2011年高考全国数学试卷(新课标)-文科(含详解答案)

2024年4月6日发(作者：高三理科数学试卷2023答案)

绝密★启用前

2011年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学(必修+选修I)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4

页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证

号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.

．．．．．．．．．

3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

一、选择题

MIN）=

(1)设集合U=



1,2,3,4



,

M



1,2,3



,N



2,3,4



,

则

ð（

U

3



（C）



2，4



（D）



1，4



2



（B）



2，

（A）



1，

【答案】D

【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.

【解析】

QMIN{2,3},ð

U

(MIN){1,4}

(2)函数

y2x(x0)

的反函数为

x

2

（A）

y

4

(xR)

（B）

y

x

2

4

(x0)

（C）

y4x

(xR)

（D）

y4x(x0)

【答案】B

【命题意图】本题主要考查反函数的求法.

【解析】由原函数反解得

x

y

2

22

4

,又原函数的值域为

y0

,所以函数

y2x(x0)

的反函

数为

y

x

2

4

(x0)

.

rr





1

(3)设向量

a,b

满足

|a||b|1

,

ab

,则

a2b

2

（A）

2

（B）

3

（C）

5

（D）

7

【答案】B

【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.

rr

rrrrrur

1

222

【解析】

|a2b||a|4ab4|b|14()43

,所以

a2b

2



xy6



(4)若变量x，y满足约束条件



x3y-2

，则

z=2x3y

的最小值为



x1



3

（A）17 （B）14 （C）5 （D）3

【答案】C

【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.

【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线

z=2x3y

过直线x=1与x-3y=-2

的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.

(5)下面四个条件中，使

ab

成立的充分而不必要的条件是

（A）

a＞b1

（B）

a＞b1

（C）

a

2

＞b

2

（D）

a

3

＞b

3

【答案】A

【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.

【解析】即寻找命题

P

,使

Pab

,且

ab

推不出

P

,逐项验证知可选A.

(6)设

S

n

为等差数列



a

n



的前

n

项和，若

a

1

1

，公差

d2

，

S

k2

S

k

24

，则

k

（A）8 （B）7 （C）6 （D）5

【答案】D

【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.

【解析】解法一

S

k2

S

k

[(k2)1

(k2)(k1)

2

2][k1

k(k1)

2

2]4k424

，解得

k5

.

解法二:

S

k2

S

k

a

k2

a

k1

[1(k1)2](1k2)4k424

，解得

k5

.

(7)设函数

f(x)cos



x(



0)

，将

yf(x)

的图像向右平移



3

个单位长度后，所得的图像

与原图像重合，则



的最小值等于

1

（A） （B）

3

（C）

6

（D）

9

3

【答案】C

【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.



【解析】由题意将

yf(x)

的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说

3

2





k(kZ)

,解得



6k

,又



0

,令

k1

,得明了是此函数周期的整数倍,得



3

3



min

6

.

(8)已知直二面角



l



,点

A



，

ACl

,

C

为垂足,

B



，

BDl

,

D

为垂

足,若

AB2,ACBD1

，则

CD

（A） 2 （B）

3

（C）

2

（D）1

【答案】C

【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.

l



A

D

C



B

【解析】因为



l



是直二面角,

ACl

,∴

AC

平面



,

ACBC

BC3

,又

BDl

,

CD2

(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有

(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种

【答案】B

【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.

2

【解析】第一步选出2人选修课程甲有

C

4

6

种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选

1门课程有

22

种选法，根据分步计数原理，有

6424

种选法.

(10) 设

f(x)

是周期为2的奇函数，当

0x1

时，

f(x)2x(1x)

,则

f(

(A) -

1

2

5

2

)

(B)



(C)

4

11

4

(D)

1

2

【答案】A

【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期

性和奇偶性把自变量



5

2

转化到区间[0,1]上进行求值.

的奇函数,利用周期性和奇偶性得:

【解析】由

f(x)

是周期为2

f(

5

2

)f(

5

2

2)f(

11111

)f()2(1)

22222

(11)设两圆

C

1

、

C

2

都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离

C

1

C

2

=

(A)4 (B)

42

(C)8 (D)82

【答案】C

【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.

【解析】由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为

(a,a)(a0)

,则

a(a4)(a1)

2

22

,即

a

2

10a170

,所以由两点间的距离公式可求出

2(100417)8

.

C

1

C

2

2[(a

1

a

2

)4a

1

a

2

]

(12)已知平面α截一球面得圆

M

，过圆心

M

且与α成

60

0

二面角的平面β截该球面得圆

N

.

若该球面的半径为4，圆

M

的面积为4



，则圆

N

的面积为

(A)7



(B)9



(C)11



(D)13



【答案】D

【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.

