2024年1月11日发(作者：怀集县八年级期中数学试卷)

北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结

第一章 证明（二）

一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。

（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。

（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

其它性质：

1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。

2、常用关系式：由三角形面积公式可得：

两直角边的积=斜边与斜边上的高的积

（二）、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系abc，那么这个三角形是直角三角形。

（三）直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

五、角的平分线及其性质与判定

1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

3、角的平分线的判定定理：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

六、线段垂直平分线的性质与判定

1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

线段垂直平分线的判定定理：

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

七、反证法

八、互逆命题、互逆定理

1、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

222b

2④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=180A

22、等腰三角形的判定

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.

三、等边三角形

性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）三线合一

判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形

（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形

（一）、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即abc

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第二章 一元二次方程

一、一元二次方程

（一）、一元二次方程定义

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

（二）、一元二次方程的一般形式

根的判别式

21、定义：一元二次方程axbxc0(a0)中，b4ac叫做一元二次方程2ax2bxc0(a0)的根的判别式。

2、性质：当b4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b4ac＜0时，方程没有实数根。

222ax2bxc0(a0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法

2xab，直接开平方法适用于解形如(xa)b的一元二次方程。当b0时，2补充：一元二次方程根与系数的关系

如果方程axbxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1x22b，ax1x2c。

a

xab；当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法

一般步骤：

（1） 方程axbxc0(a0)两边同时除以a,将二次项系数化为1.

（2） 将所得方程的常数项移到方程的右边。

（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方

（4） 配方，化成(xa)b

（5）开方。当b0时，xab；当b<0时，方程没有实数根。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程axbxc0(a0)的求根公式：

22第三章 证明（三）

一、平行四边形

1、平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、平行四边形的面积

S平行四边形=底边长×高=ah

2bb24ac2x(b4ac0)

2a4、因式分解法

一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。

补充：一元二次方程根的判别式

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二、矩形

1、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）矩形的对边平行且相等

（2）矩形的四个角都是直角

（3）矩形的对角线相等且互相平分

（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积 S矩形=长×宽=ab

三、菱形

1、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）菱形的四条边相等，对边平行

（2）菱形的相邻的角互补，对角相等

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积 S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

四、正方形 （3~10分）

1、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）正方形四条边都相等，对边平行

（2）正方形的四个角都是直角

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证它是菱形。

先证它是菱形，再证它是矩形。

4、正方形的面积

b2设正方形边长为a，对角线长为b， S正方形=a

22五、等腰梯形

1、等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定

（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用）

六、三角形中的中位线

1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

七、有关四边形四边中点问题的知识点：

（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；

（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；

（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；

（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；

（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；

（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；

（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；

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第四章 视图与投影

1、投影

投影：物体在光线的照射下，在地面上或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。

平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。

2、视点、视线、盲区

随x 的增大而减小。

4、反比例函数解析式的确定

随x 的增大而增大。

确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数yk中，只有一x第五章 反比例函数

1、反比例函数的概念

个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

过反比例函数yk（k是常数，k0）的形式，x1那么称y是x的反比例函数。（反比例函数的解析式也可以写成ykx的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。）

一般地如果两个变量x，y之间的关系可以表示为y2、反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比例函数

k的符号 k>0

y

图象

O x

k(k0)图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂x足分别是M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PM•PN=y•xxy。

yk,xyk,Sk。

x

第六章 频率与概率

ky(k0)

xk<0

y

O x

概率的求法：

（1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P（A）=m

n（2）、列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

（3）树状图法

通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

（当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。）

性质

①x的取值范围是x0， ①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0； y的取值范围是y0；

②当k>0时，函数图象的两个分支分别 ②当k<0时，函数图象的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y 在第二、四象限。在每个象限内，y

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