高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析

2024年3月9日发(作者：福州中考2017数学试卷)

高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析

1. 直线l过点P(1,3)，且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是( )

A．3x＋y－6＝0

B．x＋3y－10＝0

C．3x－y＝0

D．x－3y＋8＝0

【答案】A

【解析】设y＝kx＋b，由题意得k＜0，b＞0，且【考点】点斜式方程及三角形的面积.

2. 已知，且满足，那么A．解得

的最小值为（）

C．

B．

D．

【答案】B

【解析】由题意得，当且仅当，即时等号的成立的，所以的最小值为，故选B．

【考点】基本不等式的应用．

3. 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小船沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

【答案】（1）当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30

（2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

【解析】（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则由余弦定理得次函数的性质求得最值；（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为后是距离最短，则试题解析：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，

则故当即小艇以（2）时，

海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小

，解得，再由二海里/小时，然，再解得相应角．

设小艇与轮船在处相遇.

则，

故∵∴又故时，，

，

，即，解得

时，取得最小值，且最小值等于

此时，在中，有，

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时

【考点】函数模型的选择与应用．

4. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）

A．55

B．65

C．78

D．89

【答案】A

【解析】第一次执行循环体时，，满足判断框的条件，第二次执行循环体时，

，满足判断框的条件，第三次执行循环体时，，满足判断框的条件，第四次执行循环体时，，满足判断框的条件，第五次执行循环体时，，满足判断框的条件，第六次执行循环体时，，满足判断框的条件，第七次执行循环体时，，

，满足判断框的条件，第八次执行循环体时，，不满足判断框的条件，退出循环体，输出，故答案为A.

【考点】程序框图的应用.

5. 设向量，满足及.

（1）求，夹角的大小；

（2）求的值.

. 【答案】(1) .(2)|3a＋b|＝【解析】(1)根据(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7,可得a·b＝,再根据数量积的定义可求出cos θ＝,进而得到夹角.

(2)先求(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，从而得到|3a＋b|＝.

222(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)＝7,9|a|＋4|b|－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，

∴a·b＝，∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝

又θ∈[0，π]，∴a，b所成的角为.

(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，

∴|3a＋b|＝..

【考点】考查了向量的数量积，以及利用数量积求模，夹角等知识.

点评：掌握数量积的定义：求模可利用:

6. 已知向量来求解.

，若与平行，则实数= ．

,

【答案】

【解析】由题意得：，解得：．

【考点】1．向量平行；

7. 正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_________【答案】12π．

【解析】设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，

依题意知 4R2=3a2=12,即R2=3，

∴S球=4πR2=4π•3=\"12π\" （cm2）．故答案为：12π．

【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．

8. （本小题满分15分）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，。

，为线段的中点。

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的大小．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．

试题解析：（I）记与的交点为，连接，∵、分别是

的中点，是矩形

∴四边形是平行四边形，∴∥，∵平面

平面，∴∥平面6分

（Ⅱ）在平面中过作于，连接，

∵

∴平面，∴是在平面上的射影，

由三垂线定理点得

∴是二面角的平面角，

在中，，

∴

二面角的大小为8分

另解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直

角坐标系，则

，设与，，，，，交于点，则，

∥面；

，面的一个法向量为，

（I）易得：则∥，由面，故（Ⅱ）取面的一个法向量为则，

故二面角的大小为．

【考点】证明线面平行及求二面角

9. 过点的直线将圆截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线的方程为 。

【答案】

【解析】易求圆的圆心为,当劣弧最短时，直线与垂直，而,所以直线的斜率为1，由直线方程的点斜式可得直线的方程为.

【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系和两直线垂直的斜率之间的关系以及直线方程的求解，考查学生数形结合的能力和运算求解能力.

点评：解决此小题的关键在于看出直线与垂直.

10. 已知向量（I）函数（II）函数【答案】（I）的单调递增区间.

最小值0，此时（II）

，再结合二倍角的余弦公式和辅助角，记函数的最小值及取得最小值时的集合；

.求：

【解析】（1）根据平面向量的坐标运算得公式化简，得到，最后根据正弦函数最值的结论，可得f（x）的最小值及取最小值时x的集合；（2）根据（1）化简得的表达式，列出不等式（k∈Z），解此不等式再将它变成区间，即可得到函数f （x）的单调递增区间

试题解析：（Ⅰ）由题意：所以，因此，

当此时（Ⅱ）由题意：即于是,

的单调递增区间是

，即，

最小值=

时,

取得最小值.

，

【考点】平面向量的综合题；复合三角函数的单调性

11. 以下列函数中，最小值为的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由不等式性质可知，当且仅当即时等号成立，取得最小值2

【考点】不等式性质

12. 求圆心在直线上，与轴相切，且被直线【答案】或

【解析】设圆心，由题意可得半径截得的弦长为的圆的方程。

，求出圆心到直线的距离d，再利用垂径定理，半径为，依题意得：且，（2分）

，解得的值，从而得到圆心坐标和半径，由此求出圆的方程．

试题解析：解：设所求圆的圆心为圆心到直线的距离，（4分）

由“，，半弦长”构成直角三角形，得，（6分）

解得：，（7分）

当时，圆心为，半径为，所求圆的方程为当时，圆心为，半径为，

或所求圆的方程为综上所述，所求圆的方程为【考点】求圆的方程

13. 已知各项均为正数的数列（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切的正整数都有【答案】（1）【解析】（1）将列得到；（2）代入方程；（3）详见解析.

得到的情况下，由求出数列

；（11分）

；

．（12分）

的前 项和为，且满足，

，结合题中条件（数的表达式，并验证的各项均为正数，得到的表达式，然后在）求出的值，从而得到的值；（2）由十字相乘法结合的通项公式；（3）解法一是利用放缩法得到是否满足该表达式，从而得到数列

，于是得到，最后利用裂项求和法证明题中的不等式；解法二是保持不放缩，在

的条件下放缩为

，最后在和时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式.

