2024年3月17日发(作者：句容小升初考试数学试卷)

2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁

U

（A⋃

B）＝（　　）

A．{x|x＝3k，k∈Z}

C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}

【答案】A

【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，

∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，

∴∁

U

（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．

故选：A．

2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（　　）

A．﹣1

【答案】C

【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，

所以2a+（1﹣a

2

）i＝2，

即

故选：C．

3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（　　）

，解得a＝1．

B．0C．1D．2

B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}

D．∅

A．21

【答案】B

B．34C．55D．89

【解答】解：根据程序框图列表如下：

A

B

n

故输出的B＝34．

故选：B．

4．（5分）向量||＝||＝1，||＝

A．

【答案】D

【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝

所以＝++2•，

，且+＝，所以﹣＝+，

B．

，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（　　）

C．D．

1

2

1

3

5

2

8

13

3

21

34

4

即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，

解得cos＜，＞＝0，

所以⊥，

又﹣＝2+，﹣＝+2，

所以（﹣）（﹣）＝（2+）•（+2）＝2•

|﹣|＝|﹣|＝

所以cos〈﹣，﹣〉＝

故选：D．

5．（5分）已知正项等比数列{a

n

}中，a

1

＝1，S

n

为{a

n

}前n项和，S

5

＝5S

3

﹣4，则S

4

＝（　　）

A．7

【答案】C

【解答】解：等比数列{a

n

}中，设公比为q，

a

1

＝1，S

n

为{a

n

}前n项和，S

5

＝5S

3

﹣4，显然q≠1，

（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），

可得＝5•﹣4，

B．9C．15D．30

＝

＝

＝

+2

，

＝．

+5•＝2+2+0＝4，

解得q

2

＝4，即q＝2，

S

4

＝

故选：C．

6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐

部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（　　）

A．0.8

【答案】A

【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为

事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，

则P（A）＝＝，

B．0.4C．0.2D．0.1

＝＝15．

由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由

50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，

则P（B|A）＝＝＝0.8．

故选：A．

7．（5分）“sin

2

α+sin

2

β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（　　）

A．充分条件但不是必要条件

B．必要条件但不是充分条件

C．充要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【解答】解：sin

2

α+sin

2

β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，

所以“sin

2

α+sin

2

β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，

故选：B．

8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆

（x﹣2）

2

+（y﹣3）

2

＝1交于A，B两点，则|AB|＝（　　）

A．

【答案】D

【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，

B．C．D．

可得c＝a，所以b＝2a，

所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，

一条渐近线与圆（x﹣2）

2

+（y﹣3）

2

＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，

圆的圆心到直线y＝2x的距离为：

所以|AB|＝2

故选：D．

9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参

加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（　　）

＝．

＝，

A．120

【答案】B

B．60C．40D．30

【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，

然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有

＝12种选法，

根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．

故选：B．

10．（5分）已知f（x）为函数

与

A．1

【答案】C

【解答】解：把函数

左平移个单位可得

）＝﹣sin2x的图象，

向

的交点个数为（　　）

B．2C．3D．4

向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）

函数f（x）＝cos（2x+

而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，

，

），

）、且直线还经过点（

（﹣

0＜

﹣1＜﹣

，﹣

＜1，

＜0，如图，

的交点个数为3．故y＝f（x）与

故选：C．

11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝

45°，则△PBC的面积为（　　）

A．

【答案】C

【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，

又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，

∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，

又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝

∴在△PBD中，根据余弦定理可得：

＝，

，

B．C．D．

又BC＝4，PC＝3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：

cos∠PCB＝

∴△PBC的面积为

＝，∴sin∠PCB＝

＝

，

＝．

解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，

设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），

则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，

易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，

则根据最小角定理（三余弦定理）可得：

，

∴或，

∴

∴

∴tanα＝或tanα＝

∴tanα＝，∴cosα＝

∴

或

或

，

，又α∈（0，

，sinα＝

，

），

，

，

，∴cosθ＝

再根据最小角定理可得：

cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝

∴sin∠PCB＝

∴△PBC的面积为

故选：C．

12．（5分）已知椭圆＝1，F

1

，F

2

为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠

，又BC＝4，PC＝3，

＝＝．

＝，

F

1

PF

2

＝，则|PO|＝（　　）

A．

【答案】B

【解答】解：椭圆

O为原点，P为椭圆上一点，

设|PF

1

|＝m，|PF

2

|＝n，不妨m＞n，

可得m+n＝6，4c

2

＝m

2

+n

2

﹣2mncos∠F

1

PF

2

，即12＝m

2

+n

2

﹣mn，可得mn＝

＝21，

＝（

可得|PO|

2

＝

＝（m

2

+n

2

+2mncos∠F

1

PF

2

）

＝（m

2

+n

2

+mn）

＝（21+

可得|PO|＝

故选：B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若y＝（x﹣1）

2

+ax+sin（x+

【答案】2．

【解答】解：根据题意，设f（x）＝（x﹣1）

2

+ax+sin（x+

其定义域为R，

若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝x

2

+2x﹣ax+1+cosx＝x

2

﹣2x+ax+1+cosx＝f（x），

变形可得（a﹣2）x＝0，必有a＝2．

故答案为：2．

）＝x

2

﹣2x+ax+1+cosx，

）为偶函数，则a＝　2　．

．

）＝．

），

，m

2

+n

2

，F

1

，F

2

为两个焦点，c＝

，

，

B．C．D．

14．（5分）设x，y满足约束条件，设z＝3x+2y，则z的最大值为 　15　．

【答案】15．

【解答】解：由题意，作出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图中阴

影部分所示，

目标函数z＝3x+2y，可化为直线y＝

由

即A（3，3），

当直线y＝

，可得，

，

过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，

代入可得z

max

＝3×3+2×3＝15．

故答案为：15．

15．（5分）在正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中，E，F分别为CD，A

1

B

1

的中点，则以EF为直

径的球面与正方体每条棱的交点总数为 　12　．

【答案】12．

【解答】解：在正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中，E，F分别为CD，A

1

B

1

的中点，

设正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中棱长为2，EF中点为O，

取AB，BB

1

中点G，M，侧面BB

1

C

1

C的中心为N，

连接FG，EG，OM，ON，MN，如图，

由题意得O为球心，在正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中，EF＝

∴R＝，

＝，

＝，

则球心O到BB

1

的距离为OM＝

∴球O与棱BB

1

相切，球面与棱BB

1

只有一个交点，

同理，根据正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，

∴以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．

故答案为：12．

16．（5分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝

的平分线，则AD＝　2　．

【答案】2．

【解答】解：如图，∵在△ABC中，AB＝2，

∴由正弦定理可得，

，

，D为BC上一点，AD为∠BAC

∴sin∠ACB＝＝＝，又∠BAC＝60°，

∴∠ACB＝45°，∴∠ABC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，

又AD为∠BAC的平分线，且∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝30°，又∠ABC＝75°，∴∠ADB＝75°，

∴AD＝AB＝2．

故答案为：2．


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