2023年12月11日发(作者：孟建平五上数学试卷题目)

高等数学（下）期末试卷参考答案一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。1、f(x,y)和f(x,y)存在是函数f(x,y)在点(x,y)连续的（）。x00y0000 A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。3、设u (x2y2z2)，则div(gradu)＝（）。x21y2z2；B.x22y2z2；C.(x21y2z2)2；D.(x22y2z2)21,1),(1,1),(1,1)为顶点的三角形区域，D是D中在第一象限的部分，则积3、设D是xoy面上以(1分D(x3ycos3xsiny)d＝（）； B.2x3yd； C.4(x3yD1D1 A.2cos3xsinydD1cos3xsiny)d；x2y24、设为曲面x2y2R2(R0)上的0z1部分，则esin(x2y2)dS＝（）。； R2； C.4R； D.2ReRsinR25、设二阶线性非齐次方程y解为（）。 A.x (x)yq(x)yf(x)有三个特解y1x，y2ex，y3e2x，则其通Cex1Ce2x； 122Ce2x；32C(ex1e2x)C(xex)； D.C(ex21e2x)C(e2xx)二、填空题（每题３分，总计１５分）。1、函数f(x,y)2、若曲面x23、二重积分102x2ax3z2xy22y在点(1,1)处取得极值，则常数a＝______。2y221的切平面平行于平面x4y6z250，则切点坐标为____________。dy1yyex3dx的值为______________。所占闭区域为x4、设空间立体yz1,x0,y0，上任一点的体密度是(x,y,z)x5、微分方程yyz，则此空间立体的质量为____________。y的通解为_____________________。xy2三、计算题（每题７分，总计３５分）。1、已知f(x,y,z)2xyz2及点A(2,1,1)、B(3,1,1)，求函数f(x,y,z)在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。2z2、设zf(xy,xy)具有连续的二阶偏导数，求。xy33、将函数f(x)展开成x的幂级数，并指出收敛域。2xx24、设yy(x)满足方程y3y2y2ex，且其图形在点(0,1)与曲线yx2x1相切，求函数y(x)。ds5、计算，其中L是螺旋线x8cost,y8sint,zt对应0t2的弧段。2y2z2xL四、计算题（每题７分，总计３５分）。1231、设a0，计算极限lim(a2a3na2、计算zdv，其中由不等式zn)的值。anx2y2及1x2y2z24所确定。3、计算axdydz(za)2dxdyx2y2z2，其中为下半球面za2x2y2的下侧，a为大于零的常数。4、将函数f(x)x(1x1)展开成以2为周期的傅立叶级数。5、设函数f(x)具有连续导数并且满足f(1)3，计算曲线积分(yf2(x)x)dx(x2f(x)y)dy的L值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L是由(1,2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线。五、本题５分。(1)n可选题1、对p0，讨论级数的敛散性。n1n1np可选题2、设D(x,y)x2y21，u(x,y)与v(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，uuvvFv(x,y)iu(x,y)j,Gxyixyj，且在D的边界曲线L（正向）上有u(x,y)1,v(x,y)y，证明FGdD一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ二、填空题（每题３分，总计１５分）。1、-5；2、(1,x1112,2)；3、(1e)；4、；5、yC68y三、计算题（每题７分，总计３５分）。1、已知f(x,y,z)2xyz2及点A(2,1,1)、B(3,1,1)，求函数f(x,y,z)在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。fff2y,2x,2z解：由条件得xyz122AB{1,2,2}{,,}{cos,cos,cos}333122cos,cos,cos333AB0ffff10coscoscos从而=lxyzA(2,1,1)3点A的梯度方向是lgradfA{2y,2x,2z}A{2,4,2}f2242222426所以方向导数的最大值是l2z2、设zf(xy,xy)具有连续的二阶偏导数，求。xyzfyf,解：12xzfxf12yff2zz12ffyfy22xyyyyxy1(fxf)y(fxf)f111221222f(xy)fxyff111222233、将函数f(x)展开成x的幂级数，并指出收敛域。2xx2311111f(x)2xx21x2x1x21x/2解：nn1x(1)xn(1)n1xnn1222n0n0n0收敛域为(1,1)。4、设yy(x)满足方程y3y2y2ex，且其图形在点(0,1)与曲线yx2x1相切，求函数y(x)。解：由条件知yy(x)满足y(0)1,y(0)1由特征方程r23r20r11,r22,对应齐次方程的通解YC1exC2e2x设特解为y*Axex，其中A为待定常数，代入方程，得A2y*2xex从而得通解yC1exC2e2x2xex,代入初始条件得C11,C20最后得y(x)(12x)ex5、计算Lds，其中L是螺旋线x8cost,y8sint,zt对应0t2的弧段。x2y2z2解：dsx2y2z2dt65dtttt20L2dsdt65t65arctan88x2y2z282t20658四、计算题（每题７分，总计３５分）。1231、设a0，计算极限lim(a2a3nan)的值。an1nnx(1x1)，则原问题转化为求和函数在x处的值解：设s(x)n1a而s(x)xn1nxn1xn1(xn)x(n1xn)x(xn1xn1)xxx(1x)21xa1故所求值为sa(a1)22、计算zdv，其中由不等式zx2y2及1x2y2z24所确定。204242zdvddrcosr2sindr2sincosdr3dr解：010114215sin2d2r2481043、计算axdydz(za)2dxdyx2y2z2，其中为下半球面za2x2y2的下侧，a为大于零的常数。解：取xoy为xoy面上的圆盘x2y2a2，方向取上侧，则axdydz(za)2dxdyx2y2z21axdydz(za)2dxdya1axdydz(za)2dxdyaxdydz(za)2dxdyaxoyxoy1(2z3a)dva2dxdyaDxy12a223222ddrcosrsind3aaaaa0032a411a14cossindr3dra4a4a3aa22024、将函数f(x)x(1x1)展开成以2为周期的傅立叶级数。解：所给函数在[1,1]上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在[1,1]内收敛于函数本身。2(1)n1a2xdx1，a2xcosnxdx，bn0(n1,2,)0n2n2110012f(x)22(1)n1cosnx(1x1)n2n1L5、设函数f(x)具有连续导数并且满足f(1)3，计算曲线积分(yf2(x)x)dx(x2f(x)y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L是由(1,2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线。解：由条件有2xf(x)yyf2(x)x2xfx2ffxy设zf1，则得z221fffxx2221zfxx211zCx23x代入条件得C0f(x)3x，从而原积分变为L(yf2(x)x)dx(x2f(x)y)dy(9x2yx)dx(3x3y)dy9x2Lydx3xdy9(3x)x32123xdx27x321L212xdx183五、本题５分。(1)n可选题1、对p0，讨论级数的敛散性。n1n1np(1)n解：p>1时级数绝对收敛；p≤1时分散。n1n1np可选题2、设D(x,y)x2y21，u(x,y)与v(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，uuvvFv(x,y)iu(x,y)j,Gxyixyj，且在D的边界曲线L（正向）上有u(x,y)1,v(x,y)y，证明证明：FGdDFGd[(uDxu)v(vv)u]dyxyy[(vuuv)(vuuv)]dxxyDD[(uv)(uv)]dxyDuvdxuvdyydxydyLLdD


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