2023年12月10日发(作者：小蔡数学试卷)

2020年苏州市中考数学大题突破之实验探究题

1．已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP．

（1）若α＝60°，k＝1，

①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；

②直接写出PA、PQ的数量关系；

（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．

【详解】

解：（1）①如图1，在CM上取点D，使得CD＝CA，连接AD，

∵∠ACM＝60°，

∴△ADC为等边三角形．

∴∠DAC＝60°．

∵C为AB的中点，Q为BC的中点，

∴AC＝BC＝2BQ．

∵BQ＝CP，

∴AC＝BC＝CD＝2CP．

∴AP平分∠DAC．

∴∠PAC＝∠PAD＝30°．

②∵△ADC是等边三角形，

∴∠ACP＝60°，

∵PC＝CQ，

∴∠PQC＝∠CPQ＝30°，

∴∠PAC＝∠PQC＝30°，

∴PA＝PQ；

（2）存在k2，使得②中的结论成立．

证明：过点P作PC的垂线交AC于点D．

∵∠ACM＝45°，

∴∠PDC＝∠PCD＝45°．

∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°．

∵CD，BQ2PC

2PC，∴CD＝BQ．

∵AC＝BC，

∴AD＝CQ．

∴△PAD≌△PQC（SAS）．

∴PA＝PQ．

2．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C90，BE30．

（1）操作发现

如图2，固定VABC，使VDEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是______；

②设VBDC的面积为S1，VAEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是______

（2）猜想论证

当VDEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想1．中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了VBDC和VAEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜 想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BDCD4，DE//AB交BC于点E(如图4)．若在射线BA上存在点F，使S△DCFS△BDE，请求出相应的BF的长．

【详解】

解：（1）操作发现：①DE∥AC，理由如下：

∵ACBDCE90，BDEC30．

∴∠BAC=90°－∠B=60°，∠EDC=90°－∠DEC=60°

∵点D恰好落在AB边上时，

∴CA=CD

∴△CAD为等边三角形

∴∠DCA=60°

∴∠EDC=∠DCA

∴DE∥AC

故答案为：DE∥AC．

②S1=S2，理由如下

∵DE∥AC

根据平行线之间的距离处处相等

∴S△DAC=S2

在Rt△ABC中，∠B=30°

∴AB=2AC

∵△CAD为等边三角形

∴AC=AD

∴AB=2AD

∴点D为AB的中点

∴S△DAC=S1

∴S1=S2

故答案为：S1=S2．

（2）猜想论证：S1=S2仍然成立，证明如下

∵AN、DM分别是△ACE、△BCD边上的高

∴∠ANC=∠DMC=90°

∵∠ACN＋∠NCB=90°，∠DCM＋∠NCB=90°

∴∠ACN=∠DCM

在△ACN和△DCM中

ANCDMCACNDCM

CACD∴△ACN≌△DCM

∴AN=DM

∵EC=BC

∴△ACE和△BCD等底等高

∴S1=S2

（3）拓展探究：延长CD交AB于点H，过点E作EG⊥BD于G，

∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BDCD4，

∴∠HBD=∠CBD=1∠ABC=30°

2∵BDCD4

∴∠DCB=∠DBC=30°

∴∠BHC=180°－∠HBC－∠DCB=90°

在Rt△BDH中，HD=∵DE//AB

∴∠EDB=∠HBD=30°

1BD2，BH=BD2HD223

2 ∴∠EBD=∠EDB

∴EB=ED

∴BG=1BD=2

2在Rt△BEG中，设GE=x，BE=2GE=2x

根据勾股定理可得：GE＋BG=BE

即x＋2=（2x）

解得：x= 22222223

3∴GE=23

3（i）当点F在线段BH上时，

∵S△DCFS△BDE，BDCD4

∴FH=GE=23

343；

3∴BF=BH－FH=（ii）当F在线段BH的延长线上时

同理可得FH= GE=23

3∴BF=BH＋FH=83

3综上所述：BF=4383或

33

3．数学实验室：

制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．

探索研究：

（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；

数学思考：

（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．

【详解】

（1）解：如图3所示，

图形的面积表示为：ab2221aba2b2ab，

2图形的面积也可表示：c2∴a2b2abc2ab，

∴a2b2c2

21abc2ab，

2 （2）解：如图4所示，

大正方形的面积表示为：ab，

大正方形的面积也可以表示为：c422221abc22ab，

2∴(ab)c2ab，

∴ab2abc2ab，

∴abc；

4．（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C\'处，若∠ADB=54°，则∠DBE的度数为 °．

