北师大版初中数学各册章节知识点总结(超强总结)

2024年3月8日发(作者：数学试卷错很多的检讨)

北师大版初中数学各册章节知识点总结(超强总结)

新版北师大版初中数学知识点汇总目录七年级上册知识点汇总1第一章丰富的图形世界1第二章有理数及其运算1第三章字母表示数3第四章平面图形及位置关系4第五章一元一次方程6第六章生活中的数据6七年级下册知识点总结7第一章整式的运算7第二章平行线与相交线9第三章生活中的数据10第四章概率10第五章三角形10第六章变量之间的关系12第七章生活中的轴对称14八年级上册知识点汇总15第一章勾股定理15第二章实数15第三章图形的平移与旋转15第四章四平边形性质探索16第五章位置的确定17第六章一次函数18第七章二元一次方程组18第八章数据的代表18八年级下册知识点汇总级上册知识点汇总28第一章证明(二)28第二章一元二次方程28第三章证明（三）30第四章视图与投影31第五章反比例函数32第六章频率与概率33九年级下册知识点汇总34第一章直角三角形边的关系34第二章二次函数36第三章圆39第四章统计与概率44第1页共45页侧面是曲面底面是圆面圆柱、侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体侧面是曲面底面是圆面圆锥:侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体数)数分数如负整数如正整数整数)0零有理如负分如正分数七年级上册知识点汇总（注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）第一章丰富的图形世界¤1.¤2.¤3.球体：由球面围成的（球面是曲面）¤4.几何图形是由点、线、面构成的。

①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。

几何的表面有平面和曲面；②面与面相交得到线；③线与线相交得到点。

※5.棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱。

※6.侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱，所有侧棱长都相等。

¤7.棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。

¤8.根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形……¤9.长方体和正方体都是四棱柱。

¤10.圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。

¤11.圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。

※12.设一个多边形的边数为n(n≥3，且n为整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条；可以把n边形成(n-2)个三角形；这个n边形共有条对角线。

◎13.圆上两点之间的部分叫做弧，弧是一条曲线。

◎14.扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。

¤15.凸多边形和凹多边形都属于多边形。

有弧或不封闭图形都不是多边形。※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。

※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。

（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

（0的相反数是0）※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。

¤数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。

正数在原点的右边，负数在原点的左边。

※绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

数a的绝对值记作|a|。

※正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。

或※绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0※比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。

比较两个负数的大小的步骤如下：①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

※绝对值的性质：①对任何有理数a，都有|a|≥0.②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然.③若|a|=b，则a=±b.④对任何有理数a,都有|a|=|-a|※有理数加法法则：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。

③一个数同0相加，仍得这个数。

※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。

¤灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加；②符号相同的数，可以先相加；③分母相同的数，可以先相加；④几个数相加能得到整数，可以先相加。

※有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

¤有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数）有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。

¤有理数的加减法混合运算的步骤：①写成省略加号的代数和。

在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。

0-1-2-3123越来越大第3页共45页（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。

）※有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘，积仍为0。

※如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。

（如：-2与、…等）2135与※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。

¤有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；②求出各因数的绝对值的积。

¤乘积为1的两个有理数互为倒数。

注意：①零没有倒数。

②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。

一个带分数要先化成假分数。

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

※有理数除法法则：①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

②0除以任何非0的数都得0。

0不可作为除数，否则无意义。

※有理数的乘方※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。

※乘方的运算性质：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③任何数的偶数次幂都是非负数；④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。

※有理数混合运算法则:①先算乘方,再算乘除,最后算加减②如果

有括号,先算括号里面的.第三章字母表示数※代数式的概念：用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；②代数式中不含有“=、、n).※2.在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,(-2.50=1),则00无意义③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这是正整数),而0-1,0-3都是无个数的p的次幂的倒数,即意义的;当a0时,a-p的值一定是正的;当a1时，伸长为原来的n倍；②当01时，伸长为原来的n倍；②当00）或向左(a0）或向下(b0），所得的图形与原图形相比，形状不变；①当n1时，对应线段大小扩大到原来的n倍；②当00时,y随x的增大而增大;当k”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.¤2.要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.※3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数大于等于0(≥0)0和正数不小于0非正数小于等于0(≤0)0和负数不大于0二.不等式的基本性质※1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果ab,那么a+cb+c,a-cb-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果ab,并且c0,那么3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号

