2023年12月2日发(作者：人大附中班级数学试卷答案)
高二年级下学期期末考试
数学试卷
一、选择题（本大题共 12
个小题，每小题 5
分，共 60
分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1、不等式 2x 3 5
的解集为（
A. (1,4)
）
D. (1,4)
）
B. (1,4)
C. (1,4)
，则复数 z
的共轭复数在复平面中对应的点在（
2、设复数 z
满足 (1 i) z 2
（i
i
为虚数单位）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500
名男性市民中有 1000
名持支持态
度，2500
名女性市民中有 2000
人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是
否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（
）
A.
平均数与方差
B.
回归直线方程
C.
独立性检验
D.
概率
4、若函数 f ( x) ax
4 bx
2 c
满足 f (1) 2
，则 f (1)
等于（
）
A. 1
B. 2
C. 2
D.
0
y f ( x)
的图象是如图所示的一条直线，
5
、函数 y f ( x)
的图象过原点，且它的导函数
y f ( x)
的图象的顶点在（
）
A.
第一象限
C.
第三象限
1
1
B.
第二象限
D.
第四象限
2 2 n n 1 2 n
6、在一组样本数据 ( x , y )
， ( x , y )
，……， ( x , y ) (n 2, x , x x
不全相等）的散点图中，
若所有样本点 ( x , y ) (i 1,2 n)
都在直线 y
1
x 1上，则这组样本数据的样本相关系数为
i i
2
（
）
1
A. 1
B.
0
C.
D. 1
2
7、若 a 1
， b 1
那么下列命题正确的是（
）
1
1
b
A.
B.
1
C. a
2 b2
D. ab a b 1
a
b
a
2y8x
、已知，，若8 x 0
y 0
m2 2m
恒成立，则实数
m
的取值范围是（
x
y
A. m 4
或 m 2
C. 4 m 2
）
B. m 2
或 m 4
D. 2 m 4
9、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y
度）与气温（ xoC
）的关系，曾由下表数据计算回
归直线方程 y x 50
，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（
）
1
气温
人均用电量
A. 35
30
20
C. 45
20
30
D. 48
10
*
0
50
B. 40
10、已知函数 f ( x)
的导函数 f ( x) a( x 1)( x a)
，若 f ( x)
在
x
a
处取得极大值，则a
的取值
范围是（
）
B. (1,0)
C. (0,1)
D. (0, )
A. (,1)
1
11、已知函数 f ( x) x3 2ax
2 bx
在 x 1
处切线的斜率为 1
，若 ab 0
，则
1
的取值范围
a
b
（
）
9
,
A.
2
,9
B.
2
1
,
C.
2
N a b
,1
D.
2
12、已知 a b c 1
，设 M a c
关系为（
）
A. P N M
abP 2(
ab )
则 M
、 N
、 P
的大小
2
D. P M N
B. N M P
C. M N P
二、填空题（本大题共 4
个小题，每小题 5
分，共 20
分）
13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______
∵ a b
a a b a
即 2a b a
……①
2a 2b b a 2b
即 2(a b) a b
……②
2(a b)(a b) (a b)(a b)
即 2(a b)2 (a b)2
……③
∵ (a b)2 0
可证得 2 1
……④
x
2
14、已知曲线 y
3ln x
在点（ x , f ( x )
处的切线与直线 2 x y 1 0
垂直，则
x
的值为
0 0 0
4
________
15、 f ( x) x
1
x 2
( x 2)
在 x a
年取得最小值，则 a =________
16、设 a
、 b R
， a b 2
，则关于实数 x
的不等式 x a x b 2
的解集是_______
三、解答题（本大题共 6
小题，共 70
分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（10
分）气象部门提供了某地区今年六月分（30
天）的日最高气温的统计表如下：
17、日最高气温 t
（单位：℃）
t 22
22﹤t 28
28﹤t 32
t﹥32
天数
6
12
2
Y
Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y
和 Z
数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份
的日最高气温不高于 32℃的频率为 0.9.
（1）若把频率看作概率，求 Y，Z
的值；
（2）把日最高气温高干 32℃称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面
2×2
列联系，
并据此推测是否有 95%的把握认为本地区“高温天气”与西瓜“旺销”有关？说明理由.
高温天气
非高温天气
合计
旺销
1
不旺销
6
合计
2
n(ad bc)附 K
2
(a b)(C d )(b d )(a c)
P(K2≥R)
K
0.10
2.706
0.050
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
18.（12 分）已知直线 L 经过点 P(1,1) ，倾斜角
的正切值是
3
4
，圆 C 的极坐标方程为
2
cos(
)
4
（1）写出直线
l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程；
（2）求圆心 C 到直线
l 的距离.
19.（12 分）已知函数 f ( x) e
x ax (
a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A ，由线 y f ( x) 在点 A 处的切线
斜率为-1.
（1）求
a 的值；
（2）求函数 f ( x ) 的极值.
20.（12 分）已知函数 f ( x) x 1 x 4 a a R
3
（1）当
a
2 时，求 f ( x) 8 的解集；
（2）若 f ( x) 0 的解集为
R ，求实数
a 的取值范围.
21. （ 12 分）在平面直角坐标中，以原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
2
t
2 (t
为参数），直线 l 与
2
t
2
x2
2C
:
sin
2a
cos
(a
0)
，过点
P(2,4)
的直线
l
的参数方程为
y 4
曲线 C 交于
M ，
N 两点。
（1）求曲线 C 的普通方程。
（2）若
PM
,
MN
,
PN 成等比数列，求实数
a 的值.
