2024年3月27日发(作者：池州到南京中考数学试卷)

第一篇 绪论

内容：（三句话）

典型题例：

1、离散数学是计算机科学所涉及的 和 的

总称。

2、离散数学是数学中的一个分支，它以 作为其

主要研究对象，非常重视 问题的研究。

3、要解决一个问题，首先要证明此问题解的 ，

还需要找出得到此问题的步骤来，而且其步骤必须

是 ，有规则的，这就是所谓“能行性”问题的研

究。

第二篇 集合论

内容：

典型题例：

1、设集合

B



a

,3,4,2

，那么下列命题中正确的

是 。

A、

aB

B、

2,

a

,3,4

B

C、

a

B

D、

B

1,B{1,{1,2}}

，则 。2、设A，B是集合，如果

A



A、

AB且AB

B、

AB但AB

C、

AB且AB

D、

AB且AB

3、设集合

A

2,a,

3

,4

，那么下列命题中错误的是＿＿＿。

A

a

A

B、

a,4,

3



A

C、

a

A

D、A、

B

xx2k,kZ

4、设集合，

C

1,2,3,4,5

,则

A(CB)

。

1,3,5

B、

2,4,6

C、

0,6,7,8

D、

0,2,4,6,7,8

A、

Axx3,xZ

1 / 11



，

1,2,3,4

，

B

2,4,6,9

，那么集合A，B的对称差5、设

A

A+B= 。

1,3,6,9

D、

1,3

B、

2,4,6

C、

1,2,3,4,6,9

A、

6、集合

X

a,b,c,d,e

，X上的一个划分

{a,b},{c,d}{e}

，那

么

所对应的等价关系R应有有 个序偶。

A、8 B、9 C、10 D、13

1,2,3

上的二元关系

R

(1,1),(3,3)

，则R不具7、设集合

B

有＿＿＿。

A、传递性 B、自反性 C、对称性 D、反对称性

1,2,3,4

，X上的关系

R

(1,1),(2.3),(2,4),(3,4)

，8、设集合

X

则R具有 。

A、自反性 B、非自反性 C、对称性 D、传递性

1,2,3,4

，9、设集合

A

A上的二元关系

R

(1,2),(1,4),(2,4),(3,3)

，

(1,4),(2,3),(2,4),(3,2)

，则关系＿＿＿

(1,4),(2,4)

。

A、

RS

B、

RS

C、

RS

D、

RS

10、设集合

X

a,b,c

，

1

，

2

和

3

都是X上的二元关系，其

1

(a,b),(b,a),(c,c)

2

(a,c),(b,b),(c,b)

中，，

3

(a,c),(b,a),(c,a)

，则

3

＿＿＿。

A、

2

1

B、

1

2

C、

1

1

D、

2

2

11、

A

a,b,c,d

,B{

,

}

，那么可以定义 种不同的

从A到B的映射。

A、8 B、16 C、32 D、64

2

f:RR,f(x)(x2)

12、设R是实数集，函数，则f是＿

＿＿。

A、单射 B、满射 C、双射 D、既不是单射，也不是满射

13、设R是实数集，映射

f:RR,f(r)2r8

，则f是＿

＿＿＿＿＿。

A、单射 B、满射 C、双射 D、都不是

14、设

x

2,4,6,

，集合的这种表示方法称为＿＿＿＿＿＿；

Y={x│x是正偶数}，集合的这种表示方法称为＿＿＿＿＿。

2 / 11

15、设全集

E

a,b,c,d,e

，

A

a,b,c

，

B

a,d,e

，则：

~A~B

＿＿＿＿＿＿＿，A+B= ＿＿＿＿＿＿＿。

16、A，B，C为 任意三集合，则

A(BC)(AB)C

。

17、

{

}

，

{

,{a}}

。

18、设

A

,a

，则

(A)

。

19、设集合

A

2,3,4,6,9,12,18

，R是A上的整除关系，则A

的极大元是＿＿＿，极小元是＿＿＿。

20、设集合

X

2,3,4,5,6,8,9,10

，R是X上的整除关系，则X

的极大元是＿＿＿，极小元是＿＿＿。

21、对于一个关系R，它可能具

有 、 、 、 、 等

五种性质。

22、对于一个等价关系

R

(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)

