2023年12月2日发(作者：新高考数学试卷有多少考点)

2021年北京中考数学试题

一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）

A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱

2．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将0用科学记数法表示应为（ ）

A．0.1692×10

C．1.692×10

1112B．1.692×10

D．16.92×10

10123．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

4．下列多边形中，内角和最大的是（ ）

A． B．

C． D．

5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0

6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（ ）

A．

2B．

22C．

2D．

＜7．已知43＝1849，44＝1936，45＝2025，46＝2116．若n为整数且n＜n+1，则n的值为（ ）

A．43 B．44 C．45 D．46

8．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

2

A．一次函数关系，二次函数关系

B．反比例函数关系，二次函数关系

C．一次函数关系，反比例函数关系

D．反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题(共16分，每题2分)

9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．

2210．分解因式：5x﹣5y＝ ．

11．方程＝的解为 ．

12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为 ．

13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ ．

14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．

15．有甲、乙两组数据，如下表所示：

甲

乙

11

12

12

12

13

13

2214

14

215

14

2甲、乙两组数据的方差分别为s甲，s乙，则s甲

s乙（填“＞”，“＜”或“＝”）．

16．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ．

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．计算：2sin60°+18．解不等式组：22+|﹣5|﹣（π+．

2）．

019．已知a+2b﹣1＝0，求代数式（a﹣b）+b（2a+b）的值．

20．《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．

证明：在△ABC中，BA＝ ，D是CA的中点，

∴CA⊥DB（ ）（填推理的依据）．

∵直线DB表示的方向为东西方向，

∴直线CA表示的方向为南北方向．

21．已知关于x的一元二次方程x﹣4mx+3m＝0．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．

22．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥22AB，垂足为F．

（1）求证：四边形AECD是平行四边形；

（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．

23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．

24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．

（1）求证：∠BAD＝∠CAD；

（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．

25．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：

b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：

10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8

c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

甲城市

乙城市

平均数

10.8

11.0

中位数

m

11.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m的值；

（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；

（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．

26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax+bx（a＞0）上．

（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，2y3的大小，并说明理由．

27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．

（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；

（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．

28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．

（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 ；

（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；

（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直

接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．

参考答案

1. 【答案】B

2. 【答案】C

3. 【答案】A

4.【答案】D

5. 【答案】B

6. 【答案】C

7. 【答案】B

8. 【答案】A

9. 【答案】x7

10. 【答案】5xyxy

11. 【答案】x3

12. 【答案】2

13. 【答案】130°

14.【答案】AFAE（答案不唯一）

15. 【答案】＞

16. 【答案】 ①. 2∶3 ②.

17. 【答案】334

18. 【答案】2x4

19. 【答案】1

20. （1）如图所示：

1

2

（2）证明：在ABC中，BABC，D是CA的中点，

（填推理的依据）．

CADB（等腰三角形的三线合一）∵直线DB表示的方向为东西方向，

∴直线CA表示的方向为南北方向；

故答案为BC，等腰三角形的三线合一．

21. （1）证明：由题意得：a1,b4m,c3m，

∴b24ac16m2413m24m2，

∵m20，

∴4m20，

∴该方程总有两个实数根；

（2）解：设关于x的一元二次方程x24mx3m20的两实数根为x1,x2，则有：2x1x24m,x1x23m2，

∵x1x22，

∴x1x2x1x24x1x216m212m24，

解得：m1，

∵m0，

∴m1．

22. （1）证明：∵ACBCAD90，

∴AD∥CE，

∵AE//DC，

∴四边形AECD是平行四边形；

（2）解：由（1）可得四边形AECD是平行四边形，

∴CEAD，

∵EFAB，AE平分BAC，ACB90，

∴EFCE，

∴EF=CE=AD，

∵BE5,cosB224，

544，

5

∴BFBEcosB5

∴EFBE2BF23，

∴ADEF3．

23. 【答案】（1）y11x1；（2）m1

2224. （1）证明：∵AD是∴BDCD，

∴BADCAD；

O的直径，ADBC，

（2）解：由题意可得如图所示：

由（1）可得点E为BC的中点，

∵点O是BG的中点，

∴OE1CG,OE//CG，

2∴AOF∽CGF，

∴OAOF，

CGGF∵OE3，

∴CG6，

∵O的半径为5，

∴OAOG5，

∴5OF，

6GF525OG．

1111∴OF

25.【答案】（1）m10.1；（2）p1p2，理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．

26. （1）当m3,n15时，则有点1,3和点3,15，代入二次函数yax2bxa0得：

ab3a1，解得：，

b29a3b15∴抛物线解析式为yx2x，

∴抛物线的对称轴为x2b1；

2a2（2）由题意得：抛物线yaxbxa0始终过定点0,0，则由mn0可得：

①当m0,n0时，由抛物线yaxbxa0始终过定点0,0可得此时的抛物2线开口向下，即a0，与a0矛盾；

②当m0,n0时，

∵抛物线yaxbxa0始终过定点0,0，

2∴此时抛物线的对称轴的范围为13x，

22∵点1,y1,2,y2,4,y3在该抛物线上，

∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为351357x1,2x,4x，

222222∵a0，开口向上，

∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，

∴y2y1y3．

27. （1）证明：∵BACEAD，

∴BAEBADBADCAD，

∴BAECAD，

由旋转的性质可得AEAD，

∵ABAC，

∴ABE≌ACDSAS，

∴BECD，

∵点M为BC的中点，

∴BMCM，

∵CMMDCDMDBE，

∴BMBEMD；

（2）证明：DNEN，理由如下：

过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：

∴EQBHQB90，

由（1）可得△ABE≌△ACD，

∴ABEACD，BECD，

∵ABAC，

∴ABCCABE，

∵BQBQ，

∴BQE≌BQHASA，

∴BHBECD，

∵MBMC，

∴HMDM，

∵MNAB，

∴MN//EH，

∴DMN∽DHE，

∴DMDN1，

DHDE2

∴DNEN．

28. 【答案】（1）B2C2；（2）t3；（3）当OAmin1时，此时BC时，此时BC当OAmax23；6．

2


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