1
22、(12
分)已知函数 f ( x) 2ax
b
在与 ln x
x 1 x
处都取得极值
x 2
（1）求 a
、 b
的值；
1
，f(x)c恒成立，求实数c的取值范围.（2）若对任意
x
,1
4
4 高二年级下学期期末考试
数学答案
一、选择题（本大题共 12
小题，每小题 5
分，共 60
分）
题号
答案
1
A
2
D
3
C
4
B
5
A
6
D
7
D
8
C
9
B
10
B
11
A
12
C
二、填空题（本大题共 4
小题，每小题 5
分，共 20
分）
13.
③
14.
3
15.
3
16.
R
三、解答题（本大题共 6
小题，共 70
分）
（10
分）解：（1）.30×0.9=27
17、6+12+Y=27
∴Y=9
Z =30-6-12-9=3…………………………4 分
（2）.2×2 列联表
高温天气
非高温天气
旺销
1
21
不旺销
2
6
合计
3
27
合计
22
8
30
K
2
R
2
30 1 6 2 212
22 8 3 27
2.727
∵2.727﹤3.841
∴没有 95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关……10 分
3
（12
分）解：（1）∵ tan
18、4
∴ sin
3
， cos
4
5
5
4
x 1
t
5
（t为参数）……6分
∴
l
的参数方程为
y 1
3
t
5
（2）由 p
2 cos(
)
化得 x
2 y
2 x y 0
4
1 1
∴圆心 c( , ) .
2 2
13
l
方程为： 3x 4 y 7 0
∴ d
…………………………………………12
分
10
5
19、（12
分）解：（1）因 f ( x) e
x ax
得 f ( x) e
x a
∵ f (0) 1 a 1
∴ a 2
………………………………4
分
（2）由（1）知 f ( x) e
x 2 x
f ( x) e
x 2
令 f ( x) 0
得 x ln 2
∴ f ( x)
在 (, ln 2)
单调递减，在 (ln 2,)
单调递增，
∴当 x ln 2
时 f ( x)
极小值=
f
(ln
2)
2
ln
4
f ( x)
无极大值………………………………12
分
20、（12
分）解：（1）由题意得，当 a 2
时， x 1 x 4 2 8
，即 x 1 x 4 6
当 x 1时， ( x 1) ( x 4) 6
，即 5 2x 6
∴ x
1
2
当1 x 4
时， x 1 ( x 4) 6
即 3 6
不成立
当 x 4
时， x 1 x 4 6
即 2x 11∴ x
112
x1
或x11
……………………6分
综上知，
f
(
x)
3
的解集为 x
2
2
（2）依题意知：
x
1
x
4
a 恒成立，而
x
1
x
4
(
x
1)
(
x
4)
3 ，
∴
a
3 ，即实数
a 的取值范围是
(,3) ………………………………12 分
（12
分）解：（1）曲线 C
的普通方程为 y
2 2ax
……3
分
21、（2）将直线参数方程代入拋物线 C
的方程得:
t
2 2 2 (4 a)t 8(4 a) 0
t t 2 2 (4 a) t t 8(4 a)
1
PM , MN , PN 成等比数列
∴
MN
2
PM
PN
2 1 2
∴
t
t
1
2
2
t t
1
2
(t t )
2 5t t
1
2
1 2
6
8(4 a)
2 40(4 a)
∴ 4 a 5
a
1
……………………………………12
分
b
1
、（分）解（）由题可知：2212 1 f
( x) 2a
x
2 x
1
∵函数 f ( x)
在 x 1
， x
处取得极值
2
1
f (1) 0
， f
( ) 0
2
2a
b
1
0
1
即
a
b
……………………4
分
3
2a
4b
2
0
（2）由（1）可得 f ( x)
2
x
1
ln x
3
3x
2
1
1
令 f
( x)
0
3
3x
2
x
(2 x 1)( x 1) 0
(2 x 1)( x 1) 0
1
x 1
2
1
1
即： f ( x)
在 ( ,1)
单调递增，在 (0, ),(1,)
单调递减
2
2
1
又∵
x
,1
4
1
上单调递减，在
1
1
上单调递增……………………8分
f
(
x)
在 ,,1
4
2
2
1
7
1
， f ( )
ln 4 f (1)
4
6
3
1
9
又∵ f ( ) f (1)
ln 4 0
4
6
1
7
f ( x)
f ( )
ln 4
max
4
6
7要使对任意
x
1 ，
f(x)c恒成立，则c……………………12
分
,1ln4
7
高二下学期期末考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。）
1．从 A 村到 B 村的道路有 3 条，从 B 村到 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 村去 C 村，不同的
路线有几条？（
）
C. 8
D. 9
A. 5
B. 6
2.若复数 z
1 2i
3 - 4i，则其共轭复数_ z
的虚部为（
）
2
2
B.
2
i
C. -
D.
- i
5
5
5
1
3. 函数 y＝x－
在[1，2]上的最大值为(
)
x
A． 0
B．
3
C． 2
D．
1
A.
5
32
4. 设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合
N 的函数关系的有
(
)
A．①②③④
B．①②③
C．②③
D．②
5.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的(
)
A.
可以选择两个变量中的任意一个变量在 x 轴上
B.
可以选择两个变量中的任意一个变量在 y
轴上
C.
预报变量在 x
轴上，解释变量在 y
轴上
D.
解释变量在 x
轴上，预报变量在 y
轴上
8
6.已知 f ( x
5 ) ln x
，则 f (2)
（
）
1
A. ln 2
5
1
B.
ln 5
2
1
C.
ln 2
3
1
D.
ln 3
2
7.