【解析】如图所示,由圆

M

的面积为4



知球心

O

到圆

M

的距离

OM23

ON

1

2

,在

RtOMN

中,

2

OMN30

2



, ∴

OM3

,故圆

N

的半径

rRON13

,∴圆

N

的面积为

S



r

2

13



.

第Ⅱ卷

注意事项：

1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填

写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2第Ⅱ卷共2页，

请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无

．．．．．．．．

效。

．

3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

(注意：在试卷上作答无效)

．．．．．．．．

(13)

(1x)

的二项展开式中，

x

的系数与

x

的系数之差为 .

【答案】0

【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.

rrrrr9

9

【解析】由

T

r1

C

10

(x)(1)C

10

x

得

x

的系数为

10

,

x

的系数为

C

10

10

,所以

x

10

9

的系数与

x

的系数之差为0.

(14)已知



(



,

5

5

3



2

)

,

tan



2

,则

cos





.

9

【答案】



【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式. 要注意角的范围，进而确定值的符

号.

【解析】



(



,

3



2

)

,

tan



2

,则

cos







5

5

.

(15)已知正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，E为

C

1

D

1

的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦

值为 .

【答案】

2

3

【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线AE与BC所成的角.

【解析】取A

1

B

1

的中点M连接EM，AM，AE，则

AEM

就是异面直线AE与BC所成的角。在

AEM

中，

cosAEM

235

223

22



2

3

.

(16)已知

F

1

、

F

2

分别为双曲线

C

:

x

2

9



y

2

27

1

的左、右焦点，点

AC

，点

M

的坐标为(2，

0)，

AM

为

F

1

AF

2

的平分线．则

|AF

2

|

.

【答案】6

【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质.

【解析】

Q

AM

为

F

1

AF

2

的平分线，∴

|AF

2

|

|AF

1

|



|MF

2

|

|MF

1

|



4

8



1

2

∴

|AF

1

|2|AF

2

|

又点

AC

，由双曲线的第一定义得

|AF

1

||AF

2

|2|AF

2

||AF

2

||AF

2

|2a6

.

三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)

．．．．．．．．．

设等比数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

.已知

a

2

6,

6a

1

a

3

30,

求

a

n

和

S

n

.

【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a

1

和公比q的方程，求出a

1

和q，

然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。

【解析】设



a

n



的公比为q,由题设得

a

1

q6



…………………………………3分



6aaq30



11

解得





a

1

3



q2

或





a

1

2



q3

， …………………………………6分

当

a

1

3,q2

时，

a

n

32

n1

,S

n

3(2

n

1)

；

当

a

1

2,q3

时，

a

n

23

n1

,S

n

3

n

1

……………………………10分

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

．．．．．．．．．

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知

asinAcsinC

(Ⅰ)求B；

（Ⅱ）若

A75

0

,b2,

求a，c

.

【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。

（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解.

【解析】(I)由正弦定理得

ac

22

2asinCbsinB

.

2acb

…………………………3分

2

由余弦定理得

b

2

a

2

c

2

2accosB

.

2

2

故

cosB

，因此

B45



.…………………………………6分

（II）

sinAsin(30



45



)

sin30cos45cos30sin45

2

4

sinA

sinB





6

…………………………………8分

故

ab

2

2

6

13

cb

sinC

sinB

2

sin60

sin45





6

.…………………………………12分

(19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)

．．．．．．．．．

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保

险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重

复试验发生k次的概率，考查考生分析问题、解决问题的能力.

【解析】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：

B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。

C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.

(I)

P(A)0.5

,

P(B)0.3

,

CAB

……………………………3分

P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8

……………………………6分

(II)D=

C

,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, ……………………………9分

P(E)=

C

3

2

0.20.8

2

0.384

. ……………………………12分

(20）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)

．．．．．．．．．

如图，四棱锥

SABCD

中，

AB

∥

CD

,

BCCD

，侧面

SAB

为等边三角形.

ABBC2,CDSD1

.

S

(I)

(II)

证明：

SD平面SAB

求AB与平面SBC所成角的大小。

D

C

【分析】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这

个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个

问题的关键辅助线。

(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其

它线进行转移求解。

【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角

的计算，注重与平面几何的综合.

解法一：(Ⅰ)取

AB

中点

E

，连结

DE

，则四边形

BCDE

2

，连结

SE

，则

SEAB

，为矩形，

DECB

A

S

B

D

F

A

E

H

G

B

C

SE3

.

222

又

SD1

,故

EDSESD

,

所以

DSE

为直角. ………………3分

由

ABDE

,

ABSE

,

DEISEE

,得

AB

平面

SDE

,所以

ABSD

.

SD

与两条相交直线

AB

、

SE

都垂直.