数学里的经典名著

2024年1月24日发(作者：新乡期末抽考数学试卷答案)

数学里的经典名著

12.1 周髀算经

《周髀算经》乃是算经的十书之一。约成书于公元前1世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。

该书是中国流传至今的一部最早的数学著作，同时也是一部天文学著作。中国古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文学共有三大家学说，“盖天说”是其中之一，而《周髀算经》是“盖天说”的代表。这派学说主张:天像盖笠，地法覆盆(天空如斗笠，大地像翻扣的盆)。

据考证，现传本《周髀算经》大约成书于西汉时期(公元前1世纪)。南宋时的传刻本(嘉定六年，公元1213年)是目前传世的最早刻本，收藏于上海图书馆。历代许多数学家都曾为此书作注，其中最著名的是唐李淳风等人所作的注。《周髀算经》还曾传入朝鲜和日本，在那里也有不少翻刻注释本行世。

从所包含的数学内容来看，书中主要讲述了学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等。

书中有矩(一种量直角、画矩形的工具)的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相似直角三角形对应边成比例定理等数学内容。

在《周髀算经》中还有开平方的问题，等差级数的问题，使用了相当繁复的分数算法和开平方法，以及应用于古代的“四分历”计算的相当复杂的分数运算。还有相当繁杂的数字计算和勾股定理的应用。

该书的第一章叙述了周公、商高问答时提到的勾股定理测量的方法，还举出了一个“勾三股四弦五”的特例。

12.2 九章算术

《九章算术》是中国古代数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。该书经多次增补，成书时间已不可考，但据估算最迟在公元1世纪已有了现传本。许多人曾为它作过注释，其中不乏历史上的数学名人，最著名的有刘徽(公元263年)、李淳风(公元656年)……要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系。

《九章算术》中的数学成就是多方面的:

(1)在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》是世界上最早系统叙述分数运算的著作，在书的第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的。

(2)在几何方面，主要是面积、体积计算。

(3)在代数方面，主要有一次方程组解法、平方、立方、一般二次方程解法等。“方程”一章还在世界数学史上首次引入了负数及其加减法运算法则。作为一部世界科学名著，《九章算术》在隋唐时期就已传入朝鲜、日本。现在它已被译成日、俄、德、英、法等多种文字。

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成。后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的，它是世界上最早的印刷本数学书。

12.3 数书九章

《数书九章》，中国南宋数学家秦九韶撰。这是秦九韶唯一的数学著作，但仅凭此书就足以使他成为中国宋元时期杰出的数学家之一。

《数书九章》最初叫《数术大略》或《数学大略》(9卷)，分为9类，每类为一卷。约到元代时更名为《数学九章》，内容也由9卷改为18卷。明初抄本被收入《永乐大典》，另抄本藏于文渊阁。明代学者王应遴传抄时定名为《数书九章》，明末学者赵琦美再抄时沿用此名。抄本形式流传到清代，1781年由李锐校订后收入《四库全书》。1842年由宋景昌校订后收入《宜稼堂丛书》第一次印刷出版，结束了近600年的传抄历史。1898年收入《古今算学丛书》，为第二次印刷。1936年又分别被收入《丛书集成初编》和《国学基本丛书》出版，流传甚广。目前还有十几种抄本传世，成为学者研讨时的珍品。

全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。

《数书九章》在数学内容上颇多创新。中国算筹式记数法及其演算式在此得以完整保存;自然数、分数、小数、负数都有专条论述，还第一次用小数表示无理根的近似值;卷1大衍类中灵活运用最大公约数和最小公倍数，并首创连环求等，借以求几个数的最小公倍数;在《孙子算经》中“物不知数”问题的基础上总结成大衍求一术，使一次同余式组的解法规格化、程序化，比西方高斯创用的同类方法早500多年，被公认为“中国剩余定理”;卷17市物类给出完整的方程术演算实录，书中还继贾宪增乘开方法进而作正负开方术，使之可以对任意次方程的有理根或无理根来求解，比19世纪英国霍纳的同类方法早500多年;书中卷5田域类所列三斜求积公式与公元1世纪希腊海伦给出的公式殊途同归;卷7、卷8测望类又使《海岛算经》中的测望之术发扬光大，再添光彩。

《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，

标志着中国古代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。1842年第一次印刷后即在民间广泛流传。秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。

12.4 几何原本

古希腊数学家欧几里得是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作。在《原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里得把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧氏几何的奠基之作。

2000多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡儿、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。

五条公理

(1)等于同量的量彼此相等;

(2)等量加等量，其和相等;

(3)等量减等量，其差相等;

(4)彼此能重合的物体是全等的;

