数学中的“模型”与“模式”(苏保中)

2023年12月11日发(作者：尖子生小升初数学试卷)

数学中的“模型”与“模式”（ 苏保中）

模型（model）与模式（Pattern），英文显然是两个词，但是，在实际使用过程中，却是比较混乱。有时指的是一个意思，并且在不同的领域用法又不同。这种混乱给基层学校的老师带来很大的困难。

虽然，我还不清楚厘清这两个词的关系，对基层的数学工作者有怎样的价值，但是至少对理解什么是数学是有益处的，能够帮助我们不止是了解数学的结论，而且了解数学的思考方法。

以下是我对这个问题的研究心得，希望同行批评指正。

一、模型与数学模型

（一）模型的定义：

数学辞海第5卷第109页有关于模型的定义：模型（model）现实客观事物的一种表示和体现，它可以是文字、图表、公式，也可以是计算机程序或其他实体模型，具有以下三个特点：

1.是现实世界一部分的模仿和抽象

2.由那些与分析问题有关的因素构成

3.体现了有关因素之间的关系

模型与现实客观事物相比，其优点是简单、经济、便于操作和试验、运转周期短，通过对模型的试验，可以对实际问题做出客观的分析。

按模型的形式可以分为形象模型和抽象模型两大类

按其中参量的性质可以分为确定性模型与随机性模型两大类

抽象模型又分为模拟模型、数学模型和概念模型三类

（二）其他关于模型的定义：

1.模型是对客观现实的事物的某些特征与内在联系,所作的一种模拟或抽象。为了研究一个过程或事物,可以通过在某些特征(形状或结构等)方面与它相似的“模型”来描述或表示。模型可以是所研究对象的实物模型,例如建筑模型、教学模型、玩具等;也可以是对象的数学模型,例如公式或图形等。它能反映出有关因素之间的关系。

2.模型是所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式，也可指根据实验、图样放大或缩小而制作的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。特别是具体的实物模型，人们并不陌生。例如，一张地图，一组建筑设计沙盘，一架精致的航模飞机，都是具体的模型。一眼望去，就会使人联想到真实生活中的事物。模型是现实世界特征的模拟和抽象。

3.一切客观存在的事物及其运动形态统称为实体，模型是对实体的特征及其变化规律的一种表示或者抽象，而且往往是对实体中那些所要研究的特定的特征定量的抽象，可以说，模型是把对象实体通过适当的过滤，用适当的表现规则描绘出的简洁的模仿品，通过这个模仿品，人们可以了解到所研究实体的本质，而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。在自然科学、工程技术和社会科学的许多领域中，定量的系统分析、系统综合已受到人们更多的重视。模型是开展这些工作的有效工具，模型化则是开展这些工作的前提和基础。

（三）数学模型

冯·诺依曼（von neumann）说：科学并不是试图去说明、去解释什么，科学主要的是要建立模型。

伽利略（GALILEI）认为：对科学现象寻求独立于如何物理解释的定量描述，应该成为科学的基本思想。这里所谓“现象的定量描述”，实际上就是冯。诺依曼所指的为数学对象建立数学模型。

数学模型是一种观念模型，一种以某种方式给以解释的符号 (数学符号)系统表示的模型。具体地说，所谓数学模型是指针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。这里的数学结构，有两方面的具体要求：

其一，这种结构是一种纯关系结构，即必须是经过数学抽象地扬弃了一切与关系无本质联系属性后的系统；

其二，这种结构是用数学概念和数学符号来描述的。

从广义上说，数学模型是从现实世界中抽象出来的，是对客观事物的某些属性的一个近似反映。例如，数学中的各种概念、各种公式、各种方程式、各种理论体系，以及由公式系列构成的算法系统等等，因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，因而它们都是现实世界的数学模型。按照这种观点，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。这样说，也许太宽了，以致数学模型方法在数学中没有特定的意义了。