1
x
10的展开式的第
6
项的系数是（
）
1
5
0
B.A.
C
5
C3
10
C. C
6
10
D.
C
6
)
10
8.
若 a 30.6
， b log 0.2
， c 0.63
，则(
A． a b c
B． a c b
C． c b a
)
C．
,
1
1
4
2
D． b c a
9.
函数 f ( x) e
x 4 x 3
的零点所在的区间为(
A．
,0
1
4
B．
0,
1
4
10.
已知幂函数 y f ( x)
的图象过点 3, 3
,则 log f (2)
的值为(
A．
1 1
2
2
D．
,
1
3
2
4
)
B．
C． 2
2
D． 2
11.
函数 f ( x) 125x3 250x
2019
4
，满足 f (lg 2015) 3
，则 f (lg
1
)
的值为（
）
2015
x
A. 3
B.
3
C. 5
D.
8
12.
若函数 f ( x)
为定义在 R
上的奇函数，且在
ln
x
f
(
x)
0
的解集为(
1
e
0,
为增函数，又
f (2) 0
，则不等式
)
C．
2,0
U
0,2
D．
, 2U
2,
A．
2,0
U
2,
B．
, 2U
0,2
第 II 卷（共 90 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．填空： 6 7
14.计算：
1 1 x
2 dx =
2 2 5
0
15.
曲线 y 3 x x e在点0，处的切线方程为
2
x
-1
16.
1111111111- 22222 =
9
三、解答题：（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分 12 分）
设 p
: P x
x
2 8x 20 0
,
q
:非空集合 S
x1 m x 1 m,且 p
是 q
的必要不充分
条件,求实数 m 的取值范围。
18．(本小题满分 12 分)
已知随机变量 X 的分布列为
求 E(X), E(2X+5),D(X)
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) x
2 2ax 3, x
4,6.
(1)当 a 2
时,求 f ( x)
的最值；
(2)求实数
a
的取值范围,使 y f ( x)
在区间[-4,6]上是单调函数。
10 20.（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) x
3 ax
2 bx c,
当 x 1时， f ( x)
的极大值为
7；当 x 3
时， f ( x)
有极小
值。求：
(1） a, b, c
的值；
(2）函数 f ( x)
的极小值。
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) log (3 ax)
.
a
(1)当 x
0,2时,函数 f ( x)
恒有意义,求实数 a
的取值范围;
(2)是否存在这样的实数 a
,使得函数 f ( x)
在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为
1?如果存
在,试求出 a
的值;如果不存在,请说明理由.
22.（本小题满分 10 分）
1 t
2
x
1t2在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
（
t
为参数）.以坐标原点
O
为极点，
y
6t
1 t
2
23x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l
的极坐标方程为 2 cos
sin 11 0
.
3
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值。
11
高二理科数学期末考试试题参考答案
12
13
14
高二下学期期末考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．集合
0,2,4
的真子集个数为(
)
A. 3 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
2.若复数 z
1 i
2
，则其共轭复数_的虚部为（
）
z
A. 0
B. 2
C. -2
D. -2i
则3.
已知幂函数 y f ( x)
的图象过点 3, 3
, log f (2)
的值为(
2
)
A．
1 1
B．
2
2
C． 2
D． 2
4.已知 f ( x
5) ln x
，则 f (2)
（
）
1
A. ln 2
5
B.
1
ln 5
2
1
C.
ln 2
3
D.
1
ln 3
2
5. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的(
)
A.
可以选择两个变量中的任意一个变量在 x 轴上
B.
可以选择两个变量中的任意一个变量在 y
轴上
C.
预报变量在 x
轴上，解释变量在 y
轴上
D.
解释变量在
x
轴上，预报变量在 y
轴上
6.设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N
的函数关系的有
(
)
15
A．①②③④
B．①②③
3
C．②③
)
D．②
7.
若 a 30.6
， b log 0.2
， c 0.63
，则(
A． a b c
B． a c b
C． c b a
18. 函数 y＝x－
在[1，2]上的最大值为(
)
x
A． 0
D． b c a
B．
3
C． 2
)
3
D．
2
9.
函数 f ( x) e
x 4 x 3
的零点所在的区间为(
1
,0
A．
4
0,1
B．
4
1
1
C．
,
4
2
3
1
D．
,
2
4
10.
函数 f ( x) 125x3 250 x
2019 4
，满足
f
(lg
2015)
3
，则
f
(lg
1
)
的值为（
）
2015
x
A. 3
B.
3
C. 5
D. 8
11.
若函数 f ( x)
为定义在 R
上的奇函数，且在
0,
为增函数，又
f (2) 0
，则不等式
1
xf(x)0的解集为(ln
e
)
B．
, 2U
0,2
D．
, 2U
2,
A．
2,0
U
2,
C．
2,0
U
0,2
x2 ax 7,( x 1)
12.已知函数f(x)是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是（
）
a
(x1)
x
16
A. 4
≤
a
＜0
B.
a
≤ 2
C. 4
≤
a
≤ 2
第 II 卷（共 90 分）
D.
a
＜0
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．比较大小： 6 7
2
31
2
1
21
3
2 2 5
a b
1
a b
14.化简：
56 a b5
15. 计算： 1111111111- 22222 =
5 时，
16.