，则它

对应的等价类为 。

23、设集合

A

a,b,c,d,e

，A上的等价关系

R

(a,a),(a,d),(b,b),(b,e),(c,c),(d,a),(d,d),(e,b),(e,e)

，则它所对

应的等价类为 。

1,2,3,4,5,6,7

，A上的一个划分24、设集合

A

{1,3,5,7},{2,4,6}

，那么π所对应的等价关系R应有＿＿＿

个序偶。

25、凡与自然数集等势的集合都是可列集，那么整数集Z

是 ，实数集R是 。

26、一集合为无限集，则它必含有与其＿＿＿的真子集，在

无限集中，最小的无限集是＿＿＿，其次是＿＿＿。

27、集合A={a,b,c}的幂集ρ（A）上的“

”关系是一个偏

序关系，设B={{a,b},{b,c},{b},{c},Φ，则B的极大元素

为 ，极小元为 ，上确界

为 ，下确界为 。

3 / 11

28、设A，B为有限集，且

Am,Bn

，那么A与B间存

在双射，当且仅当 。

1,2,3,4,5

，

B

a,b

，则从A到B的所有映射29、设集合

A

有＿＿＿个，其中满射有＿＿＿个。

30、设集合

A

a,b,c

，

B

1,2,3

，则从A到B的所有映射有

＿＿＿个，其中双射有＿＿＿个。

31、证明题

设A，B，C为任意集合，试证明：

A(BC)(AB)(AC)

。

32、简答题

试解释偏序关系和等价关系的概念，并给出一个集合上

的关系，使它既是偏序关系又是等价关系。

1,2,

，并设~是N×N上的关系，其定义为：若33、设

N

ad=bc，则有（a,b）~(c,d)，试证明：~是一个等价关系。

34、计算题

1,2,3

，

C

，求：1、 设集合

A

,a

，

B

(A)A,AB,ABC

。

1,2,3

，

C

3,4

，求：2、 设集合

A

a,b

，

B

A

A,

AB

AC

。

3、 设集合

A

a,b

，

B

0,1

，

C

，求：

A

2

B,(BA)

2

,ABC

。

1,2,3,4

，A上二元关系

R

(a,b)ba2

，4、设集合

A

S(a,b)ba1或ba/2

，求（1）复合关系

RS,SR

，

（2）求R与

RS

的逆关系的关系矩阵。

5、 集合

A

a,b,c,d

，

R

(a,a),(b,a),(b,c),(b,d),(d,d)

，

求

r

R

，

s

R

和

t

R

。

6、设集合

A

a,b,c,d,e

，A的二元关系

R

(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,e),(c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)

（1）画出偏序集（A，R）的哈斯图；

（2）写出A的最大元、最小元；



4 / 11

（3）判定偏序集（A，R）是不是格？元素b的补元素是

什么？

7、设

S

a,b,c,d,e,f

，S上的偏序关系R={(a,a), (b,a),

(b,b),(c,a),(c,c),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(e,a),

(e,c),(e,e),(f,f)}。

（1）试画出偏序集（S，R）的哈斯图；

（2）写出（S，R）的最大(小)元，极大（小）元。

第三篇 代数系统

内容：

典型题例：

1、下面的代数系统（G，*）中，＿＿＿不是群。

A、G=Q，*是加法 B、G=Q，*是乘法

C、

G

ab2a,bQ

，*是加法 D、

G

3iiZ

，*是加法

2、设G是含6个元素的循环群，a是生成元，则下列为G

的子群的是＿＿＿。

3

2

A、

a

B、

a,e

C、

e,a

D、

e,a,a

3、下面的代数系统（G，*）中，*是普通加法运算，则

不是群。

A、G为有理数集合 B、G为整数集合

C、G为实数集合 D、G为自然数集合

4、设

(R,,)

是环，

(S,,)

是它的子代数，

(S,,)

是

(R,,)