（1）令得：，即，，，即；

（2）由，所以当又，从而时，，时，；

，，，得，

，

，，

（3）解法一：当

.

证法二：当当则

.

【考点】本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题.

14. 将函数的图像向左平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

时，时，成立，

，

【答案】B

【解析】由题意得，，令，可得函数的图象对对称轴方程我，取是轴右侧且距离轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移个长度单位后得到的图象关于轴对称，的最小值为，故选B．

【考点】两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．

【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，求的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数,可取出函数的对称轴，确定距离最近的点，即可得到结论．

15. 已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )．

A．15

B．30

C．31

D．64

【答案】A

【解析】a7＋a9＝16，所以

16. 一个频数分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，若样本中数据在为0.8，则估计样本在内的数据个数共为（）.

上的频率

A．15

B．16

C．17

D．19

【答案】A

【解析】到之间有个,所以到之间一共有个,故内有个.

【考点】频率分布表．

17. 从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，随机地取出一张卡片，每次取一张卡片并记下号码，然后再放回盒子，这样任取100次．统计结果如下：

卡片号码

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8

5

7

6

13

18

10

11

9

取到的次数

13

则取到的号码为奇数的频率是( )

A．0.53 B．0.5

C．0.47 D．0.37

【答案】A

【解析】号码为奇数的，共抽到13＋5＋6＋18＋11＝53次．∴取到的号码为奇数的频率为53÷100＝0.53.故选A.

18. 右面的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由算法的流程图分析可知空白的判断框应填入。故A正确。

【考点】算法。

19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

【答案】（1）f(x)＝20×【解析】（1）由C（x）＝＋6x＝＋6x(0≤x≤10)（2）5 cm厚，70万元

，可先求出k的值（C（0）＝8），然后根据题意；f（x）为隔（20年的能源热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，即6x（隔热层建造费用）+20×消耗费）；

（2）由（1）已知函数解析式，可转化为求函数的最值，可运用导数可求出最值。（注意定义域）

试题解析：（1）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝，

再由C（0）＝8，得k＝40，因此C（x）＝，而建造费用为C1（x）＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×＋6x＝＋6x（0≤x≤10）．

（2）f ′（x）＝6－令f ′（x）＝0，即，

＝6，解得x＝5，x＝－（舍去）．

＝70.

当00，

故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（5）＝6×5＋当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．

【考点】（1）数学阅读及函数建模能力。 （2）运用导数求函数的最值。

20. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面,且为正三角形，且边长为，，所以，所以平面，，与均，故该三棱锥的表面各为

，故选B．

【考点】1．三视图；2．多面体的表面积与体积．

21. 如图，三棱柱中，，，．

（1）证明：；

（2）若，，求三棱柱的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）取的中点O连接、、，由得，由是等边三角形得，故平面，于是；（2）根据等边三角形性质求出，，由勾股定理逆定理得出，求出，于是三棱柱的体积，故可求得三棱锥的体积.

试题解析：(1)取的中点O,连接、、,因为，所以,由于,,故为等边三角形,所以.

因为,所以平面.又平面,

故.

(2)由题设知 ：与都是边长为2的等边三角形，

∵是边长为2的等边三角形，所以，

又 ，则又∵且又的面积所以三棱锥

22. 已知四棱锥，故，所以，故三棱柱的体积为1.

平面，为棱柱的体积的高，

，

的顶点在底面的射影恰好是底面菱形的两对角线的交点，若，，则长度的取值范围为_____.

【答案】(，5)

【解析】由题意知PO⊥平面ABCD，AB＝3，PB＝4，设PO＝h，OB＝x，则PA2＝h2＋9－x2＝16－x2－x2＋9＝25－2x2，因为0

23. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输

入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）

A．C．，，

B．D．，，

【答案】B

【解析】分析程序框图可知，为50名学生中成绩在的人数，而分析茎叶图即可知【考点】1.统计的运用；2.程序框图．

24. 为得到函数A．右移个单位长度

C．左移个单位长度

，的人数，为50名学生中成绩在，故选B.

的图像可以将函数的图像（ ）

B．右移个单位长度

D．左移个单位长度

【答案】B

【解析】，所以由得向右平移个单位长度，选B.

【考点】三角函数图像变换

【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言.函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ（k∈Z）；函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是偶函数⇔；函数y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔（ωx＋φ），x∈R是偶函数⇔φ＝kπ（k∈Z）；

25. 设x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值是（ ）

B．1 +

C．2－2

A．

；函数y＝AcosD．2－

【答案】C

【解析】已知，解得【考点】基本不等式的应用．

【方法点晴】本题主要考查了基本不等式的应用问题，其中解答中根据题设条件构造基本不等式的条件，利用基本基本不等式是解得的关键，解答中有一定的技巧性，但覆盖知识较少，试题比，即，所以，利用基本不等式：的最小值为，故选C．

，所以

较基础，属于基础题，着重考查了学生构造思想和转化思想，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力．

26. 如图，在矩形中，点是边上的中点，点在边上．

（1）若点是上靠近的三等分点，设（2）若，，当时，求【答案】(1) （2）【解析】（1），又∵，则

,∵,，以是，求的长．

的值；

边的中点,点是,∴， ，∴为基底，上靠近的三等分点,∴，；（2）设 ，，解得．

试题解析：（1）.矩形．

(2)设，则，∵ ，

又,故，∴的长为．

，求.

.

， ,∵中,是,边的中点,点是,,故的长为上靠近的三等分点,∴，∴，，，解得

27. 已知平面内三个向量:（Ⅰ）若,求实数的值；

（Ⅱ）设,且满足,【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）根据题意，由向量的坐标运算分别求出向量与对应的坐标，再根据向量的共线定理，从而可求出实数的值；（Ⅱ）由题设，可根据向量加、减、模的运算法则，及两个向量垂直的坐标表示，建立方程组，再对方程组进行求解，即可求向量.

