两种不同抽样方式下样本均值的数学期望和方差的比较

2024年1月8日发(作者：海风教育高中数学试卷)

第２２卷第８期　长春大学学报　Ｖｏ１．２２　ＮＯ．８　Ａｕｇ．２０１２　２０１２年８月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＣＨＡＮＧＣＨＵＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　两种不同抽样方式下样本均值的数学期望和方差的比较　刘淑华　（长春理工大学摘光电信息学院，长春１３００２１）　要：给出了在有放回抽样时，样本均值的数学期望和方差的计算结果；同时通过引理的证明给出了在无放回抽　样方式下，样本均值的数学期望和方差的结果。从而说明了在抽样方式不同的情况下，样本均值的数学期望相同，　但方差却是不同的，但是，当样本容量ｎ很大时，则两者的差别是不大的；当ｎ趋于无穷大时，这两者就没有区别　了。　关键词：总体；样本；样本均值；样本方差　中图分类号：０２１２．２　文献标志码：Ａ　文章编号：１００９—３９０７（２０１２）０８—０９８３—０３　在数理统计中，我们经常要用到从总体中抽取的样本构成的统计量的分布。当总体服从正态分布时，样　本均值和样本方差的分布都是确定的，由样本均值和样本方差构成的某些统计量服从的分布也比较容易计　算。一般情况下，统计量的分布不是很容易计算，但统计量的数字特征相对来说计算还是比较容易的，同时　这些统计量的数字特征的计算又是非常必要的。特别是样本均值的数学期望和方差的计算。一般来说，从　总体中抽样的方式不同，会影响到样本均值的数学期望和方差，为了在一种特殊的抽样方式之下也能求出样　本均值的数学期望和方差，我们先来证明一个引理。　１　引理　口袋中有Ⅳ张卡片，上面分别写有数字　，ｙ２，…，　，不放回的从中抽出ｎ张，则其和的数学期望和方　差分别为　＝　毫　和　＝　２，（其中　２＝　善Ｎ（　一　）　）　证明：取一张时，其数字的均值及方差分别为　＝亩　，　＝　Ｎ点（　一　）　．　以　表示ｎ张卡片上的数字之和，以置，江１，２，…，ｎ表示第ｉ次抽到的卡片上的数字，则叼　＝Ｘ，＋　＋…＋　由Ｐ｛Ｘ　：ｙｆ｝＝寺，ｚ＝１，２，…，Ｎ，ｉ＝１，２，…，　，可得　Ｅ（Ｘ　）＝　＝／ｚ，Ｅ（　）＝　Ｎ　，从而　Ｄ（Ｘ　）：　（　）一［Ｅ（　）］　＝亩　１　Ｎ　一　＝亩　１　Ｎ（　一　。）＝　，　所以７７　的数学期望为Ｅ（ｎ　）＝　善　（置）　叼　的方差为Ｄ（　）＝Ｄ（Ｚｘ　）＝ＺＤＸｆ＋２．．＝ｎｉｚ，　．．　ｌ＝１　‘　Ｉ　１５ｚ（１５／ｔ　ｃｏｙ（Ｘｉ，ｘｆ）　（１）　由协方差的对称性和置之间的对称性可知　Ｄ（叼　）＝Ｄ（．　置）＝：ＺＤＸ　２　　＋１　ｊ　Ｉ一１　＿，　ＩＳＩ＜Ｊ　ｃｏｙ（Ｘ　）＝　ｎｏ＂　ｎ　１　ｃｏｙ（Ｘ　＋（ｎ一）　，　）　，　’　２　（）在（２）式中，令ｎ＝Ｎ，这时　＝Ｘ。＋　＋…＋　是一个常数，从而Ｄ（田　）＝Ｏ，代入到（２）中，可得　Ｄ（Ｖ　）：Ｄ（　）　善Ｄ（置）＋２。　ｃ。ｖ（置，　）　收稿日期：２０１２－０６－１８　作者简介：刘淑华（１９７１一），女，内蒙古哲里术盟人，讲师，硕士，主要从事概率论与数据统计方面的研究，　

９８４　长春大学学报　第２２卷　＝Ｎｏ－　＋Ⅳ（Ⅳ一１）ｃｏｖ（　ｌ，Ｘ２）＝０，　从而ｃｏｖ（　Ｘ２）一　：一　。　将上述结果代人到（２）式中，可得　Ｄ（７７　）＝Ｄ（三　）＝　Ｄ　。＋２　１　＝ｊ　Ｉ鱼＜，　ｃｏｖ（Ｘ　，　，）　２。　（３）　…２一ｎ（ｎ－　）　２＝　２样本的抽取方式为有放回的情况　样本的抽取方式为有放回的情况下，获得的样本为简单随机样本，即从总体中抽出的样本为相互独立并　且与总体同分布。不妨设总体的数学期望和方差都存在，并且Ｅ（　）＝ＩＸ，Ｄ（　）＝　。从总体中抽出容量为　ｎ的样本，Ｘｔ，　：，…，Ｘ　，Ｘ　１　。为样本均值，由于Ｘ－，Ｘｚ，…，　相互独立，￣ｇＮ，＋，ｔＣｌＮ＃Ｎ，从而，样　本均值的数学期望和方差分别为　Ｅ（　）：Ｅ（÷　ｉ）＝＿＝１　２，＿Ｅ（Ｘ。）＝Ｅ（　）＝Ｉｔ，　：ｌ　。　ｉ＝ｌ　（４）　Ｄ（　）＝Ｄ（　）＝　ｎ　Ｄ（　＝　（　）＝　ｒｔ　２。　￣ＹｑＮ　ｘ　置和总体　有相同的数学期望，样本均值　１　是总体方差的＿Ｊ＿。　（５）　，　和总体ｘ的方差并不相同３样本的抽取方式为无放回的情况　当抽样方式为无放回的情况时，下一次抽样是受前一次抽样的结果的影响的。此时，设总体中包含Ⅳ　个个体，从总体中抽取容量为ｎ的样本　，　，…，　，　则此时　，　，…，Ｘ　，不满足相互独立性，但与总体同分布，所以仍然有Ｅ（Ｘ　）＝Ｉｔ，Ｄ（Ｘ　）＝ｏｒ　，从而　Ｅ（　）＝Ｅ（１－　砉　）＝ｉ１　毫Ｅ（　）＝Ｅ（　）：　，　但是，方差就没有这么好的结果了，　＝　砉置的方差可以通过如下的方法来求　（６）　（７）　Ｄ（ｉ）＝Ｄ（１　砉　）＝　ｌｇ　砉Ｄ（　）＋　吾ｃ。ｖ（　，　），　利用引理的证明过程，我们有：一　ｒ—Ｃｏｙ（Ｘ　，　），从而有　善ｃＩ产，　。ｖ（　，　）＝ｎ（　一１）　』Ｖ—ｌ　，　将上述结果代入（７）式，则有　Ｄ（　）＝Ｄ　１　毫　）：　毫Ｄ（　）＋　菁ｃ。ｖ（　ｉ，　）　２＝　一　２：　（　０－２），　即有　Ｄｃ　＝Ｄ（　）＝　４结论　（　）。　（８）　通讨将（５）与（７）的比较．我们看到，当抽样方式为无放回的时候，样本均值的期望不变，但方差发生了　