已知定义在
R
上的奇函数
f
(
x)满足
f
(
x
5)
f
(
x),
且当
x
0,
f
(
x)
x
3
3x,
则
2
f (2019)
三、解答题：（共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分 12 分）
2,4,5 B
求,：已知全集 U
，，，，A 1 2
，3， 4 5
，6 7
,
1,3,5,7
（1） A
C B
（2）
C A
C B
U
U
U
18．(本小题满分 12 分)
如图，有一块半径为 2 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状，它的下底 AB 是
圆 O 的直径，上底 CD 的端点在圆周上．
（1）求梯形 ABCD 的周长 y 与腰长 x 间的函数解析式，并求出它的定义域；
（2）求梯形 ABCD 的周长 y 的最大值．
17
19．（本小题满分 12 分）
设 p
: P
x
x
2 8x 20 0
,
q
:非空集合 S
x1 m x 1 m,
且 p
是 q
的必要不充分条件,求实数
m
的取值范围。
20.（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) x
2 2ax 3, x
4,6.
(1)当 a 2
时,求 f ( x)
的最值；
(2)求实数
a
的取值范围,使 y f ( x)
在区间[-4,6]上是单调函数。
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) log
a
(3 ax)
.
(1)当 x
0,2时,函数 f ( x)
恒有意义,求实数
a
的取值范围;
(2)是否存在这样的实数 a
,使得函数 f ( x)
在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为
存在,试求出 a
的值;如果不存在,请说明理由.
18
如果
1? 22.（本小题满分 10 分）
1 t
2
x
1t2（t为参数）.以坐标原点O为极点，在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
y
6t
1 t
2
23x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
l
的极坐标方程为 2 cos
sin 11 0
.
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值。
参考答案
19
3
20
21
22 高二第二学期期末考试数学试题
试卷说明：（1）命题范围：人教版选修 1-2，必修 1
（2）试卷共两卷
（3）时间：120 分钟
总分：150 分
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如果 S
1,2,3,4,5
， M
1,2,3
， N
2,3,5，那么
SC
M
SC
N
等于（
）.
A.
B.
1,3
C.
4
D.
2,5
2.下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（
）.
A.
y
1
x
B.
y
1
2
y
log
3(
x)
D. y x
3
xC.
3．
若函数 y log
a(
x b)(a 0, a 1)
的图象过两点(-1
，0)和(0，1)，则
A．a=2,b=2
B．a = 2 ,b=2
C．a=2,b=1
D．a= 2 ,b= 2
4． 对于 0 a 1 ，给出下列四个不等式
① log
②
a
(1 a) log
1
a
(1
a)
log
(1
a a
a)
log
(1
1
a
)
③ a1a a
1
1a
④ a1a a
1
1a
其中成立的是
A．①与③
B．①与④
C．②与③
D．②与④
5、若函数 f ( x) a
x b 1(a 0且a 1)的图象经过第二 、三、四象限，则一定有
A． 0 a 1且b 0
B． a 1且b 0
C． 0 a 1且b 0
D． a 1且b 0
6、已知函数 f ( x) lg
1 x
,
若f (a)
1
,
则f (a)
A．
11 x
2
1
2
B．－
C．2D．－2
2
7．若函数 f ( x) log
ax(0 a 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a=
A.
2
24
B.C.1D.
2
21
23
8、函数 y
x 1 1(x 1) 的反函数是
A． y x
2 2 x 2( x 1)
B． y x
2 2 x 2( x 1)
C． y x
2 2 x( x 1)
D． y x
2 2 x( x 1)
9．在映射 f : A B 中， A B
x,
y
| x, y R，且 f :
x, y
x y, x y
，则
与 A 中的元素
1,2
对应的 B 中的元素为（）
A．
3.1
B．
1,3
C．
1, 3
D．
3,1
10．设复数 z
1 1 i, z
2
2 bi(b R),
若z1
z
2
为实数，则 b= (
)
A.2
B.1
C.－1
D.－2
411．函数 y x
3的图象是
（
A．
B．
C．
D．
12、在复平面内，复数
i(
)
1
i＋(1＋
3
i)2对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D.第四象限
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在答题纸中对应横线上.
13.已知复数 z 2 i, z 1 3i ，则复数
i
z
2=1 2
z1
5
24
） 14．lg25＋
lg8＋lg5·lg20＋lg22=
2
3
15.若关于
x
的方程 3tx2 (3 7t) x 4 0
的两实根
x
,
x
，满足
0
x
1
x
2
，则实数
t
的取值范围是
1
2 1 2
16.函数 f ( x) ln( x x
2) 的单调递增区间为
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.前五题各 12 分，最后一题 14 分.
17.（本小题 12 分）
52
201i
1 i
2ii
100计算
1
1
i
2
18．（本小题 12 分）
在数列{a }中， a 1,
n
1
a
2 a2an
n
(n N
) ，试猜想这个数列的通项公式。
25
19. （本小题 12 分）
已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1 ， f (1) 1 ，且 f ( x) 的最大值是 8，求此二次函数解析式
20. （本小题 12 分）
已知 f ( x
2 5) log
x2a
10
x
2
(a 0,
且a 1) 。
（1） 求 f(x)的解析是，并写出定义域；
（2） 判断 f(x)的奇偶性并证明；
26
21．（本小题 12 分）
函数 f ( x) 对任意的
a 、 b R，都有 f (a b) f (a) f (b) 1 ，并且当 x>0 时， f ( x) >1.
