＝．
【点评】本题考查了线面角的求法和点到平面的距离，考查了运算求解能力和转化与化
归能力，空间想象能力，属于中档题．
18．（14分）已知
f
（
x
）＝
ax
+，
a
∈R．
（1）当
a
＝1时，求不等式
f
（
x
）+1＜
f
（
x
+1）的解集；
（2）若
f
（
x
）在
x
∈[1，2]时有零点，求
a
的取值范围．
【分析】（1）直接利用转换关系，解分式不等式即可．
（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．
【解答】解：（1）
f
（
x
）＝
ax
+
当
a
＝1时，
f
（
x
）＝
x
+．
+1，
（
a
∈R）．
所以：
f
（
x
）+1＜
f
（
x
+1）转换为：
x
+
即：，
解得：﹣2＜
x
＜﹣1．
故：{
x
|﹣2＜
x
＜﹣1}．
（2）函数
f
（
x
）＝
ax
+
即函数在该区间上有解，
即：，
在
x
∈[1，2]时，
f
（
x
）有零点，
即求函数
g
（
x
）在
x
∈[1，2]上的值域，
由于：
x
（
x
+1）在
x
∈[1，2]上单调，
故：
x
（
x
+1）∈[2，6]，
所以：
故：
第19页（共24页）
，
【点评】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，分离参数法的应用，主要考
察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
19．（14分）如图，
A
﹣
B
﹣
C
为海岸线，
AB
为线段，
∠
BDC
＝22°，∠
CBD
＝68°，∠
BDA
＝58°．
（1）求的长度；
为四分之一圆弧，
BD
＝39.2
km
，
（2）若
AB
＝40
km
，求
D
到海岸线
A
﹣
B
﹣
C
的最短距离．（精确到0.001
km
）
【分析】（1）由题意可求
BC
，及弧
BC
所在的圆的半径
R
，然后根据弧长公式可求；
（2）根据正弦定理可得，
根据三角函数即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，
BC
＝
BD
sin22°，弧
BC
所在的圆的半径
R
＝
BC
sin
，
弧
BC
的长度为＝＝
，
＝0.831，
A
＝56.2°，
＝16.310
km
；
＝
，可求sin
A
，进而可求
A
，进而可求∠
ABD
，
（2）根据正弦定理可得，
∴sin
A
＝
∴∠
ABD
＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，
∴
DH
＝
BD
×sin∠
ABD
＝35.750
km
＜
CD
＝36.346
km
∴
D
到海岸线
A
﹣
B
﹣
C
的最短距离为35.750
km
第20页（共24页）
【点评】本题主要考查了利用三角函数，正弦定理求解三角形，还考查了基本运算．
20．（16分）已知椭圆
点．
（1）若直线
l
垂直于
x
轴，求|
AB
|；
（2）当∠
F
1
AB
＝90°时，
A
在
x
轴上方时，求
A
、
B
的坐标；
（3）若直线
AF
1
交
y
轴于
M
，直线
BF
1
交
y
轴于
N
，是否存在直线
l
，使得
S
＝
+＝1，
F
1
，
F
2
为左、右焦点，直线
l
过
F
2
交椭圆于
A
，
B
两
S
，若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得
A
，
B
的坐标，则|
AB
|可求；
（2）设
A
（
x
1
，
y
1
），由∠
F
1
AB
＝90°（∠
F
1
AF
2
＝90°），利用数量积为0求得
x
1
与
y
1
的
方程，再由
A
在椭圆上，得
x
1
与
y
1
的另一方程，联立即可求得
A
的坐标．得到直线
AB
的方程，与椭圆方程联立即可求得
B
的坐标；
（3）设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），
M
（0，
y
3
），
N
（0，
y
4
），直线
l
：
x
＝
my
+2（斜率
不存在时不满足题意），联立直线方程与椭圆方程，结合
S
﹣
y
2
|＝|
y
3
﹣
y
4
|，再由直线
AF
1
的方程：
＝
S
，得2|
y
1
，由，得
M
纵坐标
直线
BF
1
的方程：，得
N
的纵坐标，结合根与系数的关系，
得||＝4，解得
m
值，从而得到直线方程．
），
B
（2，﹣【解答】解：（1）依题意，
F
2
（2，0），当
AB
⊥
x
轴时，则
A
（2，
得|
AB
|＝2；
），
（2）设