试题解析：（Ⅰ）因为，，

又，

所以（Ⅱ）因为所以故或

，

.

【考点】平面向量的垂直、平行及其坐标运算.

28. 某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是( )

A．7，11，18

B．6，12，18

C．6，13，17

D．7，14，21

【答案】D

【解析】由题意，老年人、中年人、青年人比例为1：2：3．

由分层抽样的规则知，老年人应抽取的人数为×42=7人，

中年人应抽取的人数为×42=14人，

青年人应抽取的人数为×42=21人

【考点】分层抽样方法

29. 定义一种运算最大值是（ ）

A．

B．

C．

D．1

，令，且，则函数的

【答案】C

【解析】，，答案选C．

【考点】1．三角函数的性质；2．同角三角函数的基本关系；3．二次函数的性质

30. 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总过第一象限；

(2)为了使直线l不过第二象限，求a得取值范围．

【答案】(1)见解析 (2) a≥3

【解析】(1)证明：l的方程可化为y－＝a(x－)，由点斜式方程可知直线l斜

率为a，且过定点A(，)，由于点A在第一象限，所以直线一定过第一象限．

(2)如图，直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间，kAO＝＝3，直线AP的斜率不存，所以得，，因此，因此在，故a≥3.

【考点】直线的特征.

31. 如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是（ ）

【答案】A

【解析】根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，故选A.

【考点】空间几何体的直观图.

32. 给出下列三个命题：

①若，则；

②若，则四边形是正方形；

③若（，，），则．

其中正确的命题为（ ）

A．①

B．①②

C．①③

D．②③

【答案】C

【解析】两个向量相等，则它们的模相等，①正确. 两个向量相等，则它们对应的线段平行且相等，但不一定是正方形，故①错误.根据数乘向量的概念知③正确.

【考点】空间向量的基本概念.

33. 用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，C．2

k推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）

kkB．2﹣1

A．2﹣1

D．2+1

k

【答案】C

【解析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为的项数即可．

解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为由n=k，末项为到n=k+1，末项为=；

，∴应增加的项数为2k．

，然后判断n=k+1时增加故选C．

点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．

34. （2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是 ．

【答案】8

【解析】由x，y∈R*且+=1，可得解：∵x，y∈R*且+=1，∴∴xy=y==（y＞2），代入并利用基本不等式即可得出．

（y＞2）

+4=8，当且仅当y=4（x=2）时取等号．

∴xy的最小值是8．

故答案为：8．

点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

35. （2008•佛山二模）（坐标系与参数方程）球坐标对应的点的直角坐标是 ，

对应点的柱坐标是 ．

【答案】解：∵点的球坐标，，

．

【解析】利用球坐标和柱坐标的计算公式即可得出．

∴，

计算球坐标对应的点的直角坐标是．

又由得，即对应点的柱坐标是 ．

故答案为：，．

点评：本题主要考查了柱坐标系与球坐标系．熟练掌握球坐标和柱坐标的计算公式是解题的关键．

36. 选修4﹣2：矩阵与变换

给定矩阵A=，B=．

（1）求A的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2，

（2）求A4B．

【答案】（1）当λ1=2时，由当λ2=3时，由（2）

，将其代入公式|λE﹣A|=0，即可求出特征值λ1，λ2，=3=2，得A属于特征值2的特征向量α1=

，得A属于特征值3的特征向量α2=【解析】（1）由题意已知矩阵A=然后解方程求出对应特征向量α1，α2；

（2）将矩阵B用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A4B进行计算；

解：（1）设A的一个特征值为λ，

∵|λE﹣A|=0，

∴由题意知：=0

∴（λ﹣2）（λ﹣3）=0，

λ1=2，λ2=3

当λ1=2时，由当λ2=3时，由（2）由于B==16α1+81α2==++==2=3，得A属于特征值2的特征向量α1=，得A属于特征值3的特征向量α2=

=α1+α2

故A4B=A4（α1+α2）=（24α1）+（34α2）

点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力．

37. 已知二阶矩阵M满足：【答案】

，求M2．

【解析】设出要用的矩阵，根据所给的条件，得到关于所设的矩阵中字母的关系式．写出矩阵M，

最后把矩阵进行平方变换，得到结果．

解：设由再由即，所以，

得：得，，（4分）

．（10分）

，即，，

（2分）

，（6分）点评：本题考查矩阵的变换，是一个基础题，这种题目解决的关键是看清题目利用方程思想解出要用的矩阵，再把矩阵进行符合题目条件的变换．

38. 已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为=，矩阵A的逆矩阵A1对应的变换将点﹣（3，1）变为点（1，1）．

（1）求实数a，k的值；

（2）求直线x+2y+1=0在矩阵A的对应变换下得到的图形方程．

【答案】（1）a=2，k=1．（2）x+3y+2=0．

﹣【解析】（1）利用特征值与特征向量的定义，可求a；利用A的逆矩阵A1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1），可求k的值．

（2）利用矩阵变换，确定坐标之间的关系，即可得到在A对应的变换作用下的新曲线的方程．

解：设特征向量为=所以a=2．

因为A﹣1，对应的特征值为λ，则=λ，即 因为k≠0，=，所以A=，所以2+k=3，解得k=1．

综上，a=2，k=1．

（2）设直线x+2y+1=0上任一点P（x，y）在A对应的变换作用下对应点P\'（x\'，y\'），

∴∴=，

，

代入x+2y+1=0，化简可得x′+3y′+2=0，

∴得到的图形方程为x+3y+2=0．

点评：本题考查矩阵的乘法，矩阵变换，以及特征值与特征向量的计算，确定坐标之间的关系是关键．

39. 已知矩阵M=的两个特征值分别为λ1=﹣1和λ2=4．

（1）求实数a，b的值；

（2）求直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程．

【答案】（1）；（2）5x﹣7y+12=0．

【解析】（1）先写出矩阵A的特征多项式，再结合由于λ1=﹣1和λ2=4是此函数的零点即可求得a，b．

（2）先直线x﹣2y﹣3=0上任一点（x，y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′），根据矩阵变换得出它们之间的关系，从而求直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．