(1) 求证： f ( x) 是 R 上的增函数；
(2) 若 f (4) 5 ，解不等式 f (3m2 m 2) 3
22． （本小题 14 分）
已知定义域为 R 的函数
f ( x)
2x b
2x1 2
是奇函数。
（1）求 b 的值；
（2）判断函数 f
x
的单调性;
（3）若对任意的 t R ，不等式
f
(t
2
2t
)
f
(2t
2
k
)
0 恒成立，求
27
k 的取值范围．
试题答案及评分标准
一、选择题（共 60 分，每题 5 分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
D
A
D
C
B
A
B
A
D
A
二、填空题（共 16 分，每空 4 分）
13.i
14. 3
15.
7
t 5
4
16.
(0,
12 ］
三、计算题（共 6 道题，总分 74 分）
17.（12 分）
解 1+2i——————————————————12 分
18．（12 分）
解：在数列{an}中，∵
a1
1,2
a
n
(n N
)
2aan
∴ a
1
1
2
2
, a
2 3 4
2a
5
2
2
2a
a31
2
2a
a2
2
2 1
, a
2 a
3 1
, a
2
4 1
, a
1 2 3 4
a
n
2
∴可以猜想，这个数列的通项公式是n 1
——————————12 分
19. （12 分）
解：（法一）设 f ( x) 的解析式为 f ( x) ax
2
bx c ————2 分
f (2) 4a 2b c
由已知，有 1
f
(1)
a
b
c
1————6分
4ac b2
8
4a
a
解得
4
b
4
c
7
28
12
B
2a
2 a4
2
5 1
,
f ( x) 的解析式为 f ( x) 4 x2 4 x 7 ————12 分
（法二）设 f ( x) 的解析式为 f ( x) a( x h)2 k ————3 分
∵ f (2) f (1) 1
∵ f ( x) 的最大值为 8
1
∴ h =
—————6 分
2
∴ k 8 —————9 分
1
∴ f ( x) a( x )2 8
2
1
2∴ f (2) a(2 ) 8 1
∴ a 4 ——————11 分
2
1
∴ f ( x) 的解析式为 f ( x) 4( x )2 8 4 x
2 4 x 7 ————12 分
2
20. （12 分）
5 x
定义域为x(5,5)（1）解析式为 f ( x) log
----------------------3
5 x
a
（2） f ( x) 为奇函数
证明：
f
(
x)的定义域为x
(5,5) -----------------------4
5 x
5 x
f ( x) log
＝ log
a (
)
1
a
5x
---------------6
5
x
---------------------8
5 x
＝- log5 x
a
＝－ f ( x)
----------------------10
----------------------------------11
f ( x) 为奇函数。
----------------------------------12
有 x - x >0 —————1 分
2 1
21. （12 分）（1）证明：任取
x 、 x ∈R，设 x < x
1 2 1 2
f ( x ) f ( x x x ) f ( x x ) f ( x ) 1 ——————4 分
2
2 1 1 2 1 1
∵ x - x >0
2
1
∴ f ( x x ) 1 ————————5 分
2 1
∴ f ( x ) f ( x ) f ( x x ) 1 0
2
1 2 1
29
∴ f ( x) 在 R 上单调递增 ——————————————6 分
（2）解： f (4) f (2) f (2) 1 5
∴ f (2) 3 ————————————9 分
∴ f (3m2 m 2) f (2)
由（1）有 3m2 m 2 2
1
m
4
∴
3
————————————12 分
22. （14 分）
（1）因为 f ( x) 是奇函数，所以 f (0) =0，
即b 1
x
2 2 0 b 1 f ( x)
1 2
2 2x1------------------------3
（2）由（Ⅰ）知 f ( x) 1 2x
1
2
2x1
1
，
2
2x 1
设 x1
x
2
则 f ( x
1
1
2x2
2
x1
1)
f ( x
2
)
2x
1
1
2x2
1
(2
x1
1)(2x2
1)
因为函数 y=2
x 在 R 上是增函数且 x
1
x
2
∴
2x2
2x1 >0
又
(2
x1
1)(2x2
1) >0 ∴
f
(
x
1)
f
(
x
) >0 即
f
(
x
1)
f
(
x
2)
2∴ f ( x) 在 (, ) 上为减函数。
----------------------------8
（3）因 f ( x) 是奇函数，从而不等式：
f (t
2 2t ) f (2t
2 k ) 0
等价于 f (t
2 2t ) f (2t
2 k ) f (k 2t
2 ) ，因 f ( x) 为减函数，由上式推得：
切 t R 有：
3t
2 2t k 0 ，
从而判别式 4 12k 0 k
13 .
----------------------14
30
t
2 2t k 2t
2 ．即对一
第二学期期末考试试卷
高二数学试题
注意事项：
1．本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟。
2．答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。
3．使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。超出答题区书写的答案
无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共 13
小题，每小题 4
分，共 52
分.在每小题给出的四个选项中，第 1～10
题只有一项
符合题目要求；第 11～13
题有多项符合题目要求，全部选对的得 4
分，选对但不全的得 2
分，有选错
的得 0
分.
1.设集合U
0,1,2,3,4,5
， A
2,3,4
， B
= {3,4,5} ，则 A
U
B
=
U
A.
2
B.
0,1
C.
{0,1,2,3,4
}
D.
0,1,3,4,5
2.命题“ x 0, x3 x
2 0 ”的否定是
A.
x
0,
x
3
x
2
0
B.
x
0,
x
3
x
2
0
0
0
0
0 0 0
C.
x
0,
x3
x
2
0
D.
x
0,
x3
x
2
0
3.已知 a, b R ，则“ a b ”是“ a
2 (a b) 0 ”的
A.充分不必要条件
C.充分必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
log
x
x
3,
x
0
4.若函数
f
(
x)
2
，则
f
(
f
(3))
2x
， 0
1A.