(5)整体大于部分。

五条公设

(1)过两点能作且只能作一直线;

(2)线段(有限直线)可以无限地延长;

(3)以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆;

(4)凡是直角都相等;

(5)同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

(最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达2000多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。)

在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾做到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科，并且《几何原本》中的命题1.47，证明了是欧几里得最先发现的勾股定理，从而说明了欧洲是最早发现勾股定理的大洲。关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤;综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项;归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。

但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，书中对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。

12.5 自然哲学的数学原理

《自然哲学的数学原理》，是英国科学家艾萨克·牛顿的代表作，成书于1686年。

《自然哲学的数学原理》是牛顿科学才华巅峰时期所写的旷世巨著，是他个人智慧的伟大结晶。该书精辟地解答了牛顿之前几个世纪最有才智的人一直想解答，却一直无法解答的问题。牛顿不但总结出了力学基本定律，而且还发现了证明这些定律的数学方法，奠定了数学成为描述宇宙活动的语言基础。在《原理》之后，人类在自然科学中的伟大成就才层出不穷，但这些成就无一不与这部非凡的著作直接相关。牛顿提供了科学思维的体系样板。《原理》标志着经典力学体系的建立，是人类科学史、乃至整个人类文明史中的不朽巨著。《原理》不仅影响自它面世后的300年里的自然科学领域，而且对人类的宇宙观也产生了深刻的影响，并因此形成了我们今天的世界图像。

该书的宗旨在于从各种运动现象探究自然力，再用这些力说明各种自然现象。全书共分4部分。开头和第一篇介绍了力学的基本运动三定律与基本的力学量;其中质量的概念是由牛顿首先提出及定义的，但牛顿当时称其为“物质的量”，这一名称后来被另一个物理量使用。第二篇中，讨论了物体在阻尼介质中的运动，提出阻力大小与物体速度的一次及二次方成正比的公式，另外，在此篇中研究了气体的弹性和可压缩性，以及空气中的声速等问题，这为牛顿提供了一个展示他数学技巧的舞台。第三篇题目为宇宙体系，讨论了太阳系的行星、行星的卫星和彗星的运行，以及海洋潮汐的产生，涉及多体问题中的摄动。

全书贯穿了牛顿和莱布尼茨分别独立发明的数学方法——微积分，不过牛顿称其为“流数”，这是牛顿的成就之一。它在科学史上占有非常重要的地位，它标志着经典力学体系的建立。但这本书的编纂过程中也体现了牛顿狭隘的一面，在编写第三卷时，牛顿删除了所有与胡克

所做工作有关的内容，只因为胡克声称万有引力是由他发现的。

爱因斯坦曾说:“在人类历史上，能够把物理试验、数学理论、机械发明结合成科学艺术的人，只有一位——那就是艾萨克·牛顿。”纽曼言:“近代科学是源自牛顿对上帝的默想。”牛顿的《原理》是数学史上划时代的著作，为我们拟定了力学的世界图景及机械地解释自然现象的基本纲领，开创了人类科学的全新纪元。

12.6 猜 度 术

雅各布·伯努利1654年12月7日生于瑞士巴塞尔。他是一个自学成才的数学家。雅各布对微积分、微分方程和变分法等都作出了贡献，更为重要的是他关于概率论的奠基性研究。他所著的《猜度术》是概率论第一部奠基性著作，其中关于概率论的思想，具有划时代的意义，可谓对概率论做出了决定性的贡献，推进了概率论的进一步发展。因而其出版是概率论成为独立数学分支的标志。

雅各布是莱布尼茨的最早追随者。1690年，他们之间开始了经常性的通信联系。从他们的通信中可以看出，《猜度术》的撰写是在雅各布生命的最后两年。雅各布写给莱布尼茨的最后一封信的日期是1705年6月3日，这封信是他在极度痛苦中写下的。因为雅各布当时不仅受到病魔的折磨和恩师莱布尼茨的猜疑，而且他和兄弟约翰也产生了严重的矛盾。8月16日，雅各布与世长辞，遗留下的《猜度术》尚未整理完成。由于兄弟间的矛盾，雅各布的遗孀对约翰不信任，拒绝把整理出版的任务交给他，导致手稿在外藏匿多年。后来，雅各布的遗孀又拒绝了欧洲一个富商捐资出版的建议。最后，经过莱布尼茨的一再敦促，雅各布的儿子于1712年10月开始整理并印刷《猜度术》。而此时，雅各布的侄子尼科拉斯正在法国帮助蒙特摩准备《随笔》第二版。1713年5月，当尼科拉斯回到巴塞尔时，《猜度术》的整理和印刷工作已接近尾声。直到此时，雅各布的儿子才敢与他这位大堂兄打交道，请他帮助润饰定版。此时再作任何补充都太晚了，因为这样将进一步延误印刷和出版。为了使该书尽早付印，尼科拉斯只匆匆写了一篇两页的序言，并为较为严重的印刷错误编了一张勘误表。而不少概率史家据此认为是尼科拉斯整理出版了《猜度术》。如著名的哲学家和数学教授沃尔夫在其《数学辞典》中就持有这一观点，同样的错误也发生在托德亨特等人的论述中。