从狭义上说，数学模型是将具体问题的基本属性抽象出来成为数学结构的一种近似反映，即只有那些反映特定问题或特定具体事物系统的数学结构才叫数学模型。

在应用数学中，数学模型方法用的是作为狭义理解的数学模型，这是因为构造数学模型的目的在于解决具体的实际问题。

在这里，数学模型被看成是一个能实现某个特定目标的有用工具。从本质上说，数学模型是一个以“系统”概念为基础的，关于现实世界的一小部分或几个方面抽象的“映像”。

数学模型的特征是：

第一，筛选，是舍弃次要因素，突出主要因素的主要结果，是事物的一种模拟，虽源于现实，又高于现实。

第二，它是数学上的抽象，在数值上可以作为公式应用。可以推广到与原物相近的一类问题。

第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序输入计算机。

在应用数学知识解决实际问题的过程中，首要的一步就是通过适当的抽象，由原先的问题(可称为“现实原型”)去构造出相应的数学模型。而后者就是指那些能体现具体事物系统的量性特征并运用纯粹数学语言表述的一种数学结构。

与一般理论科学中的抽象相比，数学模型的构造的特殊性在于，

第一，这是一种数学抽象，也即是应用纯粹的数学语言(数学概念、符号、命题、公式等)去对客观事物的量性特征进行刻画；

第二，进行数学抽象的目的是希望能获得这样的数学结构：相对于现实原型而言，它具有化繁为简、化难为易的作用，并能反映事物的本质，从而，我们就可通过纯粹的数学研究(演算证明 推理等)去解决相应的数学问题，并最终获得原先的实际问题的解答。

要掌握数学，不仅要熟悉数学特定的内容、方法和语言，还要把握数学背后的哲学思想，养成正确的思维方式。通过建立数学模型来处理数学问题就是一种重要的思维方式。即首先通过观察找出描述客观事物的基本概念和基本规律；然后从这些基本规律或称之为原理或公理出发，利用逻辑的、数学的推导，演绎出更多的真理。

概念+规律

这里的规律，有定性的描述，也有定量的描述。其中定量的描述便是模型。（如图1）

推理出更多的真理

数学发展的哲学思想

近年来，对这方面问题有深入研究的东北师范大学校长史宁中在《数学思想概论》中指出：“数学思想是指数学发展所依赖的思想，在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的，高度的抽象性是数学的根本所在。”我以为，史校长的论述正是对上面这张图的最好诠释。

借助于数学概念、数学模型和演绎，科学工作者发现了一个由数量规律所支配的世界。按照这种研究方法，现在，不仅仅是物理学、力学等传统上与数学关系密切的学科，甚至化学、生物学、地质学及各种技术科学，乃至众多门类的人文、社会科学也已与数学结缘。

人们为各式各样的具体事物建立抽象的数学模型，将事物的描述和内在规律转化成数学公式，造就了一个数学的、定量的世界，这就是所谓自然界和科学的数学化。

数学的这种模型思想成为数学广泛应用到其它学科的主要原因（当然数学与其它学科的联系还不仅于此）。

二、模式与数学模式

（一）模式（Pattern）的定义：

百度百科对模式的定义是：模式（Pattern）其实就是解决某一类问题的方法论。把解决某类问题的方法总结归纳到理论高度，那就是模式。模式是一种指导，在一个良好的指导下，有助于你完成任务，有助于你作出一个优良的设计方案，达到事半功倍的效果。而且会得到解决问题的最佳办法。

（二）其他关于模式的定义：

1.模式一词的指涉范围甚广，它标志了物件之间隐藏的规律关系，而这些物件并不必然是图像、图案，也可以是数字、抽象的关系、甚至思维的方式。模式强调的是形式上的规律，而非实质上的规律。前人积累的经验的抽象和升华。简单地说，就是从不断重复出现的事件中发现和抽象出的规律，是解决问题的经验的总结。只要是一再重复出现的事物，就可能存在某种模式。

der给出的经典定义是：每个模式都描述了一个在我们的环境中不断出现的问题，然后描述了该问题的解决方案的核心。通过这种方式，你可以无数次地使用那些已有的解决方案，无需在重复相同的工作。

3.模式有不同的领域，建筑领域有建筑模式，软件设计领域也有设计模式。当一个领域逐渐成熟的时候，自然会出现很多模式。

4.模式是一种参照性指导方略。在一个良好的指导下，有助于高效完成任务，有助于按照既定思路快速作出一个优良的设计方案，达到事半功倍的效果。而且会得到解决问题的最佳办法。

