2012年全国高考1卷理科数学试题及答案

2024年4月11日发(作者：2019南通市二模数学试卷)

一、选择

要求

题：

的。

(1

)已知集合

2012

年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本大题共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

A =｛1,2,3,4,5｝

,

B=[(x, y)|x・

A,y A,x-y

A｝

，则

B

中所含元素的个数为

( B) 6 ( C) 8 ( D) 10

(2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有

名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有

(D) 8 种

(A) 12 种 (B) 10 种 (C) 9 种

(3 )下面是关干复数

2

的四个命题

丿|面疋关^于复

z 一

—1

2

二 2i

P

4

:

Z

的虚部为

-1

P

1：

|z|=2 z

的共轭复数为

1 i

P

2

： z

：

P

3

其中真命题为

(A) 3

1

(A )

P

2

,

3

P

(B)

P

1

,

P

2

( C)

P

2

，

P

4

(

D

P

3

,

P

4

2 2

X y

(4

)设

R,F

2

是椭圆

E:

二

2

-1(a b 0)

的左、右焦点，

P

为

a b

F

2

PF

1

是底角为

30

的等腰三角形，则

直线

x

上的一

点，

2

2 3

E

的离心率为

(C) (D)

1

3 4

(A) (B)

(5

)已知

｛a

n

｝

为等比数列,

a

4

a^2

，

a

5

a

e

= -8

，贝

(B)

5

(C)

-5

(A)

7

(6

)如果执行右边的程序图，输入正整数

N(N

一

2)

和实数

a

1

,a

2

,...,a

N

输入

A, B

,则

(A) A B

为

a

1

,a

2

,...,a

N

的和

A + B

/镇人疋“

7

1

2

U a

1

- a®

二

(D) -7

S

(B)

为

a

1

,a

2

,...,a

N

的算式平均数

2

(C) A

和

B

分别是印忌…，

a

”

中最大的数和最小的数

第1页共13页

(D

)

A

和

B

分别是

6

忌…,

a

”中最小的数和最大的数

(7)如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某

几何体的三视图，则此几何体的体积为

(A)6 (B)9

(C) 12 ( D)18

(8)等轴双曲线 C的中心在原点，焦点在

x

轴上，

C

与抛物线

y

2

=16x的准线交于A,B两点,

|AB| = 4、,3，则

C

的

实轴长为

(A)

,2

( B)

2,2

(x)x

( C)

4

(D)

8

(

9)

已知一。，函数f5

「

r在才单

调递减，则••的取值范围

1 5

(A)(B)

［蕩］

1

ln(x 1) -

(C)

1

灯

(D)

(0

,

2］

(10)已知函数

f (x)

，则

y = f(x)

的图像大致为

(11)

面上，

径，且

SC=2

，则此棱锥的体积为

已知三棱锥

S-ABC

的所有顶点都在球

O

的球

ABC

是边长为

1

的正三角形，

SC

为

O

的直

(A)[

6

(B)J (C)

手

(D)

乎

6

1

设点

P

在曲线

y

3 2

(12)

e

x

上，点

Q

在曲线

y = ln(2x)

上，则

| PQ |

的最小值为

2

第2页共13页

(A) 1-|n2 (B)

、、

2(1-ln2)

(C) 1 ln2 (D)

-2(1 ln 2)

第口卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第

题~第24题为选考题，考试依据要求作答。

13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分。

彳

4

呻 彳彳 一

4

(13) 已知向量

a, b

夹角为 45 ，且

|a

| =

1,| 2a — b

|=

J10

，贝

U b = ___

.

x + v

兰

3

(14)

围为

设

x, y

满足约束条件彳 ________________ \'则

z = x_2y

的取值范

.

|^0, y-

o,

(15)

接而成，元件

某一部件由三个电子元件按下图方式连

1或元件 2正常工作，且元件

正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布

2

N(1000, 50 )

,且各个元件能否正常工作互相独立， 那么该部件的使用寿命超过

概率为 __________________ .

1000小时的

(16)数列

Q｝

满足

a

n

舟

+(—1)

n

a

n

=2n—1

，则

｛aj

的前60项和为 ___________ .

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17) (本小题满分12分)

已知

a,b,c

分别为

ABC

的三个内角

A, B, C

的对边，

acosC •

、、

3asi nC-b-c = 0

.

(I)求

A

;

(n)若

a = 2

,

ABC

的面积为

.3

，求

b,c

.

(18) (本小题满分12分)

某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝

完，剩下的玫瑰花作垃圾处理 .