1713年8月，在作者死后第8年，《猜度术》终于问世了。该书除前言共306页，呈小四开本形式，内容可分成五部分。在第一卷中，雅各布对荷兰数学家惠更斯1657年《论赌博中的计算》作了较为详细的注释，其长度为惠更斯原文的五倍。雅各布对某些问题给出了自己的证明，并把一些问题推广到一般情形，因而其注释比原文更有价值。第二卷比较系统地论述了排列组合知识，并给出著名的“伯努利数”和“伯努利方程”。第三卷由24个问题组成，是前述理论的应用。第四卷包含了本书的精华——伯努利大数定律。另外，该卷还论述了雅各布特有的哲学思想。第五卷是附录，包含两部分内容。一部分是关于无穷级数的五篇论文，另一部分以书信的形式讨论了网球比赛中的计分问题。

《猜度术》是雅各布一生中最有创造力的著作，该书的出版标志着概率论已建立在稳固的数学基础上并成为一个独立的数学分支。美国概率史家海金称此书为“概率概念漫长形成过程的终结与数学概率论的开端”。时至今日，雅各布的概率思想在概率论领域仍有着重要影响。

12.7 算术研究

1801年，高斯的名著《算术研究》问世。《算术研究》是用拉丁文写成的。在这本书的序言里，高斯明确地说明了本书的范围:“本书所研究的是数学中的整数部分，分数和无理数不包括在内。”

《算术研究》是一部划时代的作品，它结束了19世纪以前数论的无系统状态。在这部书中，高斯对前人在数论中的一切杰出而又零星的成果予以系统的整理，并积极加以推广，给出了标准化的记号，把要研究的问题和解决这些问题的已知方法进行了分类，还引进了新的方法。全书共有三个核心课题:同余理论、齐式论及剩余论和二次互反律。这些都是高斯贡献给数论的卓越成就。

同余是《算术研究》中的一个基本研究课题。这个概念不是高斯首先提出的，但是给同余引入现代的符号并予以系统研究的却是高斯。他详细地讨论了同余数的运算、多项式同余式的基本定理以及幂的同余等各种问题。他还运用幂的同余理论证明了费马小定理。

二次互反律是高斯最得意的成果之一，它在数论中占有极为重要的地位。正如美国现代数学家狄克逊所说:“它是数论中最重要的工具，并且在数论发展史上占有中心位置。”其实，高斯早在1796年就已经得出了这个定理及其证明。发表在《算术研究》中的则是另一种证明。

从二次互反律出发，高斯相继引出了双二次互反律和三次互反律，以及与此相联系的双二次和三次剩余理论。为了使三次和双二次剩余理论优美而简单，高斯又发展出了复整数和复整数数论;而它的进一步结果必然是代数数理论，这方面由高斯的学生戴德金作出了决定性的贡献。

在《算术研究》中，高斯出乎寻常的以最大的篇幅讨论了型的理论。他从拉格朗日的著作中抽象出了型的等价概念后，便一鼓作气地提出了一系列关于型的等价定理和型的复合理论，他的工作有效地向人们展现了型的重要性——用于证明任何多个关于整数数的定理。正是由于高斯的带领，使型的理论成为19世纪数论的一个主要课题。高斯关于型和型类的几何表式的论述是如今所谓数的几何学的开端。

高斯曾说:“数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇。”如果这是真理，我们还可以补充一点:《算术研究》是数论的宪章。

12.8 数学:确定性的丧失

M·克莱因是美国纽约大学柯朗数学研究所的荣誉教授，曾任《数学杂志》的副主编，精确科学史档案的主编，他的著作还有《西方文化中的数学》《古今数学思想》等。自从欧几里得建立了现代数学的明确模式以来，他是比任何人都更好地理解了数学的思想家。

历史最悠久，伴随数学的发展而发展的数学本身特有的不确定性。克莱因就是在一种充满新解的不确定性的世界中探讨这种老掉牙的确定性的丧失。当代玩电脑、上网的青年，读这本书有点像中学生听爷爷奶奶讲反“右”、三年困难乃至“文革”，等等。然而，只有他们理解历史，也许才能成长，才能成熟，才能理解现在和未来。