的方向改变,即:如果ab,并且cb,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么ab;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果aba-b0a=ba-b=0aa-bb(或ax0时,解为;②当a=0时,且bbba两大取较大两小取小※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。

（如图1所示，AO=BO=CO）※角平分线上的点到角两边的距离相等。

※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

(如图2所示，OD=OE=OF)第二章一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为的形式，这样的方程叫一元二次方程。

ACBO图1图2OACBDEF第29页共45页※把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次为一次项系数；c为常数项。

项系数；b常数，a≠0）

※解一元二次方程的方法：①配方法在找abc时须先把方程化为一般形式）②公式法（注意③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成的形式；⑥两边开方求其根。

※根与系数的关系：当b2-4ac0时，方程有两个不等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac。

（通常第二种方法更适用）※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画第33页共45页的；②选取的点越多画的图越准确；③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。

※反比例函数性质：①当k0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；②当k0）或向左（h0）或向下（k0，则当x时，y随x的增 若a时，y随x的增大而增大。

大而减小。

④最值：若a0，则当x=时，；若a0抛物线与x轴有2个交点；抛物线与x轴有1个交点；抛物线与x轴有0个交点（无交点）；c2※当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：------这就是抛物线与x轴的两交点化简后即为：之间的距离公式。※1.

与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：经过圆心的弦叫做直径。

②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。

)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.※2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

※3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如

果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

※4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三.圆周角和圆心角的关系:※1.1°的弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.※2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB=,这是错误的.※3.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※4.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；第41页共45页※推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；※四.确定圆的条件:※1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.※2.经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.※定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.※3.三角形的外接圆、三角

形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五.直线与圆的位置关系※1.直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.※2.直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d直线L和⊙O相交.②d=r直线L和⊙O相切.③dr直线L和⊙O相离.※3.切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.※4.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.※推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线;②过切点;③过圆心.※5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.※6.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.第42页共45页(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形

的这个内角.六.圆和圆的位置关系.※1.外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交:两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.※2.两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离dR+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-rd=R-r(Rr)(5)两圆内含dr)※3.相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.※4.相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.七.弧长及扇形的面积※1.圆周长公式:圆周长C=2R(R表示圆的半径数※2.弧长公式:弧长(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度※3.扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.※4.弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.※5.圆的面积公式.圆的面积(R表示圆的半径※6.扇形的面积公式:扇形的面积(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)3602扇形※弓形的面积公式:(如图5)第43页共45页图5OBCACBAOCBAO(1)当弓形所含的弧是劣弧时,三角形扇形弓形当弓形所含的弧是优弧时,三角

形扇形弓形当弓形所含的弧是半圆时,扇形弓形八.圆锥的有关概念:※1.圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.※2.圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l,底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是侧底面侧表¤九.与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.¤十.圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征:①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.※十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB，PO平分∠APB第44页共45页_图6_P_O_B_A2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=∠B_O_C_D_A_B3．和圆有关的比例线段：①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

如图8，AP•PB=CP•PD如图9，若CD⊥AB于P，AB为⊙O直径，则CP2=AP•PB4．切割线定理①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如图10，①PT切⊙O于T，PA是割线，点A、B是它与⊙O的交点，则PT2=PA•PB②PA、PC是⊙O的两条割线，则PD•PC=PB•PA5．两圆连心线的性质①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。

②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。

如图11，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，则连心线O1O2⊥AB且AC=BC。

6．两圆的公切线两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。

如图12，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，连结O1A，O2B，过O2作O2C⊥O1A于C，公切线长为l，两圆的圆心距为d，半径分别为R，r则外公切线长：_图7第45页共45页如图13，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，O2C∥AB，O2C⊥O1C于C，⊙

O1半径为R，⊙O2半径为r，则内公切线长：图10_B_D_C_O_A_T_P_图8_图9_P_A_B_C_D_O_图图11_B_C_A_O_2_O_1_12_O_1_B_A_r_R_C_d_O_2_O_2_d_C_R_r_A_B_O_1_图13‘第46页共45页第四章统计与概率1.实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次数再多,也很难保证实验结果与理论值相等,这就是“随机事件”的特点.三.游戏公平吗?1.游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会,或者游戏多方赢的机会相等.2.表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在0与1之间.3.概率的预测的计算方法:某事件A发生的概率:基本事件的总数包含的基本事件的个数事件用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点:(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;(2)要弄清楚所有机会均等的结果.