5.模式是在特定场景下，对各方面关切进行平衡后，得出的解决方案。值得注意的是，解决一个问题可能有多个可选择的解决方案，这些解决方案各有偏重，针对不同的关切可能有不同的选择，没有哪个方案是万能的。因此，模式中的解决方案才是最优方案。可以这样说，模式是一种在权衡了各种利弊后的解决方案，一旦作用力间的平衡被打破，这个解决方案就可能不再成立。

（三）数学模式

20世纪，从逻辑与数学的发展中产生了一个新的数学流派，称之为结构主义。

结构主义者将彼此间有一定关系的诸多个体组成的集合称为系统。系统的抽象形式称为“结构”或“模式”。显然，模式所强调的是系统间的内部关系，而忽略掉个体关系之外的所以其他特征。数学就是研究这些各式各样的抽象“结构”或“模式”的性质。例如算术研究自然数结构，代数研究代数式的结构，群论研究群的结构，欧几里得几何研究欧氏空间的结构。

结构主义者认为，数学这一领域应称之为模式的科学，其目的是解释人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构与对称。于是， 把数学视为关于模式的科学研究成为现代数学哲学的一个重要流派。这里说的“模式”包括数的模式、形的模式，运动与变化的模式、推理的模式、常见运算的模式等等，它们都是抽象思维的产物，每种模式都可以归结为一定的思维模式。

在纯粹数学的研究中，应当借助于明确的定义去构造出相应的量化模式，并以此为直接对象从事纯形式的研究；也正因如此，作为数学抽象物的量化模式在概念意义上就应具有一定层次上的普遍性和概括性，在表述形式上则应具有无歧义的逻辑精确性和简洁性。

由于数学对象的“逻辑建构”，导致数学以“模式”这种“纯形式”为直接对象进行研究。模式的建构标志着由特殊上升到了一般，以模式为直接对象去从事研究也就应当说是一种纯形式的研究。例如，就纯数学的研究而言，即使所涉及的概念和理论具有明显的直观意义(如欧几里得的几何理论)，我们也不能求助于直观，而只能依据相应的定义去进行推理。在所谓的“形式主义”观点中，数学证明是一种由明确给定的(变形)法则所惟一决定的形式过程。

数学对象的“逻辑建构”还是一个“模式化”即“重新构造”的过程。由于数学对象的逻辑建构是借助于纯粹的数学语言得以完成的，因此，相对于现实原型而言，通过数学抽象而形成的数学概念及概念体系(理论)就具有更为普遍的意义。它所反映的已不只是这一特定事物或现象的量性特性，而是一类事物在量的方面的共同特性。也正因为这样，数学的研究对象就应当被看成是一种(量化)模式。正如怀特海(White Head)所指出的：“数学就是对模式的研究”。美国数学家斯蒂恩(Steen,1988)提出“数学是关于模式(Patterm)的科学”的数学观。由此数学观衍生出模式化的数学思想。其基本内涵是，数学概念、原理和方法都具有超越具体事物或特定现象的普遍意义。

综上所述，由于数学的概念、理论、公式、定理、问题、方法等都应被看成是模式。因此，上述的“模式建构形式化原则”就确实是数学抽象的基本准则，而数学就是对模式的研究。

模式化思想用来指导解题便是模式识别与转换策略，下面举例说明之。

比如，初中教材中各种类型的应用题，如行程问题、溶液问题、劳力分配问题、购货价格问题、工程问题等，虽然它们的实际背景相异，但都有着同一个模式：问题涉及三个基本量a,b,c，且具有数量关系a=bc.

又比如，分析下面两个问题：

“一个工程，由甲队单独干a天可以完成，由乙队单独干b天可以完成，甲乙两队合干几天可以完成?”

“一个水池装有两个进水管，单开第一个进水管，x小时可将空池注满，单开第二个进水管，y小时可将空池注满，两管齐开，几小时可以注满?”