《数学:确定性的丧失》一书除引言外，共有15章，可以分为三个部分。前3章是第一部分，讲数学真理的起源、数学真理的繁荣和科学的数学化。第二部分是中间9章，论述了数学确定性丧失的各个方面，首先从第一场灾难，真理的丧失讲起，其实是非欧几何冲击欧氏几何的绝对权威，第4章是讲逻辑学科不合逻辑的发展:无理数的发现及数的扩张(负数、虚数)，很难找到逻辑基础。接着是微积分带来的分析的困境，由此导致19世纪对分析严密性的怀疑和批判，最后达到19世纪末分析的严格化，好像走进了天堂之门。第9到12章讲进入天堂后数学面临更大的危机。由于集合论悖论和其他逻辑悖论的出现，数学面临第三次危机，对数学基础进行了一场大辩论，逻辑主义、直觉主义、形式主义各派提出了各自的观点来解决基础危机。然而，1930年哥德尔不完全性定理的发表把危机推向高潮，作者以“灾难”一词，结束了他关于确定性丧失的论述。他把自己的论述，停留在1930年的时间点上。然后，就完全以悲观的论调进入第三部分:第13、14、15章。他的观点可由这三章的标题看出来，“数学的孤立”，“数学向何处去”，“自然的权威”。在这里我们又看到他作为应用数学家的身影。他的观点很明确——走回头路，让数学回到经验，回到自然，重视应用，去掉那种孤芳自赏的抽象、推广、存在性的证明以及严格性的探讨，至少要把它们压缩到最低限度。

我们常说2×2永远等于4，这是颠扑不破的真理。可是，数学发展有赖于把已知的事实推向未知，把特殊的结果推向一般。数学中的这种推广，特别是把有穷推广到无穷，总是带来确定性的丧失。这是贯穿整个数学史的一条红线。在这种情况下，必定会产生我们的方法是否合理、是否严格的问题。

对此，历史上常常有两种极端的态度:一种是保守的态度，也就是固定不变的原教旨主义，一种是激进的态度，也就是向前看，不断推广，不断革新。前者虽然保险，但无助于发展数学，后者总是冒风险，免不了带来一个又一个矛盾，这就是确定性的丧失。从历史上看，后者总是取得胜利，它不仅使我们开创出前所未有的大量数学概念，而且通过矛盾的发现和化解，使我们更深刻地认识我们的能力或方法的限度，并且对开辟的新领域进行方法上的开发。

欧氏几何向非欧几何扩展的历史正好说明这点。非欧几何的出现不仅结束了欧氏几何唯我独尊的局面，而且列举了“所有可能的”几何，这样使得数学由一门自然科学或物理科学真正转变为模式或形式科学。不仅如此，它还使我们的空间观念大为改变，并为相对论的发展提供有效的方法和工具。反观数学基础，困难仍然存在，危机并未消除。不过，本书所讲的这种有3000年历史的最古老的不确定性并没有挡住我们前进的步伐，我们又何必为有朝一日数学大厦可能倒塌而杞人忧天呢。数学中确定性丧失的历史只会告诉我们，数学确定性并非是完全是绝对的确定性，而在多数情形下是一种相对的确定性。但这同物理学的相对确定性还不一样，物理世界或现实世界出了问题，例如地球遭到小行星碰撞，在想到其他办法之前，也许只有等死。而数学却是关于可能世界的科学，某些地方出了问题，数学家总会想出办法来解决它。

12.9 数论导引

《数论导引》是中国著名数学家华罗庚于1957年出版的数学名著。该书是以英国数学家哈代的同名著作为蓝本而撰写的一部数论教材。作者由浅入深，深刻而广泛地介绍了古典数论与近代数论的基本内容和研究方法，揭示了数学各分支与数论之间的深刻关系。

《数论导引》是国内的经典数学著作之一，内容非常精彩。此书曾一度称为国内数学工作者

学习数论的教材。大数学家丘成桐先生年少时也阅读过《数论导引》，对此书极为推崇。

数论是数学中最古老也最活跃的一门分支。初等数论既可为今后进一步从事数论研究打下扎实基础，又能够作为一种数学甚或美学的熏陶。其内容包括初等数论的一些基本概念和技巧，如整除、同余式、不定方程、平方剩余、同余方程和原根、指数等及其相关的计算，从中可以了解到费尔马定理、哥德巴赫猜想、华林问题等著名的数学定理。数论是数学王子高斯最喜爱的一门数学分支，他断言“数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后”。毫无疑问，数论是数学中最优美的一门学科，希尔伯特的传记作者在谈到他放下代数不变量理论而转向数论研究时说:“数论以一种不可抗拒的魅力，吸引着数学中的精华”。