的

子环的充要条件是 。

1

A、

对a,bS,都有abS

B、

对a,bS,都有abS

1

C、

对aS,都有aS

D、存在单位元

5、下面的代数系统（G，*）中，＿＿＿不是群。

A、G为n阶方阵的集合，*为矩阵乘法

B、G为有理数集合，*为加法

C、G为整数集，*为加法

5 / 11

D、G为偶数集，*为加法

6、一个群

G,

，而H是G的子集，那么

H,

是

G,

的子群的

充要条件是＿＿＿＿＿＿。

1

A、

aH,

则

aH

B、

a,bH,

则

abH

1

C、

a,bH,

则

a

bH

D、存在单位元，存在逆元

7、在群

Z

8

,

8

中，其单位元为 ，[2]的逆元素

为 ，而[2]的周期为 。

8、在群

Z

5

,

5

中，其单位元为 ，所有可能的子

群为 。

1,2,3,4

上的两个变换

与

分别为：9、设集合

A

1

1234

3

1324

，



234

，则

= 。

412

10、集合

A

1,2,3,4,5,6

上的两个变换

与

分别为

314652



231465



，



，则

123456



123456

=＿＿＿＿ 。

11、在群

Z

6

,

6

中，其单位元为＿＿＿，[2]的逆元素为＿＿

＿，而[2]的周期为＿＿＿。

12、集合

A

a,b,c,d,e

上的两个变换

与

分别为

abc

bcd

d

e

a

e

a

，

c

bcd

bd

e

ae

，则

=＿＿＿＿＿＿。

13、设

A

2,4,6,8

，二元运算*定义为a*b=min(a,b),那么在（A，

*）中，单位元是＿＿＿，零元是＿＿＿。

14、在群

Z

5

,

5

中，其单位元为＿＿＿，所有可能的子群为

＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

15、分析题

1、设在有理数集Q上的有运算

定义为：

a,bQ,ababab

。

（1）

Q,

是代数系统吗：

（2）

Q,

是半群吗？是可换半群吗？

6 / 11

（3）

Q,

有单位元吗？单位元是什么？

（4）

Q,

中每个元素有逆元素吗？任一元素

a

的逆

元素是什么？

2、设Q为有理数集，在Q上定义集合

Q

5

ab5a,bQ

，

运算*是普通乘法。

（1）

Q

5

,*

是代数系统吗?

（2）

Q

5

,*

是半群吗？是可换半群吗？

（3）

Q

5

,*

有单位元吗？单位元是什么？

（4）

Q

5

,*

中每个元素有逆元素吗？任一元素

ab5

的逆元素是什么？

3、设

Z

是正整数集，

a,bZ

,a

blcm(a,b)

（即a,b的最小

公倍数），试问：

（1）

(Z

,)

是半群吗？

（2）

(Z

,)

有单位元吗？单位元是什么？

（3）

(Z

,)

是否每个元素都有逆元素？

16、计算题：

1、 求

(Z

12

,

12

)

中子群H={[0]，[3]，[6]，[9]}的左、

右陪集，并问左、右陪集是否相等？。

2、 找出

(Z

12

,

12

)

的所有子群。

14、试证若群（G，*）的每个元素的逆元素都是它自己，则

该群必是可换群。

7 / 11

第四篇 图论

内容：

典型题例：

1、设G是由5个顶点组成的完全图，则从G中删去 条

边可以得到树。

A、10 B、5 C、4 D、 6

2、一有向图G=，其对应的邻接矩阵为

A(a

ij

)

nn

，则

对于

v

n

i

V

，它的引入次数为 。

n

nn

n

A、

a

ki

B、

a

ik

C、

(a

ki

a

ik

)

D、

a

ki

a

ik

k1

k1

k1k1

k1

3、设连通图G=，其中

Vn,Em

，则要删去G中

条边，才能确定G的一棵生成树。

A、n-m-1 B、n-m+1 C、m-n+1 D、m-n-1

4、无向连通图G中结点

v

i

和v

j

间存在欧拉通路的充要条件是

G中

v

i

和v

j

的次数均为 ，而其他结点的次数

为 。

5、一个有向（n, m）图中任何基本通路长度均小于或等

于 ，而任何基本回路长度均小于或等

于 。

6、在图G=＜V，E＞中，结点次数与边数的关系

是 。

7、在有向图的邻接矩阵

A(a

ij

)

