高二下学期数学期末考试试卷(理科)

2023年12月2日发(作者：嵩明高考数学试卷及答案)

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高二下学期数学期末考试试卷(理科)

(时间：120分钟，分值：150分)

一、单选题(每小题5分，共60分)

1．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是( )

x2y2A.－＝1(x≤－4)

169x2y2C.－＝1(x≥4)

169x2y2B.－＝1(x≤－3)

916x2y2D.－＝1(x≥3)

9162．用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为( )

A. 6,6 B. 5,6 C. 6,5 D. 6,12

3．下列存在性命题中，假命题是( )

A.

x∈Z，x2-2x-3=0

B. 至少有一个x∈Z，x能被2和3整除

C. 存在两个相交平面垂直于同一条直线

D. x∈｛x是无理数｝，x2是有理数

4．将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数．若点P(a，b)落在直线x＋y＝m(m为常数)上，且使此事件的概率最大，则此时m的值为 ( )

A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 名师精编 欢迎下载

25．已知点P在抛物线x4y上，则当点P到点Q1,2的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )

A.

2,1 B.

2,1 C.

1,1

4D.

1,1

46．按右图所示的程序框图，若输入a81，则输出的i=( )

A. 14

C. 19

B. 17

D. 21

7．若函数hx2x实数k的取值范围是( )

A. B.

k在1，在上是增函数，则x

C. D.

8．空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0~50为优，51~100为良。101~150为轻度污染，151~200为中度污染，201~250为重度污染，251~300为严重污染。一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图。利用该样本估计该地本月空气质量状况优良(AQI≤100)

的天数(这个月按30计算) ( )

A. 15

C. 20

B. 18

D. 24

9．向量a2,4,4,b2,x,2，若ab，则x的值为( ) 名师精编 欢迎下载

A.

C.

B.

D.

x10．已知e为自然对数的底数，则曲线yxe在点1,e处的切线方程为( )

A.

y2x1 B.

y2x1 C.

y2exe D.

y2ex2

x2y22211．已知双曲线221(a0,b0)的一条渐近线被圆xy6x50ab截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( )

A.

2 B.

3 C.

5

2D.

6

212．已知函数fx值范围是( )

A.

1lnx2在区间a,aa0上存在极值，则实数a的取3x12,

23B.

2,1

3C.

,11

32D.

,1

13二、填空题(每小题5分，共20分)

13．已知函数 ，在区间 上任取一个实数

，则使得

的概率为____________．

214．直线y3x与曲线yx围成图形的面积为________

15．设经过点2,1的等轴双曲线的焦点为F1,F2，此双曲线上一点N满足NF1NF1F2的面积___________

2，则NF16．函数fxx2sinx，对任意x1,x20,π，恒有fx1fx2M，则M的最小值为________.

三、解答题

17．(本小题10分)已知命题p：实数x满足x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，命题q：实名师精编 欢迎下载

x22x80数x满足{2

．

x3x100(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18．(本小题12分)某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获利润y万元之间有如表的统计

ˆaˆbxˆ，

数据：参考公式：用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为：yˆ其中：

bxynxy，

aˆ，

ˆybxxnxi1iin2ii12n参考数值：

218327432535420。

(Ⅰ)求出x,y；

(Ⅱ)根据上表提供的数据可知公司所获利润y万元与科研费用支出x万元线性相关，ˆaˆbxˆ；

请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y(Ⅲ)试根据(Ⅱ)求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润。

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19．(本小题12分)已知棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点.

(1)求证：DEC1F；

(2)求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值.

20．(本小题12分)已知抛物线C:y2x和直线l:ykx1，

O为坐标原点．

(1)求证：

l与C必有两交点；

(2)设l与C交于A,B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．

2名师精编 欢迎下载

x2y221．(本小题12分)已知椭圆C：

221(ab0)的左、右焦点分别为

F1,F2ab且离心率为2，过左焦点F1的直线l与C交于A,B两点，

ABF2的周长为42.

2(1)求椭圆C的方程；

(2)当ABF2的面积最大时，求l的方程.

22．(本小题12分)已知函数fxaxlnxaR .

2(1)讨论fx的单调性；

(2)若存在x1,,fxa，求a的取值范围. 名师精编 欢迎下载

20XX年下学期期末考试试卷

高二数学(理科)参考答案

1. D

解析：由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16，

x2y2∴所求轨迹方程为－＝1(x≥3)．

916答案：D

2．A

【解析】改写多项式fx3x4x5x6x7x8x1，则需进行6次乘法和6次加法运算，故选A.

