高中数学双曲线的切线(全面版)

2024年3月27日发(作者：泗洪考试数学试卷真题及答案)

双曲线的切线（11）

x

2

y

2

本文拟讨论由坐标平面内任意点P(x

0

，y

0

)，引双曲线C

1

：

2



2

=1(a＞0，

ab

b＞0)(1)的切线，切线的存在性、切线的条数、切线方程及切点坐标．

不妨只考察P在原点、P在坐标轴正半轴上、P在第一象限内的情形．

当P在原点或P在区域Ⅰ时，不存在切线；当P在C

1

或C

2

(不含原点)上时，仅一条

切线；当P在区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ或在C

3

(不含A、B)上时，有两条切线．

结论：①原点处无切线。

②点在C

3

上时一条切线

③当P在线段AB上时，Q在C

1

的右支上半支．

④当P在线段AB的延长线上时，Q在C

1

的左支下半支．

⑤若点P在区域Ⅰ内, 过P不存在切线．

⑥若点P在曲线C

1

上(异于点A), 切点即点P．

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，

只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的

⑦若点P在曲线C

2

上(异于点B), 若P在线段OB上，Q在C

1

右支下半支．

若P在线段OB的延长线上， Q在C

1

右支上半支．

⑧若点P在区域Ⅱ内, Q

1

在C

1

右支下半支，Q

2

在C

1

右支上半支．

⑨若点P在区域Ⅲ内, Q

1

、Q

2

位于C

1

同一支且在x轴同侧．

⑩若点P在区域Ⅳ内, Q

1

在C

1

的右支下半支，Q

2

在C

1

的左支下半支．

⑪若点P在区域Ⅴ内, Q

1

在C

1

左支下半支，Q

2

在C

1

的右支上半支．

xy

如图所示，记C

1

的渐近线为C

2

∶－=0，C

1

的右顶点为A(a，0)，直线C

3

∶

ab

x=a；C

3

与C

2

的交点为B(a，b)；C

1

的内部(含焦点的部分)为区域Ⅰ；C

1

与C

2

之间

的部分，在C

3

左侧为区域Ⅱ，在C

3

右侧部分为区域Ⅲ；C

2

与y轴正半轴所夹的部分，在

C

3

左侧为区域Ⅳ，在C

3

右侧为区域Ⅴ．

1 若P在原点



x0



∵ 方程组



x

2

y

2

无实数解，



2



2

1

b



a

∴ 直线x=0不是C

1

的切线．

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，

只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的