可以发现，它们的数量关系完全相同。

在数学学习中，总结、概括、发现基本模式是至关重要的。比如，判别式Δ=b-4ac的取值决定了一元二次方程、一元二次不等式的解的情况，也决定了二次函数的性态。于是B-AC就是一个与二次方程、不等式、函数有关的基本模式，看到形如B-AC的式子，便可以构造二次函数或方程来解决有关问题。

（四）“模式”与“模型”的区别和联系

1.数学发展史上是先有模型，后有模式。模型和模式都是抽象的产物。模型是一个对象的客观规律的“量化”表达；而模式是一个系统的“抽象”形式。

2.在抽象程度上有所不同，而模式是可以理解为更为抽象、更为一般的数学模型。模型是相对具体的局部的模式，例如，函数、方程、不等式、公式等是模型，而建立模型的过程方法本身由于是一种系统论研究方法，所以就是一种模式。也就是说，模式的抽象对象因为比模型的抽象对象更抽象，所以范围更广。

3.模型思想与模式思想在本质思想上有共通之处，都是从观察、实验、归纳、分析来建立必须的基本前提——公理，然后在假设可靠的有意义的前提下（公理体系）进行逻辑演绎导出新的真理性结论。

4.模型是解决问题的一个工具，比如方程；模式是建立模型的过程方法体系。比如一道应用题，有两个未知数，我设两个未知数建立了二元一次方程组。我设一个未知数建立了一元一次方程。这是两个不同的模型，是两个不同的解决这道应用题的工具。而建立模型的过程是两种不同的模式，前者是设两个未知数，后者是设一个未知数。当然我们还可以采用算术的方法，这就是第三种研究问题的模式。

5.用同一种模式，也可以得到不同的模型，比如我们设两个未知数也可以列出不同的方程组。特别是在设间接未知数的时候。

6.不同的模式可以得到不同的模型，比如，运用统计方法解决问题，我们可以采用不同的抽样方法，得到不同的数据，这是研究问题的模式；而由此得到的统计模型可以不同。

7.同一个模型也可以用不同的模式得到。比如平方差公式是一个模型，我们可以用归纳的方法得到它，这是一种模式；我们也可以用演绎的方法得到它，这又是一种模式。还比如，三角函数是一种模型，我们可以用直角三角形的方法得到它，这是一种模式，我们也可以用单位圆来得到它，这是另一种模式。按照张景中的研究，我们还可以用平行四边形来得到它，这是第三种模式。还比如说，我们在课堂上建立了一种模型──函数，但这种模型可以是学生主动建立的，也可以是学生被动建立的。而主动建立于被动建立就是两种不同的模式。

8.模型是由现实原型抽象、构造的产物，所以模型从属于各个具体的事物、现象或原则问题，而模式则具有相对的独立性，从而也就具有更大的普遍性。模式法具有演绎上的完善性，但由于过多地凭借概念和思辨，缺少细致的观察和实验手段。

可以用导数概念为例对模式概念作进一步的具体说明：

例 计算运动物体在任一时刻的瞬时速度，在历史上是导致微分学研究的一个重要问题。

设有一质点沿直线运动，它在时间t内经过的路程的函数，设为s=f(t)。为了求得该质点在任一时刻的瞬时速度

，可以按照以下的步骤去进行计算：

第一，取一个很小的时间间隔通过的路程为：

,容易算得，质点在这时间间隔内所

第二，质点在

这一时间间隔内运动的平均速度为：

第三，容易想到，当足够靠近时，也即所取的时间间隔足够小时，所求得的平均速度可以看成质点在的瞬时速度的一个很好的近似值；而如果设想时间间隔趋近于0，所说的平均速度则就转化成了所要求的瞬时速度。

以瞬时速度为现实原型，我们即可通过数学抽象获得如下的导数概念。

设函数，当自变量由变到，即自变量有一个增量时，函数y相应地有一个增量

，如果差商的极限

存在，则称这个极限为函数

在加点的导数。

将导数概念与瞬时速度的概念加以比较，容易看出，两者的区别主要在于：后者从属于运动这一特定的问题，前者则由于舍弃了其它成分而仅仅着眼于量的关系的分析获得于更为普遍的意义。它不仅适用于运动的研究——瞬时速度即为路程函数关于时间的导数，而且也适用于具有相同量性特性的一类问题，如电流强度即是电量关于时间的导数，曲线在其上一点处切线的斜率则是纵坐标关于横坐标的导数，等等。从而相对于瞬时速度而言，导数的概念就应当被看成一个模式：它以纯数学的形式表明了一类事物或现象(包括抽象事物)所共同具有的量性特征。

三、研究模式与模型的意义

起初，数学的研究对象是：“现实世界的数量关系和空间形式”，这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的，人们能够很容易地找到数学概念的现实原型，这样，人们自然地认为数学是一种经验科学；但是随着数学研究的深入，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，特别是现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中在这些抽象对象上，数学与现实之间的距离越来越远，于是许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海（A. N.