解：（1）矩阵A的特征多项式为：f（λ）=即f（λ）=λ2﹣（b+2）λ+2b﹣2a，

由于λ1=﹣1和λ2=4是此函数的零点，

∴⇒

，

（2）由上知，M=，

设直线x﹣2y﹣3=0上任一点（x，y）

在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′），

由=得到：，

代入x﹣2y﹣3=0化简得到5x′﹣7y′+12=0．

直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程5x﹣7y+12=0．

点评：本题考查矩阵的特征多项式和特征值之间的关系，考查矩阵的变换的运用，属于基础题．

40. 定义运算A．1﹣2i

，则满足B．﹣1﹣i

的复数z为（ ）

C．﹣1+i

D．1﹣i

【答案】D

【解析】直接利用新定义，求出z的表达式，通过复数的基本运算，求出复数z即可．

解：因为所以所以z=，

=zi+z=2．

==1﹣i．

故选D．

点评：本题考查复数的基本运算，行列式的应用，考查计算能力．

41. 下列四个算式：

①②；

；

③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；

④

其中运算结果与行列式A．1个

的运算结果相同的算式有（ ）

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】C

【解析】根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即知①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即得②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；对于④，按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同．

解：根据余子式的定义可知，在行列式的和，

中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式

即为．故①正确；

同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，

即为．故②正确；

对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；故正确；

对于④

故选C．

点评：本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义，属于基础题．

42. 行列式的值为 ．

【答案】3

【解析】考查行列式运算法则，按照行列式的运算法则，直接展开化简计算即可．

解：=1×3﹣0×2=3．

故答案为：3

点评：本题考查二阶行列式的定义，运算法则，是基础题．

43. 矩阵A．的逆矩阵是（ ）

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】先求ad﹣bc=1，再利用逆矩阵公式求解即可．

解：由题意，ad﹣bc=1

∴矩阵的逆矩阵是

故选A．

点评：本题以矩阵为依托，考查矩阵的逆矩阵，关键是利用公式正确求解．

44. 已知矩阵A的逆矩阵A1=A．﹣1

B．4

﹣，则矩阵A的特征值为（ ）

C．﹣1，4

D．﹣1，3

【答案】C

﹣【解析】利用AA1=E，建立方程组，即可求矩阵A；先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值．

解：设A=，则由AA1=E得﹣•=，

即有解得，即A=，

则矩阵A的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣6=λ2﹣3λ﹣4，

令f（λ）=0，则λ=﹣1或4．

故矩阵A的特征值为﹣1，4．

故选C．

点评：本题考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵特征值的计算等基础知识，属于基础题．

45. 已知矩阵A=，求A2﹣1的值．

【答案】﹣3．

【解析】利用矩阵的乘法公式，即可得出结论．

解：∵A=∴A2﹣1=，

﹣1=﹣2﹣1=﹣3．

点评：本题考查矩阵的乘法公式，考查学生的计算能力，比较基础．

46. 在直角坐标系下，若矩阵A．对应的变换将点P（2，﹣1）变到点p′（1，﹣2），则（ ）

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根据矩阵可．

解：则解得=

对应的变换将点P（2，﹣1）变到点p′（1，﹣2），建立关系式，解之即故选C．

点评：本题主要考查了矩阵的乘法，以及二元一次方程组的求解，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．

47. （2014•上海模拟）已知线性方程组的增广矩阵为a= ．

【答案】1

【解析】首先根据线性方程组的增广矩阵为入方程，求出实数a的值即可．

解：因为线性方程组的增广矩阵为，

，列出线性方程组，然后将方程组的解代，若该线性方程组解为，则实数

所以线性方程组为：；

把x=4，y=2代入方程组，

解得a=1．

故答案为：1．

点评：本题主要考查线性方程组增广矩阵的含义，是大纲新增的高等数学部分的内容，属于基础题．

48. （2011•宁德模拟）将双曲线x2﹣y2=2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y=．据此类推可求得双曲线A．2的焦距为（ ）

B．2

C．4

D．4

【答案】D

【解析】由于=，双曲线的图象可由进行变换而得，从而得到双曲线的图象与双曲线的图象全等，它们的焦距相同，又根据题意得：将双曲线x2﹣y2=6绕．

的图象可由进行形状不变的变换而得，

原点逆时针旋转45°后可得到双曲线解：由于∴双曲线=，双曲线故只须求出双曲线x2﹣y2=6的焦距即可．

的图象与双曲线的图象全等，它们的焦距相同，

根据题意：“将双曲线x2﹣y2=2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y=．“

类比可得：将双曲线x2﹣y2=6绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线．

而双曲线x2﹣y2=6的a=b=，c=2，

∴焦距为2c=4，

故选D．

点评：本小题主要考查旋转变换、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．属于基础题．

49. 底面直径为10的圆柱被与底面成60°的平面所截，截口是一个椭圆，该椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 ．

【答案】20，10，

【解析】根据平面与圆柱面的截线及椭圆的性质，可得圆柱的底面直径为10，截面与底面成60°，根据截面所得椭圆长轴、短轴与圆柱直径的关系，我们易求出椭圆的长轴长和短轴长，进而得到椭圆的离心率．