第８期　刘淑华：两种不同抽样方式下样本均值的数学期望和方差的比较　９８５　变化，与有放回抽样相比，多了一个倍数　，当　与Ⅳ相差不大时，（５）与（７）的差别是很大的；当Ⅳ远　远大于ｎ时，（５）与（７）的结果基本相近；当Ⅳ趋于无穷大时，（５）与（７）的结果就没区别了。　参考文献：　［１］李贤平．概率论基础［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８７．　［２］　同济大学应用数学系．工程数学概率统计简明教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．　责任编辑：程艳艳　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｖａｒｉａｎｃｅ　ｏｆ　Ｓａｍｐｌｅ　Ｍｅａｎ　ｂｙ　Ｍｅａｎｓ　ｏｆ　Ｔｗｏ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　Ｓａｍｐｌｉｎｇ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ＵＵ　Ｓｈｕ—ｈｕａ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｏｐｔｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃａｌ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｃｈａｎｇｅｈｎｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　１３００２２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｇｉｖｅｓ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｖａｒｉａｎｃｅ　ｏｆ　ｓａｍｐｌｅ　ｍｅａｎ　ｉｎ　ｓａｍｐｌｉｎｇ　ｓｃｈｅｍｅ　ｗｉｔｈ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ，ａｔ　ｔｈｅ　ｓａｎｌｅ　ｔｉｍｅ，ｉｔ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｖａｒｉｎｃｅ　ｏｆ　ｓａｍｐｌａｅ　ｍｅａｎ　ｉｎ　ｓａｍｐｌｉｎｇ　ｓｃｈｅｍｅ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｌｅｍｍａｓ．Ｓｏ　ｗｅ　ｃａｎ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓａｍｐｌｅ　ｍｅａｎ　ｉｓ　ｓａｌＴｌｅ　ｗｈｉｌｅ　ｔｈｅ　ｖａｒｉａｎｃｅ　ｉｓ　ｄｉｆｅｒｅｎｔ　ｉｎ　ｄｉｆｅｒｅｎｔ　ｐａｔｔｅｒｎｓ　ｏｆ　ｓａｍｐｌｉｎｇ．Ｂｕｔ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｓａｍｐｌｅ　ｓｉｚｅ　ｎ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｌａｒｇｅ，ｔｈｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｉｓ　ｓｌｉｍ　ａｎｄ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｓａｍｐｌｅ　ｓｉｚｅ　ｎ　ｔｅｎｄｓ　ｔｏ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ，ｔｈｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｉｓ　ｌｉｔｔｌｅ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｏｖｅｒａｌｌ；ｓａｍｐｌｅ；ｓａｍｐｌｅ　ｍｅａｎ；ｓａｍｐｌｅ　ｖａｒｉａｎｃｅ　（上接第９６２页）　【５］Ｐ　Ｆａｃｅｈｉ，Ｓ　Ｐａｓｅａｚｉｏ．Ｔｅｍｐｏｒａｌ　ｂｅｈａｖｉｏｒ　ａｎｄ　ｑｕａｎｔｕｍ　Ｚｅｎｏ　ｔｉｍｅ　ｏｆ　ａｎ　ｅｘｃｉｔｅｄ　ｓｔａｔｅ　ｏｆｔｈｅ　ｈｙｄｒｏｇｅｎ　ａｔｏｍ［ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ，１９９８（２４１）：１３９—　１４４．　［６］Ｈ　Ｚｈｅｎｇ，Ｓ　Ｙ　Ｚｈｕ，Ｍ　Ｓ　Ｚｕｂａｉｒｙ．Ｑｕａｎｔｕｍ　Ｚｅｎｏ　ａｎｄ　Ａｎｔｉ－Ｚｅｎｏ　Ｅｆｆｅｃｔｓ：Ｗｉｔｈｏｕｔ　ｔｈｅ　Ｒｏｔａｔｉｎｇ—Ｗａｖｅ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ，２００８　（１０１）：２００４０４．　