A
（
x
1
，
y
1
），∵∠
F
1
AB
＝90°（∠
F
1
AF
2
＝90°），
第21页（共24页）
∴＝，
又
A
在椭圆上，满足，即，
∴
直线
AB
：
y
＝﹣
x
+2，
，解得
x
1
＝0，即
A
（0，2）．
联立，解得
B
（，﹣）；
（3）设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），
M
（0，
y
3
），
N
（0，
y
4
），
直线
l
：
x
＝
my
+2（斜率不存在时不满足题意），
则
．
，
联立，得（
m
2
+2）
y
2
+4
my
﹣4＝0．
则，．
由直线
AF
1
的方程：，得
M
纵坐标；
由直线
BF
1
的方程：
若
S
|
y
3
﹣
y
4
|＝|
＝
S
，得
N
的纵坐标
，即2|
y
1
﹣
y
2
|＝|
y
3
﹣
y
4
|，
|＝||＝|
．
|＝2|
y
1
﹣
y
2
|，
∴|（
my
1
+4）（
my
2
+4）|＝4，|
m
2
y
1
y
2
+4
m
（
y
1
+
y
2
）+16|＝4，
代入根与系数的关系，得||＝4，解得
m
＝．
第22页（共24页）
∴存在直线
x
+或满足题意．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，
属难题．
21．（18分）数列{
a
n
}（
n
∈N*）有100项，
a
1
＝
a
，对任意
n
∈[2，100]，存在
a
n
＝
a
i
+
d
，
i
∈[1，
n
﹣1]，若
a
k
与前
n
项中某一项相等，则称
a
k
具有性质
P
．
（1）若
a
1
＝1，
d
＝2，求
a
4
所有可能的值；
（2）若{
a
n
}不为等差数列，求证：数列{
a
n
}中存在某些项具有性质
P
；
（3）若{
a
n
}中恰有三项具有性质
P
，这三项和为
c
，使用
a
，
d
，
c
表示
a
1
+
a
2
+…+
a
100
．
【分析】（1）根据
a
1
＝1，
d
＝2逐一求出
a
2
，
a
3
，
a
4
即可；
（2）{
a
n
}不为等差数列，数列{
a
n
}存在
a
m
使得
a
m
＝
a
m
﹣1
+
d
不成立，根据题意进一步推
理即可证明结论；
（3）去除具有性质
P
的数列{
a
n
}中的前三项后，数列{
a
n
}的剩余项重新排列为一个等差
数列，且该数列的首项为
a
，公差为
d
，求
a
1
+
a
2
+…+
a
100
即可．
【解答】解：（1）∵数列{
a
n
}有100项，
a
1
＝
a
，对任意
n
∈[2，100]，存在
a
n
＝
a
i
+
d
，
i
∈[1，
n
﹣1]，
第23页（共24页）
∴若
a
1
＝1，
d
＝2，则当
n
＝2时，
a
2
＝
a
1
+
d
＝3，
当
n
＝3时，
i
∈[1，2]，则
a
3
＝
a
1
+
d
＝3或
a
3
＝
a
2
+
d
＝5，
当
n
＝4时，
i
∈[1，3]，则
a
4
＝
a
1
+
d
＝3或
a
4
＝
a
2
+
d
＝5或
a
4
＝
a
3
+
d
＝（
a
1
+
d
）+
d
＝5或
a
4
＝
a
3
+
d
＝（
a
2
+
d
）+
d
＝7
∴
a
4
的所有可能的值为：3，5，7；
（2）∵{
a
n
}不为等差数列，
∴数列{
a
n
}存在
a
m
使得
a
m
＝
a
m
﹣1
+
d
不成立，
∵对任意
n
∈[2，10]，存在
a
n
＝
a
i
+
d
，
i
∈[1，
n
﹣1]；
∴存在
p
∈[1，
n
﹣2]，使
a
m
＝
a
p
+
d
，则
对于
a
m
﹣
q
＝
a
i
+
d
，
i
∈[1，
n
﹣
q
﹣1]，存在
p
＝
i
，使得
a
m
﹣
q
＝
a
m
，
因此{
a
n
}中存在具有性质
P
的项；
（3）由（2）知，去除具有性质
P
的数列{
a
n
}中的前三项，则数列{
a
n
}的剩余项均不相等，
∵对任意
n
∈[2，100]，存在
a
n
＝
a
i
+
d
，
i
∈[1，
n
﹣1]，则
一定能将数列{
a
n
}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为
a
，公差为
d
，
∴
a
1
+
a
2
+…+
a
100
＝
＝97
a
+4656
d
+
c
．
【点评】本题考查了等差数列的性质和前
n
项和公式，考查了逻辑推理能力和计算能力，
关键是对新定义的理解，属难题．
第24页（共24页）
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