解：∵设圆柱的底面直径为10，截面与底面成60°

∴椭圆的短轴长2b=10，即b=5，

椭圆的长轴长2a=根据：c==5则椭圆的离心率e===20，即a=10，

，

，

故答案为：20，10，

点评：若与底面夹角为θ平面α截底面直径为d圆柱，则得到的截面必要椭圆，且椭圆的短轴长等于圆柱的底面直径，长轴长等于

+1）R处有一点光源O，

50. 一只半径为R的球放在桌面上，桌面上一点A的正上方相距（OA与球相切，则球在桌面上的投影——椭圆的离心率为 ．

【答案】

【解析】根据圆曲线的第一定义，作出过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面，可得直角三角形AOA′，结合已知求出椭圆的a值，再根据椭圆的几何性质，求出c，即可求出椭圆的离心率．

解：如图是过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面，

ED两点为过点O引圆D的两条切线与圆D的切点，

∵OA=（+1）R，

故在Rt△OBE中，

OE=R，BE=R，

则tan∠EOB=，

即∠EOB=30°，

故∠EOB=60°，即∠AOA′=60°，

故AA′=2a=OA=（3+）R，即a=，

根据圆锥曲线的定义，

可得球与长轴AA′的切点是椭圆的焦点F，

根据椭圆的几何性质，AF是焦点到长轴顶点的距离AF=a﹣c=R，

∴c==a，

， 所求椭圆的离心率e==故答案为：

点评：本题以空间的圆锥为载体，考查了圆锥曲线的形成过程，同时考查了椭圆的基本量，属于中档题．深刻理解空间位置关系和椭圆的定义与性质，是解决本题的关键．

51. 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（0°＜θ＜90°）的平面所截，截面是一个椭圆，

当θ为30°时，这个椭圆的离心率为 ．

【答案】

【解析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可求出题意的离心率．

解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，

则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：∵a2=b2+c2，∴c=，

，

∴椭圆的离心率为：e==．

故答案为：．

点评：本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量与双曲线的几何量（a，b，c）关系的正确应用，考查计算能力．

52. 给出下列四个命题：

①设x1，x2∈R，则x1＞1且x2＞1的充要条件是x1+x2＞2且x1x2＞1；

②任意的锐角三角形ABC中，有sinA＞cosB成立；

③平面上n个圆最多将平面分成2n2﹣4n+4个部分；

④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．

其中真命题的序号是 （要求写出所有真命题的序号）．

【答案】②④

【解析】由实数的性质及不等式的性质，我们易判断①的对错；根据诱导公式及正弦函数的单调性及锐角三角形的定义，我们可判断②的真假；利用递推法我们易求出平面上n个圆将平面分成的最多份数，进而得到③的正误；利用正投影的定义，我们易判断④的真假，进而得到答案．

解：若x1＞1且x2＞1，则x1+x2＞2且x1x2＞1成立，但x1+x2＞2且x1x2＞1时，x1＞1且x2＞1不一定成立，故x1＞1且x2＞1的必要不充分条件是x1+x2＞2且x1x2＞1，故①错误；

在锐角三角形中A+B＞，∴A＞﹣B，故sinA＞sin（﹣B）=cosB，故②正确；

平面上n个圆最多将平面分成n2﹣n+2部分，故③错误；

间中直角在一个平面上的正投影可以是锐角，也可能是直角，也可以是钝角，故④正确；

故答案为：②④

点评：本题考查的知识点是平行投影、充要条件的判断、正弦函数的单调性、数列的递推公式，熟练掌握这些基本知识点是解答本题的关键．

53. （2014•黄冈模拟）已在点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，则∠ADF= ．

【答案】45°

【解析】因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，则∠B=∠EAC．又CD平分∠ACB，则∠ACD=∠BCD，两式相加，∠B+∠BCD=∠EAC+∠ACD，根据三角形外角定理，∠ADF=∠AFD，又∠BAE=90°，，△ADF是等腰直角三角形，所以∠ADF=∠AFD=45°．

解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，则∠B=∠EAC．

又CD平分∠ACB，则∠ACD=∠BCD．

所以∠B+∠BCD=∠EAC+∠ACD．

根据三角形外角定理，∠ADF=∠AFD，

因为BE是圆O的直径，则∠BAE=90°，△ADF是等腰直角三角形，

所以∠ADF=∠AFD=45°．

故答案为：45°

点评：本题考查有关圆的角的计算．根据图形寻找角的关系，合理进行联系与转化是此类题目的关键．

54. 某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与

成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．

（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．

（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．

【答案】（1）y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．

（2）售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．

【解析】（1）根据题中条件：“若已知与成正比”可设，再依据售价为10元时，年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式．

（2）利用导数研究函数的最值，先求出y的导数，根据y′＞0求得的区间是单调增区间，y′＜0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可．