ｄ　Ｚｕｅｃｏ，Ｇｅｏｒｇ　Ｍ　Ｒｅｕｔｈｅｒ，Ｓｉｇｍｕｎｄ　Ｋｏｈｌｅｒ，Ｐｅｔｅｒ　Ｈａｎｇｇｉ．Ｑｕｂｉｔ—ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅ　ｒｅｇｉｍｅ：Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｔｈｅｏｒｙ　ｂｅｙｏｎｄ　ｔｈｅ　［７］　Ｄａｖｉｒｏｔａｔｉｎｇ－ｗａｖｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｗ．Ａ，２ｏｏ９（８０）：０３３８４６．　ｎｇｓ．Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｑｕａｎｔｕｍ　ａｎｄ　ｓｅｍｉｃｌｓｓａｉｃａｌ　ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｉｅｓ　ｗｉｔｈ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｂｅａｍ　ｍａｓｅｒ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ．ＩＥＥＥ，　［８］　Ｅ　Ｔ　Ｊａｙｎｅｓ，Ｆ　Ｗ　Ｃｕｍｍｉ１９６３（５１）：８９．　责任编辑：程艳艳　Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　Ｑｕａｎｔｕｍ　Ｚｅｎｏ　Ｅｆｆｅｃｔ　Ｔｉｍｅ　ｗｉｔＪ１　Ｒｏｔａｔｉｎｇ－ｗａｖｅ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ＬＩ　Ｘｉｎｇ—ｍｉｎ’，ＳＯＮＧ　Ｌｉ－ｊｕｎ２　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　１３００２２，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　Ｕｎｉｖｅｓｉｒｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　１３００２２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｕｎｓｔａｂｌｅ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｓｔａｔｅｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｐｒｅｖｅｎｔｅｄ　ｆｒｏｍ　ｄｅｃａｙ　ｗｈｅｎ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ　ａｒｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｃａｌｌｅｄ　ｑｕａｎｔｕｍ　Ｚｅｎｏ　ｅｆｆｅｃｔ．Ｔｈｒｏｕｇｈ　Ｎａｋａｊｉｍａ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｎ　Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ　ａｎｄ　ｕｎｓｔｂｌａｅ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｓｔａｔｅｓ，ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｃｏｍｐｕｔｅ　ｔｈｅ　ｑｕａｎｔｕｍ　Ｚｅｎｏ　ｅｆｆｅｃｔ　ｔｉｍｅ　ｉｎ　Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ　ｐｉｃｔｕｒｅ，ｇｅｔｓ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｕａｑｎｔｕｍ　Ｚｅｎｏ　ｅｆｆｅｃｔ　ｉｎ　ｗｅａｋ　ＣＯＵ—　ｐｌｉｎｇ　ａｎｄ　ｇｉｖｅｓ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｑｕａｎｔｕｍ　Ｚｅｎｏ　ｅｆｆｅｃｔ　ｔｉｍｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｏｆ　ｍｅａｓｕｒｉｎｇ　ｏｐｔｉｃａｌ　ｆｉｅｌｄ，ｔｈｅ　ｃｏｕｐｌｉｎｇ　ｓｔｒｅｎｇｔｈ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｎｅｒｇｙ—ｌｅｖｅｌ　ｓｐａｃｉｎｇ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｑｕａｎｔｕｍ　Ｚｅｎｏ　ｅｆｅｃｔ；Ｎａｋａｊｉｍａ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｒｏｔａｔｉｎｇ—ｗａｖｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