Whiiehead 186－1947）在《数学与善》中说：“数学的本质特征就是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。

“由数学的发展史我们可以看到，在数学发展到没有绝对真理的阶段后，构建模式成为数学研究的一个重要方式。”（数学通报）通过数学模型与数学模式来认识数学，远远比通过具体的数学内容理解数学更重要、更基本。（数学模型8讲）通过学习，学生应获得抽象思维的基本能力，学会抓住事物的本质，学会用统一的方法处理各种看似无关的事物，进而把握事物的共性和相互联系。应该把对模式的提炼、处理和运用作为数学学习活动的基本目标。

(一)初中数学的核心内容

基于以上认识，结合人教社“中小学数学课程核心内容及其教学的研究”课题研究谈谈我对什么是初中数学核心内容的认识。

“中小学数学课程核心内容及其教学的研究”这个课题的一个首要问题是必须搞清楚所谓“核心内容”到底指什么？是基于学科的角度，还是基于学生的角度？除了概念以外，还有那些核心内容？“模型”与“模式”是不是核心内容？

首先，所谓核心内容，我认为是指基于学科的角度，也就是我们平常所说的重点。

其次，图1刻画的数学发展过程，揭示了数学的核心内容，也揭示了核心内容的“相对性”。

数学的核心内容应该包括：

1.概念，如函数的图像、平方根、单项式、多项式、等；

2.属于定性描述的规律，包括公理、命题、定理等；

3.属于定量描述的规律，包括公式、公理、定理、运算等。后者都是模型。如有理数运算；

4.抽象、推理、模型思想以及相对重要的思想方法；如方程、函数、不等式、公式、直角坐标系（就像八卦）这些数学模型；随机关系、数量关系、图形关系模式这些数学模式：四个二次的研究模式、四边形的性质和判定的研究模式等。

不难看出，以上核心内容其实都与模型与模式有着联系。

抽象出规律是模式思想的第一步，概念的建立完全是表达的必要。从概念和规律出发，借助推理得到更多的规律是模式思想的第二步。并且一旦进入应用阶段，定性描述的规律就自然让位于定量模式的规律——模型。所以可以说，数学的发展特别是应用，本质上是一种模式的思想，模型是其解决问题过程中的一个工具。

借助模型与模式，可以厘清核心内容的一些关键问题。

比如运算，运算包括两个方面，一是运算的对象，如算术数、有理数、实数、代数式等；另一方面是运算法则和运算规律如交换律、结合律、分配律等。在数学上，随着运算内容的不断变化，运算律却保持不变，这是典型的模式思想的体现。

比如有理数，不是有理数这个概念是核心，而是有理数的运算是核心，因为无理数的运算都可以转化为有理数的运算；有理数的运算不只是基于学科的角度是重要的，而且基于学生的角度也是重要的。其主要原因是学生在此以前从来没有接触过一个“-”号具有双重意义，既代表运算符号，又代表性质符号。有经验的老师都要在这个地方花很大的力气，用很长的时间。

再比如配方法，为什么说它作为一种方法是核心，主要是因为，配方法其实是为了达到化归，是模型思想的重要组成部分。而研究二次函数和研究一元二次方程的过程中都用了配方法，这种研究方法（先研究最简单、最基本的函数和方程，在把其他的转化为基本的），就是一种模式，是对研究二次函数和一元二次方程这两个模型的研究过程的抽象，是方法模式。

与配方法此相类似的还有消元法、换元法、待定系数法。消元法的实质是模型的化归，换元法的实质是模型的识别，待定系数法的实质是模型的确定。他们都是通性通法，所以应该成为核心。

(二)理解教学

(三)

数学是关于模式的科学，这一提法现在看来还有一定的局限性。但从这个角度出发，也可促进对数学的理解，这对数学教师来说还是很有必要的。

数学的思考模式，就是把具体的事物抽象化，把抽象的事物公式化，把复杂的事物简单化，做任何事都首先能有一个提纲契领的全盘思考然后再去做，效果肯定是事半功倍的。这既是成功人士的思维习惯，也是一个快乐人生的思维习惯。