解：（1）设∴∴，

，解得k=2．

=﹣2x2+21x+18．

∵售价为10元时，年销量为28万件；

∴y=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．

（2）y\'=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9）

令y\'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9

显然，当x∈（6，9）时，y\'＞0当x∈（9，+∞）时，y\'＜0

∴函数y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9）上是关于x的增函数；

在（9，+∞）上是关于x的减函数．

∴当x=9时，y取最大值，且ymax=135．

∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．

点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．属于基础题．

55. （5分）（2008•浙江）若双曲线曲线的离心率是（ ）

A．3

B．5

的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双C．

D．

【答案】D

【解析】先取双曲线的一条准线，然后根据题意列方程，整理即可．

解：依题意，不妨取双曲线的右准线则左焦点F1到右准线的距离为右焦点F2到右准线的距离为可得∴双曲线的离心率，即．

，

，

，

，

故选D．

点评：本题主要考查双曲线的性质及离心率定义．

56. （5分）已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是（ ）

A．2

B．0

C．4

D．3

【答案】D

【解析】由题意，z=x2+y2+3=x2+2x+3=（x+1）2+2，结合x≥0，即可求出z=x2+y2+3的最小值．

解：由题意，z=x2+y2+3=x2+2x+3=（x+1）2+2，

∵x≥0，

∴z=x2+y2+3的最小值是3，

故选：D

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，正确运用配方法是关键．

57. （5分）（2014•台州一模）双曲线x2﹣【答案】y=±x

【解析】由双曲线方程，得a=1，b=求渐近线方程为y=±x．

解：∵双曲线的方程为∴a2=1，b2=3，得a=1，b=∵双曲线的渐近线方程为y=

，

，结合双曲线﹣=1的渐近线方程为y=，可得所=1的两条渐近线方程为 ．

∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x

故答案为：y=±x

点评：本题给出双曲线的方程，求它的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

58. 复数A．i

等于（ ）

B．﹣i

C．1

D．﹣1

【答案】D

【解析】将复数分子、分母同乘i即可得到结果．

解：或者

故选D．

点评：本题考查复数代数形式的运算，能够简单求解的，一定灵活处理，是数学学习的基本要求；本题是基础题．

59. 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

【答案】见解析

【解析】本题是一个至少性问题，可以利用反证法证明，其步骤为：①否定命题的结论，即假设“任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点”成立→②根据函数的性质可以得到三个函数对应方程的△≤0均成立→③利用不等式的性质，同向不等式求和→④得到的式子与实数的性质相矛盾→⑤故假设不成立，原结论成立．

解：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点

（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），

由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b得△1=（2b）2﹣4ac≤0，

△2=（2c）2﹣4ab≤0，

△3=（2a）2﹣4bc≤0．

同向不等式求和得，

4b2+4c2+4a2﹣4ac﹣4ab﹣4bc≤0，

∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≤0，

∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，

∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，

因此假设不成立，从而命题得证．

点评：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面．反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．

60. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？

【答案】此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．

【解析】根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键．建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用．

解：设船速度为x（x＞0）时，燃料费用为Q元，则Q=kx3，

由6=k×103可得∴总费用，∴，

，

，令y′=0得x=20，

当x∈（0，20）时，y′＜0，此时函数单调递减，

当x∈（20，+∞）时，y′＞0，此时函数单调递增，

∴当x=20时，y取得最小值，

答：此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．

点评：本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法．建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题，体现了转化与化归的思想．

61. 函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切，则a= ．

【答案】

【解析】设切点为（x0，y0），由于y′=2ax，利用导数的几何意义可得k=2ax0=1，又由于点（x0，y0）在曲线与直线上，可得，即可解出a．

解：设切点为（x0，y0），∵y′=2ax，∴k=2ax0=1，①

又∵点（x0，y0）在曲线与直线上，

即，②

由①②得a=．

故答案为．

点评：熟练掌握导数的几何意义、切线的方程等是解题的关键．

62. 在角的集合{α|α=k•90°+45°，k∈Z}中：

（1）有几种终边不相同的角？

（2）有几个适合不等式﹣360°＜α＜360°的角？

（3）写出其中是第二象限角的一般表示法．

【答案】（1）四种，与45°、135°、225°、315°对应；（2）8个；（3）k•360°+135°，k∈Z．

【解析】（1）可以在直角坐标系中画一画 4个一循环；

（2）解不等式﹣360°＜k•90°+45°＜360°即可得出答案；

（3）根据（1）可知得出结果．

解：（1）在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，与45°、135°、225°、315°对应．

（2）由﹣360°＜k•90°+45°＜360°得﹣＜k＜．

又k∈Z，故k=﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．

∴在给定的角的集合中适合不等式﹣360°＜α＜360°的角共有8个．

（3）其中是第二象限角可表示成k•360°+135°，k∈Z．

点评：此题考查了象限角、轴线角，属于基础题、

63. 与原数据单位不一样的是（ ）

A．众数

B．平均数

C．标准差

D．方差

【答案】D

【解析】根据众数、平均数，标准差，方差的含义及其计算方法判断即可．

解：根据众数、平均数，标准差，方差的含义及其计算方法，可知方差原数据单位不一样

故选D

点评：此题考查的是中位数、众数、平均数的含义及其计算方法．属于基础题．

64. 写出按从小到大的顺序重新排列x，y，z三个数值的算法．

【答案】见解析

【解析】本题主要设计从小到大的顺序重新排列x，y，z的程序，利用赋值语句，采用顺序结构，弄清几个步骤即可写出答案．

解：算法如下：

（1）输入x，y，z三个数值；

（2）从三个数值中挑出最小者并换到x中；

（3）从y，z中挑出最小者并换到y中；

（4）输出排序的结果．

点评：本题主要考查了赋值语句，以及设计程序框图解决实际问题．属于基础题．

65. 若A={1，3，x}，B={x2，1}，A∪B={1，3，x}，则这样的x的不同值有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】C

【解析】根据题意得到x2可能等于3或x，所以求出x解的个数即为所求的x个数．

解：因为A∪B={1，3，x}，

所以x2=3或x

∴x=±，0，1（ 舍去）

共3个，所以x有3个．

故选C

点评：本小题主要考查并集及其运算、方程的解法等基础知识，解答时必须注意集合中元素的互异性．属于基础题．

66. 设集合M={（x，y）|x+y＜0，xy＞0}和P={（x，y）|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为 ．

【答案】M=P．

【解析】利用不等式的性质可得：x+y＜0，xy＞0，⇔x＜0，y＜0．进而判断出集合M与P的关系．

解：由x+y＜0，xy＞0，⇔x＜0，y＜0．

∴M=P．

故答案为M=P．

点评：熟练掌握不等式的性质和集合间的关系是解题的关键．

67. （几何证明选讲选做题）如图3，△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，如果AC=10，AE=4，那么BC= ．

【答案】15

【解析】先利用平行线的性质，再利用角平分线的性质，即可求得结论．

解：∵DE∥BC，AC=10，AE=4，

∴∴

∵CD平分∠ACB，

∵AC=10

∴BC=15

故答案为：15

点评：本题考查平行线的性质，角平分线的性质，正确运用比例式是解题的关键．

68. 如图是选修1-2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么应该放在图中( )