3
B.
3
5
C.D.3
2
2
5.当生物死亡后，其体内原有的碳14 的含量大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.
在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳
14 含量约为原始含量的
3.1% ，则该生物生
存的年代距今约
1
6.若幂函数的图象经过点 (2, ) ，则其解析式为
4
A.1.7 万年
B. 2.3 万年
C. 2.9 万年
D. 3.5 万年
1
A.
y
(
)x
2
B.
y
2
x
C.
y
x
2
D.
y
x
2
7.已知偶函数 f ( x) 在 [0, ) 单调递减，则不等式 f (2x 1) f (3) 的解集为
A.
2,1
B.
1,2
C.
(,
2)
U
(1,)
D.
(,
1)
U
(2,
)
31
a
8.若直线 y 1 是曲线 y
ln x 的一条切线，则实数
a 的值为
x
A.1
B.
2
C.
3
D.
4
9. 已知定义在
R 上的函数
f
(
x) 在
(2,
) 上单调递增且
f
(0)
=
0 ，若
f
(
x
+
2) 为奇函数，则不等式
f
(
x)
<
0 的解集为
A. (, 2)
U (0,4)
B.(0,4
)
U）2
C.
(, 2）
(0，D. (,0)
U (2,4)
10.若函数
f
(
x)
ln
x 与 g ( x) x2 (4 a) x 2a 4( a R) 图象上存在关于点
M
(1,0) 对称的点，则实
数
a 的取值范围是
A.
[0, )
1
B. [ , )
e
C.
[1,)
D.
[e, )
11.在同一直角坐标系中，函数 y a
x ,y
1 y log ( x ) （ a 0 且 a 1 ）的图象可能是
a
2
y
y
y
O
1
x
B.
O
1
x
C.
O
1
x
O
1
x
A.
D.
x2 x 1
12.已知函数 f ( x)
，则下列结论正确的是
xe
A.函数
f
(
x)
存在两个不同的零点
B.函数
f
(
x)
既存在极大值又存在极小值
C.当
e
k
0
时，方程
f
(
x)
k
有且只有两个实根
D.若
x
[t,
)
时，
f
(
x)
max
5
2
e，则
t 的最小值为
2
13. 对于定义域为
D 的函数 f ( x) ，若存在区间[m, n] D ，同时满足下列条件：① f ( x) 在 [m, n] 上是单
调的；②当定义域是[m, n] 时， f ( x) 的值域也是[m, n] ，则称[m, n] 为该函数的“和谐区间”.下列函数
存在“和谐区间”的是
A.
f
(
x)
x3
B.
f
(
x)
3
2x
C.
f
(
x)
e
x
1
D.
f
(
x)
ln
x
2
二、填空题：本大题共有 4
个小题，每小题 4
分，共 16
分.
32
1
14.函数 f ( x) 1 2x
的定义域为（结果用区间表示）
log ( x 1)
2
15.已知函数
f
(
x)
|
lg
x
| ，实数
a,
b
(a
b) 满足
f
(a)
f
(b) ，则 ab 的值为
16.若“
$ x
? [2,8] ， m
? log x
2
4log 2 ”为真命题，则实数 m 的最大值为
x
17.设函数 f ( x) 的定义域为 R ，满足 f ( x 1) 3 f ( x) ，且当 x (0,1] 时，f ( x) x3 x
2 .（1）当 x (0,1]
时， f ( x) 的最小值为
范围是
；（2）若对任意 x (, m] ，都有 f ( x)
27
成立，则实数 m 的取值
8
.
三、解答题：本大题共 6
个小题，共 82
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（13 分）已知二次函数 f ( x) 的图象过原点，满足 f ( x 2) f ( x)( x R) ，其导函数的图象经过点
(0,
- 2) .
（1）求函数 f ( x) 的解析式；
（ 2 ） 设 函 数 g ( x) a
x a 5 (a 0且 a 1) ， 若 存 在 x [3,0] ， 使 得 对 任 意 x [1,2] ， 都 有
1 2
f ( x ) g ( x ) ，求实数
a 的取值范围.
1
2
19.（13
分）已知函数 f ( x)
= log (m
+
2
n
)
为奇函数，其中 m, n
? R, m
0.x+1
（1）求 m, n 的值；
（2）求使不等式 f ( x) ³ 1 成立的 x
的取值范围.
1
20.（13
分）已知 p :
实数 m
使得函数 f ( x) ln x
(m 2) x
2 x
在定义域内为增函数； q :实数 m
使得
2
函数 g ( x) mx
2 (m 1)x 5
在
R
上存在两个零点 x , x
，且 x
< 1
< x .
1
2 1 2
（1）分别求出条件 p, q 中的实数
m 的取值范围；
（2）甲同学认为“ p 是 q 的充分条件”，乙同学认为“ p 是 q 的必要条件”，请判断两位同学的说法是
否正确，并说明理由.
21.（13 分）已知函数 f ( x)
= ( x
- a
- 1)ex (a R) .
（1）当 a
= 0 时，求函数 f ( x) 在 x
= 1 处的切线方程；
（2）当 x Î [0,1] 时，求函数 f ( x) 的最大值.
22.（15 分）中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁
33
线路通车后，发车时间间隔 t （单位：分钟）满足 5
＃t
25 ， t N.经测算，高铁的载客量与发车时
20 时，载客量会在满
间间隔 t 相关：当 20
＃t
25 时高铁为满载状态，载客量为 1000 人；当 5
? t
载基础上减少，减少的人数与 (20
- t )2 成正比，且发车时间间隔为 5 分钟时的载客量为 100 人.记发车
间隔为 t 分钟时，高铁载客量为 P(t ) .