(I)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润

y

(单位：元)关于当天需求量

n

(单位：枝，

n・N

) 的函数解

10元的价格出售.如果当天卖不

第3页共13页

析式；

(n)花店记录了 100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量

n

14

15

16

17

18

19

20

第4页共13页

频数 10 20 16 16 15 13 10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率

(i)若花店一天购进 16枝玫瑰花，

X

表示当天的利润(单位：元)，求

X

的分布列、数学期望及

(ii)若花店计划一天购进 16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进 16枝还是17枝？请说明理由

(19) (本小题满分12分)

如图，直三棱柱

ABC -ABQ

1

1

中，

AC =BC

AA

,

D

是棱

AA

的

2

中点，

DC_BD

。

(1) 证明：

DG _ BC

；

(2) 求二面角

A -BD -C

i

的大小.

(20)(本小题满分12 分)

设抛物线

C

:

x

2

=2py(p 0)

的焦点为

F

，准线为

I

,

A

为

C

上一点，已知以

F

为圆心，

FA

为半

径的圆

F

交

I

于

B,D

两点.

(1) 若.

BFD =90

,

:ABD

的面积为

4,2

，求

p

的值及圆

F

的方程；

(2) 若代

B, F

三点在同一直线

m

上，直线

n

与

m

平行，且

n

与

C

之有一个公共点，求坐标原点到

m,n

距离的比值.

(21) (本小题满分12分)

1

已知函数

f(x)

满足

f(x)

二

f (1)e

xj

- f(0)x

2

(1) 求

f(x)

的解析式及单调区间；

(2) 若

f (x) x ax b

，求

(a 1)b

的最大值.

2

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的 第一题

计分。作答时请写清题号。

(22) (本小题满分10分)选修4— 1 ;几何证明选讲

如图，

D,E

分别为

ABC

边

AB, AC

的中点，直线

DE

交

ABC

的 外接圆于

F,G

两点，若

CF//AB

，证明：

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x

2

.

(I)

CD

二

BC

;

(n)

.：BCD

s.：

GBD

(23) (本小题满分10分)选修4— 4;坐标系与参数方程

x =

2cos

已知曲线

C

i

的参数方程式 (「为参数)，以坐标原点为极点，

x

轴的正半轴为极轴建立

y =3s in ®

坐标系，曲线

C

的极坐标方程式

T

=2 .正方形

ABCD

的顶点都在

C

上，且 代

B,C,D

依逆时针次

22

f

八

序排列，点A的极坐标为

2丄

.

I 2

丿

(I)求点代

B,C, D

的直角坐标；

2 2 2 2

(n)设

P

为

C

i

上任意一点，求

|PA| JPB| | PC | | PD |

的取值范围.

(24) (本小题满分10分)选修4— 5;不等式选讲

已知函数

f(x) =|x a| • |x-2|

(1) 当

a=

「

3

时，求不等式

f(x) _3

的解集；

(2) 若

f (x) <|x -4|

的解集包含

［1,2］

求

a

的取值范围.

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2012

年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一•选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。

(1)【解析】选

D

x =5,y =1,2,3,4

，

x = 4,y =1,2,3

，

x=3,y=1,2

，

x = 2,y=1

共 10 个

(2

)【解析】选

A

甲地由

1

名教师和

2

名学生：

c

2

c

2

=12

种

(3)【解析】选C

2

2(-1 -i)

2

z

二 ----

(-1 Wi)

-1 i

山：|彳=】

2

，

p:z

=

2i

,

p: z

的共轭复数为

—1+i

，

p

: z

的虚部为一

1

234

(4) 【解析】选C

AFPF|

是底角为

30

的等腰三角形

n |PF

1 = |

FF

= 2(?a —c) = 2cu e = E=

2 a 4

(5) 【解析】选

D

2221

3

a

a

= 2

，

aa

=印&

- -8=

印

=4,a

- -2

或印-

-2,a

= 4

4756777

a

=4,a

- -2=

47

a^ ■ -8,

厲

0

0

=1=

a

a

- -7

10

10

a

- -2,a

=4=

47

a

一

-8® =1

二

a

a

- -7

(6) 【解析】选

C

(7) 【解析】选

B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为

3

1 1

此几何体的体积为

V 633=9

3 2

(8) 【解析】选

C

设

C:x

2

2

-y

2

二

a

2

(a 0)

交

y

2

=16x

的准线

I: x =-4

于

A(-4,2 3) B(-4,-2 3)

2

得：

a

二

(-4)

(9)【解析】选A

丁

=2=

(X

- (2 3) = 4 a = 2 = 2a = 4

2

)

「

5

4

二

4

=仁

(X ： —)

3 5

二

[

4, 4

]

合题意排除

(B)(C)

,

9

4

二]

不合题意排除

(D)

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