A．“①”处

B．“②”处

C．“③”处

D．“④”处

【答案】B

【解析】设计的这个结构图从整体上要反映数的结构，从左向右要反映的是要素之间的从属关系．在画结构图时，应根据具体需要确定复杂程度．简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点．同时，要注意结构图，通常按照从上到下、从左到右的方向顺序表示，各要素间的从属关系较多时，常用方向箭头示意．

解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，

演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，

故知识点“三段论”，应放在演绎推理后．（B）正确，

故选B．

点评：绘制结构图时，首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内，最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连．

69. 下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根据函数的三个要素是函数的定义域、函数的值域和函数的对应法则，得到函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则这四个概念之间的关系，函数包含这三个子概念．

解：根据函数的三个要素是函数的定义域、函数的值域和函数的对应法则

得到函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则

这四个概念之间的关系是函数包含这三个概念，

故选A．

点评：本题考查结构图，这种问题解答时一是要能够读懂题目中出现的图形，二是理解图形中所给出的名词之间的关系．

70. （2013•河南模拟）某中学采取分层抽样的方法从高二学生中按照性别抽出20名学生，其选报文科、理科的情况如下表所示，

男 女

文科 2 5

理科 10 3

则以下判断正确的是（ ）

参考公式和数据：k2=

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

p（k2≥k0）

0.15

2.07

2.71

3.84

5.02

6.64

7.88

10.83

k0

A.至少有97.5%的把握认为学生选报文理科与性别有关

B.至多有97.5%的把握认为学生选报文理科与性别有关

C.至少有95%的把握认为学生选报文理科号性别有关

D.至多有95%的把握认为学生选报文理科与性别有关

【答案】C

【解析】根据所给的数据，代入求观测值的公式，得到观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．

解：根据所给的数据代入求观测值的公式，得到

k2=≈4.432＞3.844，

∴至少有95%的把握认为学生选报文理科号性别有关，

故选：C．

点评：本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是理解临界值对应的概率的意义，能够看出两个变量之间的关系，属于基础题．

71. （2012•上饶一模）在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据（人数：）

物理成绩好

物理成绩不好

合计

数学成绩好

18

7

25

数学成绩不好

6

19

25

合计

24

26

50

数学成绩与物理成绩之间有把握有关？（ ）

A.90% B.95% C.97.5% D.99%

【答案】D

【解析】根据列联表可以求得K2的值，与临界值比较，即可得到结论．

解：提出假设H0：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系．

根据列联表可以求得K2=≈11.5＞6.635，

∴有0.01=1%的机会错误，

即有99%以上的把握认为“数学成绩与物理成绩之间有把握有关”

故选D．

点评：本题考查独立性检验的应用，这种问题一般运算量比较大，通常是为考查运算能力设计的，本题是一个基础题．

72. （2014•张掖一模）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（ i=1，2，…，8），其回归直线方程是=x+a且x1+x2+…+x8=6，y1+y2+…+y8=3，则实数a的值是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．

解：∵x1+x2+…+x8=6，y1+y2+…+y8=3，

∴==，=，

∴这组数据的样本中心点是（，），

把样本中心点代入回归直线方程解得a=，

故选B．

点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．属于基础题．

73. （2014•西宁模拟）对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：

得：=×+a，

x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，这条回归直线的方程为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分别计算平均数，可得样本中心点，利用回归直线方程的斜率为6.5，即可确定回归直线的方程．

解：由题意，∴回归直线的方程为=5，

=50

∵回归直线方程的斜率为6.5，∴a=50﹣6.5×5，∴a=17.5

故选C．

点评：本题考查回归直线的方程，考查学生的计算能力，利用回归直线恒过样本中心点是关键．

74. （2014•上饶二模）某学生在高三学年最近九次考试中的数学成绩加下表：

第x考试

1

2

3

4

5

6

7

8

9

119

130

106

131

123

110

124

116

数学成121

绩y（分）

设回归直线方程y=bx+a，则点（a，b）在直线x+5y﹣10=0的（ ）

A.左上方 B.左下方 C.右上方 D.右下方

【答案】C

【解析】根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，即可得出结论．

解：由题意，=45，=120，∴b=≈﹣2.4，

=286，=5372，

∴a=120﹣（﹣2.4）×45≈229

点（229，﹣2.4）代入直线x+5y﹣10=0，可得229﹣14﹣10＞0，

∴点（229，﹣2.4）在直线x+5y﹣10=0的右上方．

故选：C．

点评：本题主要考查了线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．

75. 山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）．

施化肥量x

15

20

25

30

35

40

45

330

345

365

405

445

450

455

棉花产量y

（1）画出散点图；

（2）判断是否具有相关关系．

【答案】（1）见解析；（2）具有线性相关关系

【解析】（1）根据已知中表中7块并排、形状大小相同的试验田上，施化肥量x和产量y所得的数据，描点后可得散点图；

（2）根据（1）中散点图中的点大致分布在一个条形区域内（一条直线附近）可得两个变量具有相关关系．

解：（1）根据已知表格中的数据可得施化肥量x和产量y的散点图如下所示：

（2）根据（1）中散点图可知，

各组数据对应点大致分布在一个条形区域内（一条直线附近）

故施化肥量x和产量y具有线性相关关系．

点评：本题考查的知识点是散点图和相关关系，难度不大，属于基础题型．

76. 已知变量x，y线性相关，x与y有下列对应数据：

x

1

2

3

4

y

2

3

求y对x的回归直线方程．

【答案】=x﹣．

【解析】根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．

解：根据题意，得，

=（1+2+3+4）=，=（++2+3）=，=30，=，

∴b==，a=﹣b=﹣=﹣，

∴线性回归方程为 =x﹣．

点评：本题考查求线性回归方程，是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃．

77. 在空间四点中，“四点不共面”是“任意三点不共线”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】本题研究充分条件与必要条件的判断，利用充分条件与必要条件的定义结合公理3以及推论、符合条件的几何体进行判断．