（1）求 P(t ) 的表达式；
t
（2）若该线路发车时间间隔为 t 分钟时的净收益 Q(t )
=
P(t )
- 40t
2
+ 650t
- 2000 （元），当发车时
4
Q(t )
间间隔为多少时，单位时间的净收益
最大？
t
23.（15 分）已知函数 f ( x) a ln x ( x 2)e
x ， a R .
（1）当
a
0
时，讨论
f
(
x)
的导函数
f
(
x)
在区间
(1,)
上零点的个数；
（2）当
a
1
，
x
(0,1]
时，函数
f
(
x)
的图象恒在
y
x
m
图象上方，求正整数
m
的最大值.
34
第二学期期末学业水平诊断
高二数学试题参考答案
一、选择题
1.C
2.A
3.B
4.A
5.C
6.C
7.B
8.A
9.D
10.C
二、填空题
14.
(1,0)
15.1
16.
5
4
7
7
17.
, (, ] （可写为 m
）
27
2
2
三、解答题
18.解：（1）设 f ( x)
= ax
2
+ bx ，∵ f (x
- 2)
= f (- x) ，
b
=-=- 1，
……………………………………2 分
所以 f ( x) 的对称轴方程为 x
2a
(
x)
=
2ax
+
b ，则 f
¢(0)
= b
=
- 2 ，
又
f
¢
……………………………………4 分
两式联立，解得 a 1 ， b
=
- 2 .
所以 f ( x)
=
- x
2
- 2 x .
（2）由已知 f ( x)
max
2……………………………………5 分
g ( x)
max
.
……………………………………6
分
max
3,0
因为 f ( x) x 2 x ，
x
所以 f ( x) 在 (- 3,- 1) 单增， (- 1,0) 单减，当 x
=
- 1时， f ( x)
= 1 …………8 分
1,2
上为减函数，
法一：当 0
< a
< 1时， g ( x)
= a
x
+ a
- 5 在
g ( x)
max
= g (1)= 2a
- 5 ，此时1
? 2a
5 ，解得 0
< a
< 1.
………………10 分
上为增函数， g ( x)
当 a
> 1 时， g ( x)
= a
+ a
- 5 在
1,2
xmax
= g (2)
= a
2
+ a
- 5 ，
此时1
? a
2
a
- 5 ，解得1
< a
? 2 .
……………………………………12 分
综上，实数
a 的取值范围是
{a |0
< a
< 1或1
< a
? 2}.……………………………13 分
（法二：因为 a 0 且 a 1 ，所以 g ( x)
= a
x
+ a
- 5 为单调函数，所以 g ( x)
max
maxg (1),g (2)，
又 g (1)= 2a
- 5 ， g (2)
= a
2
+ a
- 5 ，
……………10 分
12a5于是由
，解得 3 a 2 .
……………………………………12 分
1
a2
a
5
35
又 a 0 且 a 1 ，所以实数 a 的取值范围是
{a |0
< a
< 1或1
< a
? 2}.………13 分）
19. 解：（1）因为 f ( x) 为奇函数，所以 f (- x)
+ f ( x)
= 0 对定义域内任意的 x 恒成立.
nn
+即 log (m
)
+ log (m
+
)
= 0
，
2
- x+1
2
x+1
……………………………………2
分
……………………………………4
分
……………………………7
分
化简得 m2 x
2 (m n)2 x
2 1
，
故 m2
= 1
， (m
+ n)2
= 1
，解得 m
=
- 1
， n
= 2
.
1- x
（2）由（1）知， f ( x)
= log
，……………………………………………………9 分
2 1+ x
- x
1- x
1? 1 ，得
³ 2 ，
………………………………………11 分
由 f ( x)
= log
2 1+ x 1+ x
解得
- 1
< x
?
1
x--综上，满足题意的
的取值范围是
( 1,
] .
3
20.解：（1） f ( x) 的定义域为 (0,
+
? ) ， f
( x)
1
，
3
…………………………………13 分
1
(m 2) x 1，…………………2 分
x
因为 f ( x) 在定义域内为增函数，所以对 x 0 ，恒有 f
( x) 0 ，
1
1
1
1 7
7
整理得 m
恒成立，于是
m
.
2 ( )2
x2 x
x
2
4
4
7
-?因此满足条件 p 的实数 m 的取值范围是 ( , ] .
………………………6 分
4
因为
g
(
x)
的存在两个零点且
x
<
1
<
x
，所以
m
?g
(1)
1
2
0 .
………………………8
分
即
m(2m
-
4)
<
0
，解得
0
<
m
<
2 .
因此满足条件 q 的实数 m 的取值范围是 (0, 2) .
………………………10 分
（2）甲、乙两同学的判断均不正确，
………………………………………………11 分
因为 p
q ，所以 p 不是 q 的充分条件,
………………………………………12 分
因为 q
p ，所以 p 不是 q 的必要条件.
………………………………………13 分
21.解：（1）当 a
= 0 时， f (1)= 0 ， f
¢(1)= e ，
……………………………………2 分
所以切线方程为 y
- 0
= e( x
- 1) ，即 ex
- y
- e
= 0 .……………………………4 分
（2） f
¢(
x)
= ( x
- a)e
x ，
当 a £ 0 时，当 x Î [0,1] ， f
¢( x)
³ 0 ， f ( x) 单调递增，
36
此时 f ( x)
max
= f (1)=
- ae ，………………………………………………………6 分
(
x)
< 0 ， f ( x) 单调递减，当 x Î (a,1) ， f
¢(
x)
> 0 ， f ( x) 单调
当 0
< a
< 1时，当 x Î (0, a) ， f
¢
递增，此时 f ( x)
max
{ f (0), f (1)},
………………………8 分
max=
又 f (1)- f (0)
=
- (e
- 1)a+1 ，所以当 0
< a
?