nn

中，第i行元素之和

为 ，而

BA

3

中的任一个元素

b

ij

代表的含

义为 。

8、D是具有结点

v

1

,v

2

,v

3

的有向图，它的邻接矩阵表示如下：

101

A

001



100

（1）D是单向连通的，还是强连通的？

（2）求从

v

1

到

v

3

，长度为3的通路数。

8 / 11

9、设有向图D=＜V，E＞，其中V={a1,a2,a3,a4,a5}，

E={(a1,a2),(a2,a4),(a3,a1),(a4,a5),(a5,a2)}，

（1） 求D的邻接矩阵。

（2）利用可达性矩阵判断其连通性。

10、D是具有结点

v

1

,v

2

,v

3

,v

4

的有向图，它的邻接矩阵表示如下：

1

1

A

1

1

110

010

001

000

（1）利用可达性矩阵的特性，判断D的连通性；

（2）求从

v

1

到

v

2

，

v

1

到

v

3

，

v

1

到

v

4

长度是3的通路数。

11、设

V

v

1

,v

2

,v

3

,v

4

,v

5

,v

6

，画出无向图G=，其中：

E



v

1

,v

2

,

v

1

,v

3

,

v

2

,v

3

,

v

2

,v

4

,

v

4

,v

5

,

v

4

,v

6

,

v

6

,v

5



，再求每个结

点的次数。

12、设

V

v

1

,v

2

,v

3

,v

4

,v

5

，画出无向图G=，其中：

E



v

1

,v

2

,

v

1

,v

4

,

v

2

,v

3

,

v

2

,v

4

,

v

3

,v

5

,

v

4

,v

5



，再求每个结点

的次数。

第五篇 数理逻辑

内容：

典型题例：

1、设命题公式

G(PQ)P

，则G是 。

A、恒真的 B、恒假的 C、可满足的 D、合取范式

2、设命题公式G=

P(QR)

，则使G为真的解释

是 。

A、（F，F，F） B、（F，F，T）

C、（F，T，F） D、（T，F，F）

3、n个命题变元可以组成也只能组成 个不等的

9 / 11

公式。

n

2

2n

n!

n

A、 B、 C、

2

D、

2

4、命题公式

(P(PQ))Q

是＿＿＿。

A、矛盾式 B、蕴含式 C、重言式 D、等价式

5、下列命题中， 是重言式。

A、

(PQ)(QP)

B、

(PQ)P

C、

(PQ)

D、

(PQ)(PQ)

6、设L(X)：x是演员，J(x)：x是教师，A（x,y）x佩服y，

命题“所有演员都佩服某些教师”可符号化为＿＿＿＿＿＿。

A、

x(L(x)A(x,y))

B、

x(L(x)y(J(y)A(x,y)))

C、

xy(L(x)J(y)A(x,y))

D、

xy(L(x)J(y)A(x,y))

7、设A(X)：x是人，B(x)：x犯错误，命题“没有不犯错误

的人”可符号化为＿＿＿。

A、

x(A(x)B(x))

B、

x(A(x)B(x))

C、

x(A(x)B(x))

D、

x(A(x)B(x))

8、设命题公式

GP(QP)

，则使G为真的解释

是 。

9、谓词演算的公理系统中，全称规则为： ；

存在规则为 。

10、语句“对所有x”称为全称量词，记作＿＿＿＿＿＿，

语句“存在某些x”称为存在量词，记作＿＿＿＿＿＿。

11、若命题变元P，Q，R，的一个指派为（T，F，T），则命

题公式

G((PQ)R)(PQ)

的真值是 。

12、将

P(P(Q(QR)))

化为特异析取范式，特异

合取范式。

13、试求命题公式

(PQ)

QP

的特异析取范式和特异合

取范式。

14、试求公式

PQ

PQ

的特异析取范式和特异合

取范式。

10 / 11

15、证明：

PQ

RQ

PRQ

。

16、 证明命题公

(P(QR))PQ(PQ)

。

式

17、试证语句：“不会休息的人也不会工作，没有丰富知识

的人也不会工作。”与语句“工作得好的人一定会休息并且

有丰富的知识”具有相同的逻辑含义。

11 / 11


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