解：在空间四点中，

当四点不共面时，其中任意三点必不共线；

反之，当任意三点不共线时，不能得出四点不共面，如平行四边形的四个顶点．

故“四点不共面”是“任意三点不共线”的充分不必要条件．

故选A．

点评：本题的考点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及平面公理3以及推论的应用，主要利用公理3的作用和公理中的关键条件进行判断，可以借助于空间几何体有助理解，考查了空间想象能力．

78. 阅读右面的程序框图，则输出的S=

A．14

B．20

C．30

D．55

【答案】C

【解析】通过分析循环框图，当计数变量i=5时，结果循环，输出S．解：程序框图的用途是数列求和，当i=5时结束循环，输出S的值为： S=12+22+32+42=1+4+9+16=30．故答案为：30．

【考点】程序框图

点评：本题考查程序框图的作用，能够分析出计数变量的数值，结束循环是解题的关键．

79. 已知函数（I）求的解析式；

在区间上的最大值及相应的（其中），其部分图象如图所示．

（II）求函数值．

【答案】（I）；(II) 当时，取得最大值.

【解析】（I）根据图象可求出的值，再根据图象可求出周期，进而可求得的值，再结合函数在处有最大值以及先求出函数，就可以求出的值，由此可求出函数的表达式；(II)根据（I）的结论，就可求出，所以，所以.

在区间.

上的的最大值及相应的值． 的表达式，再结合试题解析：（I）由图可知，又所以（II）由（I）所以，且

，

因为故：，所以 ，当，时，.

取得最大值

的函数的最值问题.

__________ .

【考点】1、三角函数的“由图求式”；2、形如

80. 在【答案】【解析】在

81. 设函数A．=中，若

中，若。

是上的减函数，则有（）

B．，，∴ A 为锐角，，，，则，，则根据正弦定理

C．

D．

【答案】B

【解析】由题意

82. 若（ ）

A．

的内角，解得，故选B

，且C．

D．，则等于的对边分别为B．

【答案】B

【解析】针对，所以利用正弦定理边角互化可得，所以.

，即【考点】本小题主要考查解三角形，正弦定理、余弦定理.

83. 椭圆【答案】

，所以，解得，解得，当焦点在轴时，．

的离心率为，则的值为_____________.

【解析】当焦点在轴时，，所以，所以答案应填：【考点】1、椭圆的离心率；2、分类讨论．

84. 函数的反函数是_______________________。

【答案】【解析】函数的反函数为【考点】反函数

85. 已知集合

的值域为，则由

即函数，则下列式子表示不正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由题意得，所以【考点】元素与集合的关系；集合与集合的关系.

86. 函数的单调递减区间为（ ）

A．，所以不正确，故选B.

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】，，因为是增函数，在上递减，所以的减区间为，故选D．

【考点】函数的单调性．

87. 若，则【解析】略

88. 如果_________.

，那么正确的结论是．( )

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因为，所以应选C．

【考点】元素与集合、集合与集合间的基本关系．

89. 如果，那么 （ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据集合中的不等式【考点】元素与集合的关系.

90. 偶函数满足：的解集为（ ）．

B．A．可知是集合的元素即，则，故选D．

，且在区间与上分别递减和递增，则不等式

C．

D．

【答案】D

【解析】由已知得，且在区间[0，3]与上分别递减和递增，所以当时，时，；当，由偶函数性质得，函数在区间与上分别递增和递减，故当和时，，所以不等式的解集为．

【考点】函数的图像与性质.

91. 若函数的定义域为值域为则实数的取值范围为 .

【答案】【解析】

的对称轴为，，且，所以．

，所以，又【考点】二次函数的性质．

92. 已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝( )

A．(－1,3)

B．(－1,0)

C．(0,2)

D．(2,3)

【答案】A

【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．

解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，

∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，

故选：A．

【考点】并集及其运算．

93. 若函数A．C．的定义域为，值域为B．D．，则的取值范围是（）

【答案】C

【解析】因为对称轴为得的取值范围是,对应函数值为，选C.

；所以;当时,因此,综合可

94. （2012•襄阳模拟）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）

A．2

B．3

C．4

D．5

【答案】A

【解析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0．

解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，

则解得：m=2．

故选A．

【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．

95. （12分）若（1）求（2）若的值；

，解不等式

，则有

，即可得到；（2）因为，根据运算性质是定义在上的增函数，且对一切，满足.

【答案】⑴⑵【解析】（1）令

可得，所以原不等式为即可得到

中，令，则有，可得，再根据单调增函数可得试题解析：（1）在∴f（1）＝0．

（2）∵∴，

，∴原不等式为，即．

∵f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，

∴解得－3＜x＜9．

∴原不等式的解集为．

【考点】1．抽象函数求值以及性质；2．函数的单调性

96. 设全集A． ，则

D．

B．

C．

【答案】B

【解析】，，

【考点】集合的运算

97. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.

【答案】12

【解析】既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为 , 喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人，故答案为.

98. 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）

① ②A．1个

③ ④B．2个

C．3个

D．4个

【答案】C

【解析】因为故选C.

99. 设偶函数系是（ ）

A．＞C． ＜，所以正确，正确，正确，

的定义域为R，当＞＜时，是增函数，则B．

D．

＞＜＞＜的大小关

【答案】A

【解析】因为函数为偶函数，所以数，所以．因此＞＞【考点】利用函数的奇偶性及单调性比大小。

。又因，故选A

且函数在为增函

100. 已知（Ⅰ）求函数（Ⅱ）判断函数（Ⅲ）求【答案】（1）【解析】略

的定义域．

的奇偶性．

的值．

．

（2）偶函数．（3）-1