1
当
1e
-
1
时，f(x)
max
= f (1)=
- ae
e
-
1
<
a
<
1
时，
f
(
x)
max
= f (0)
=
- a
- 1.
………………………10 分
当 a ³ 1 时，当 x Î [0,1] ， f
¢(
x) £ 0 ， f ( x) 单调递减，
此时 f ( x)
f (0)
=
- a
- 1………………………………………………………12 分
max
=
综上，当 a £
1
e
-
1
时，
f
(
x)=
max
f (1)=
- ae ，
当 a
>
1
e
-
1
时，
f
(
x)=
max
f (0)
=
- a
- 1.
………………………………13 分
22. 解 ：（ 1 ） 当
5
?
t
20 时 ， 不 妨 设 P(t )
= 1000
- k (20
- t )
2 ， 因 为
P(5)
=
100 ，
k
=
4 .
………………………………3
分
因此
P(t)
=
ìï 1000- 4(20- t)2 ,5
? N*,
ïïí?î
t
20,t
1000,20.……………………5 分
＃t
25,t
?
N*
（2）① 当 5
? t
20 时， Q(t )
=
t4
P(t
)
-
40t2+650t-2000=-t3
+500t-
2000
因此 y(t )
=
Q(t
t
)
=
-
t2-2000
+500，5?t20
t
.
……………………7
分
因为 y
¢( t
)
=
- 2t
+2000
t
2
=- 2(t
3
- 1000)
，当
5?t
t
2
10 时， y
¢( t
)
> 0 ， y(t ) 单增；
当10
<
t
<
20
时，
y
¢(
t
)
<
0 ，
y(t
)
单减.所以
y
(t
)
max
=
y
(10)
=
200 .…………10
分
② 当 20
＃t
25 时， Q(t )
=
- 40t
2
+ 900t
- 2000
因此 y(t )
=
Q(t)50
t
=
900
-
40(t
+)，20＃t25
. 分
t
……………………12
因为 y
¢( t-
)
=
40(t2-
50)
<0，此时y(t)单减.所以y(t)=
y
=
t
2
max
(20) 0 ，…14 分
综上，发车时间间隔为10 分钟时，
Q(t)
……………………15 分
t
最大.
23.解：（1） f
¢ x)(
=
a
-
(
x
+e
(x
- 1)ex
)=a
-(x-1)e
x
x
x.
……………………1 分
37
所 以
解
得
3e
x
+a
a xa
- xe
x
=
-
,…2 分
令 g ( x)
=
- ( x
- 1)ex， x [1,) ，则 g
¢( x)
=
-
2x
x
2
x
(
x)
< 0 ， g ( x) 单调递减，又 g (1)= a
= 0 ，所以对
\" x
> 1 时，
①当 a
= 0 时，当 x (1,) ， g
¢g ( x)
< g (1)= 0 ，此时 g ( x) 在 (1,+
? ) 不存在零点. ………………4 分
②当 a
> 0 时，当 x (1,) ， g
¢(
x)
< 0 ， g ( x) 单调递减.
又因为 g (1)= a
> 0 ，取 x
= max
2, a，
0
{}则 g ( x )
=
0
a
-
(
x
-
1)ex0
<
a
-
(
x
-
1)(x
+
1)
=
2
-
x
2
?
0
，即
g
(
x
)
<
0 .
0 0 0 0 0
x
a
0
根据零点存在定理，此时 g ( x) 在 (1,+）存在唯一零点.
………………6 分
综 上 ， 当 a
> 0 时 ， f
¢(
x) 在 (1,) 存 在 唯 一 零 点 ； 当 a
= 0 时 ，
f
¢(
x) 在 (1,) 没 有 零
点.
………………………………………………7 分
（2）由已知得 m
< x
- ln x
- ( x
- 2)ex 在
0,1 上恒成立. ………………………………8 分
1
设 h( x) x ln x ( x 2)e
x ， x (0,1]，则 h( x) (1 x)(e
x ) ……………9 分
x
因为 0
< x
< 1时，所以1- x
> 0 ，
1
1
>xx 0 ，所以 u( x) 在
(0,1) 上单调递增，………10 分
设 u( x) e
，
u¢(x)
= e
+
x
x2
1
1
1
u
(
x
)
0 ，即
e
x0
=
,
又
u( )
=
e
-
2
<
0 ，
u(1)=
e
-
1>
0 ，由零点存在定理 x
(
,1) ，使得00
2
x
2
0
x ln x ，
0
0
0
………………………………………………12 分
且当 x (0, x ) 时，u( x) 0 ，h( x) 0 ，h( x) 单调递减；当 x
x ,1 时，u( x) 0 ，h( x) 0 ，h( x)
0
单调递增.
所以 h( x)
min
=
h(
x
)
=
x
-
ln
x
-
(
x
-
2)e
x0
=
2
x
-
1+
0 0 0 0 0
2
，…………………14 分
x
0
2
1
又 y 1
2 x 在 (0,1) 上单调递减，而 x ( ,1) ，所以 h( x ) (3,4) ，
0
0
2
x
因此，正整数
m 的最大值为
3 .………………………………………………………15 分
38
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