3．C

【解析】x=-1，x2-2x-3=0； x=6时x能被2和3整除；两个平面垂直于同一条直线则这两个平面必平行； x=2 时x2是有理数，所以假命题是C.

4．C

【解析】由题意易知将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，点(a，b)共有36种情况，其中当a＋b＝7时，共有6种情况，即(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，此时概率最大，故当m＝7时，事件的概率最大．选C。

5．D

【解析】根据抛物线的定义P到焦点的距离等于P到准线的距离，所以点P到点Q1,2的距离与点P到抛物线焦点距离之和最小，只需点P到点Q1,2的距离与点P到准线的距离之和最小，过点Q1,2作准线的垂线，交抛物线于点P，此时距离之和最小，点P的坐标为1,1.

4名师精编 欢迎下载

6．A

【解析】执行程序，可得程序框图的功能是计算S=1+2+3+

输出i+1的值．

由于S=1+2+3+…+i=i的值，当S＞81时，ii1，

2当i=12时，S=1213=78＜81，

21314=91＞81，满足退出循环的条件，故输出i的值为13+1=14．

2当i=13时，S=故选：A．

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

7．A

【解析】因为函数在,0上是增函数，所以，故选A.

在,0上恒成立，所以考点：由函数在区间上的单调性求参数范围.

8．B

【解析】从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2,

空气质量良的天数为4,

该样本中空气质量优良的频率为

, 从而估计该月空气质量优良的天数为

9．D

【解析】由，可得，解得，故选D.

考点：空间向量坐标形式的运算. 名师精编 欢迎下载

10．C

xxxx【解析】因为yxe，所以y‘exe，曲线yxe在点1,e处的切线斜率，化简得y2exe，故选C.

ke1e2e，切线方程为ye2（ex1）11．D

22【解析】由题意得圆方程即为(x3)y4，故圆心为(3,0)，半径为2.

双曲线的一条渐近线为ybx，即bxay0，

a故圆心到渐近线的距离为d3bab223bab22。

∵渐近线被圆截得的弦长为2，

3bb2122∴12，整理得2。

22a2ab2ca2b2b216∴e。选D。

11aa2a222点睛：

双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e=的值或取值范围．

12．D

c转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率a【解析】，令，得x=1，当，，当，，所以x2是函数的极大值点，又因为函数在区间，解得，故选D． 上存在极值，所以名师精编 欢迎下载

考点：导数的应用，极值.

13．

【解析】当

时，

概率

故答案为

。

15．3

1914 .3S3xx2dxx2x3|3023203，

22【解析】设双曲线的方程为xy ，代入点M，可得3 ，

（21，）x2y21，∴双曲线的方程为xy3 ，即

3322设NF1m,NF2n，则{mn＝23mn＝2422，

mn6 ，

1NF1F2的面积为mn3．

2即答案为3

16．2π3.

3【解析】∵fxx2sinx，

∴fx12cosx，

∴当0x调递增。

3时，

fx0,fx单调递减；当3

fx0,fx单x时，名师精编 欢迎下载

∴当x3时，

fx有最大值，且fxminf2sin3。

3333又f00,f，

∴fxmax。

由题意得fx1fx2M等价于2Mfxmaxfxmin33。

33∴M的最小值为23。

3答案：

23

317．(1)2,4；(2)1,2

【解析】试题分析：(1)命题p：实数x满足x2-5ax+4a2＜0，解集A=(a，4a)．命题q：x22x80实数x满足{2

解集B=(2，4]．a=1，且p∧q为真，求A∩B即可得出．

x3x100(2)￢p：(-∞，a]∪[4a，+∞)．￢q：(-∞，2]∪(4，+∞)．利用￢p是￢q的充分不必要条件，即可得出．

试题解析：

（1）命题p：实数x满足x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，a＜x＜4a，解集A=(a，4a)，命题q：实数x满足，解得2＜x≤4．解集B=(2，4]，a=1，且p∧q为真，则A∩B=(1，4)∩(2，4]=(2，4)，∴实数x的取值范围是(2，4)．

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分

(2)￢p：(-∞，a]∪[4a，+∞)，￢q：(-∞，2]∪(4，+∞)．

若￢p是￢q的充分不必要条件，则，解得1≤a≤2． 名师精编 欢迎下载

又当a=1时不成立∴实数a的取值范围是(1，2]．

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分

ˆ5.6x8.4(3)64.4万元 18．19．(1)3.5，28(2)y【解析】试题分析：(1)利用平均值公式与所给参考数值求解即可；(2)利用公式求得ˆbni1iin2ii1xynxy2xnx42043.5285.6，将样本中心点的坐标代入回归方程，25443.5ˆybxˆ285.63.58.4，从而可得结果；(3)利用第二问的回归方程进行求得a求值，预测即可

试题解析：(1)x2345182732353.5,y2844。┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

(2)

xyii14i218327432535420，

xi142i2232425254 ，nˆ

bi1iin2ii1xynxy2xnx42043.5285.6。

5443.52ˆybxˆ285.63.58.4，

aˆ5.6x8.4。┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 所以回归方程为y

ˆ5.6108.464.4(万元)， (3)当x10时，

y故预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元。┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

【方法点晴】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样名师精编 欢迎下载

本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算x,y,x,xy的值；2iiii1i1nnˆaˆ；④写出回归直线方程为yˆ,bˆbxˆ； 回归直线过样本点中心③计算回归系数ax,y是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.

19．(1)详见解析(2)【解析】(1)证明：以

为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，，所以，所以．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

(2)，则，又，

，所以异面直线与所成角的余弦值是

．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

考点：空间向量的坐标运算，垂直的证明，异面直线所成角．

20．(1)见解析；(2)k1 名师精编 欢迎下载

【解析】试题分析：把直线方程和抛物线方程联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明l与C必有两交点，只需证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A、B的坐标，根据直线OA和OB斜率之和为1，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把y1,y2代入化为x1,x2的关系，把根与系数关系代入后求出斜率k的值．

试题解析：

(1)证明:联立抛物线C:y2x和直线l:ykx1,可得2x2kx10,

2k280

 ,

l 与┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

C必有两交点;

(2)解:设Ax1,y1 ,

Bx2,y2 ,则y1y21 ①，因为y1kx11,y2kx21 ,代x1x21111入①,得2k1 ②，因为x1x2k,x1x2 ,代入②得22x1x2k1.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

【点睛】证明l与C必有两交点，只需联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A、B的坐标，根据直线OA和OB斜率之和为1，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把y1,y2代入化为x1,x2的关系，把根与系数关系代入后求出斜率k的值．

x2y21；(2)

x1. 21．(1)

2【解析】试题分析：

1根据椭圆定义及ABF2的周长为42得出a知cea1，求出b21，进而得到椭圆C的方程；

2，利用ec

a2将三角形分割，以F1F2为底，

积，运用基本不等式求得结果

A、B两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面解析：(1)由椭圆的定义知4a42，

a2 名师精编 欢迎下载

由ec知cea1

ab2a2c21

x2y21┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分 所以椭圆C的方程为2

(2)由(1)知F,0,F21,0，

F1F22

11设Ax1,y1,Bx2,y2，

l:xmy1

x2y21得到m22y22my10， 联立xmy1与222m21y1y2

2m2SABF222m21m2222211m122m12

当m211,m0时，

SABF2最大为2，

l:x1┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

点睛：在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割，转化为两点纵坐标差的绝对值，为简化计算，由于直线过横坐标上一定点，故设直线方程xmy1

22．(1)fx在0,111,上递增，在上递减.；(2),.

22a2a【解析】试题分析：(1)对函数fx求导，再根据a分类讨论，即可求出fx的单调性；(2)将fxa化简得ax21lnx0，再根据定义域x1,，对a分类讨论，

a0时，满足题意，

a0时，构造gxax21lnx，求出gx的单调性，可得gx的最大值，即可求出a的取值范围.

名师精编 欢迎下载

112ax2试题解析：(1)fx2a，

xx当a0时，

fx0，所以fx在0,上递增，

当a0 时，令fx0，得x1，

2a令fx0，得x0,11；令，得x,fx0，

2a2a上递增，在所以fx在10,2a1,2a上递减.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

(2)由fxa，得ax21lnx0，因为x1,，所以lnx0,x210，

当a0时，

ax21lnx0满足题意，

2ax21120， 当a时，设gxax1lnx(x1),gxx2所以gx在1,上递增，所以gxg10，不合题意，

当0a111时，令gx0，得x,，令gx0，得1,，

22a2a所以gxmaxg1g10，则x1,gx0，

2a1.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

2综上，

a的取值范围是,

点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较名师精编 欢迎下载

容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.