（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．（画一画）如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段MN描清楚）；

（3）（算一算）如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A\'，B\'处，若AG=2222227，求B\'D的长；

3（4）（验一验）如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A\'，B\'处，小明认为B\'I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC＝54°，

由翻折不变性可知，∠DBE＝∠EBC＝故答案为27．

（2）如图2中，折痕MN为所求：

1∠DBC＝27°，

2

7，AD＝9，

3720∴GD＝9−=，

33（3）∵AG＝∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DGF＝∠BFG，

由翻折不变性可知，∠BFG＝∠DFG，

∴∠DFG＝∠DGF，

∴DF＝DG＝20，

316，

3∵CD＝AB＝4，∠C＝90°，

∴在Rt△CDF中，CF＝DFDC∴BF＝BC−CF＝9-221611=，

3311，

3由翻折不变性可知，FB＝FB′＝∴DB′＝DF−FB′＝20113．

33（4）小明的判断不正确．

理由：如图4中，连接ID，在Rt△CDK中，∵DK＝3，CD＝4，

∴CK＝32425，

∵AD∥BC，

∴∠DKC＝∠ICK，

由折叠可知，∠A′B′I＝∠B＝90°，

∴∠IB′C＝90°＝∠D，

∴△CDK∽△IB′C，

∴CDDKCK435，即，

IBBCICIBBCIC设CB′＝3k，IB′＝4k，IC＝5k，

由折叠可知，IB＝IB′＝4k，

∴BC＝BI＋IC＝4k＋5k＝9，

∴k＝1，

∴IC＝5，IB′＝4，B′C＝3，

CB3，

IB4DC4， 连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC＝IC5在Rt△ICB′中，tan∠B′IC＝∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，

∴∠B′IC≠∠DIC，

∴B′I所在的直线不经过点D．

5．综合与实践

背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或32，42，52的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．

第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．

第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．

问题解决

（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．

（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；

（3）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；

探索发现

（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

试题解析：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠DAE=90°．由折叠知：AE=AD，∠AEF=∠D=90°，∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°，∴四边形AEFD是矩形．∵AE=AD，∴矩形AEFD是正方形．

（2）NF=ND′．证明如下：

连结HN．由折叠知：∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′．

∵四边形AEFD是正方形，∴∠EFD=90°．

∵∠AD′H=90°，∴∠HD′N=90°．

在Rt△HNF和Rt△HND′中，∵HN=HN，HF=HD′，∴Rt△HNF≌Rt△HND′，∴NF=ND′．

（3）∵四边形AEFD是正方形，∴AE=EF=AD=8cm，由折叠知：AD′=AD=8cm，EN=EF-NF=（8-x）㎝．

22在Rt△AEN中，由勾股定理得：AN2AE2EN2 ，即，解（8x）82（8x）得：x=2，∴AN=8+x=10（㎝），EN=6（㎝），∴AN=6：8：10=3：4：5，∴△AEN是（3，4，5）型三角形．

（4）图4中还有△MFN，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．

∵CF∥AE，∴△MFN∽△AEN．

∵EN：AE：AN=3：4：5，∴FN：MF：CN=3：4：5，∴△MFN是（3，4，5）型三角形；

同理，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．

6．如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”，(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)．

(1)若∠1和∠2互为“互优角”，当∠1=90°时，则∠2=_____°；

(2)如图1，将一长方形纸片沿着EP对折(点P在线段BC上，点E在线段AB上)使点B落在点若与互为“互优角”，求∠BPE的度数；

(3)再将纸片沿着PF对折(点F在线段CD或AD上)使点C落在C′：

①如图2，若点E、C′、P在同一直线上，且BPC与EPF互为“互优角”，求∠EPF的度数(对折时，线段落在∠EPF内部)；

②若∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，则∠BPE求∠CPF应满足什么样的数量关系(直接写出结果即可)．

【详解】

解：（1）∵∠1和∠2互为“互优角

∴|∠1-∠2|=60°

∵∠1＝90°

∴90°-∠2=60°或90°-∠2=-60°

解得：∠2=30°或150°

故答案为：30°或150．

（2）∵∠EPB\'与∠B\'PC互为“互优角”

当∠EPB\'<∠B\'PC时，∠B\'PC-∠EPB\'=60°

∴∠B\'PC=∠EPB\'+60°

∵△BEP翻折得△B\'EP

∴∠EPB=∠EPB\'

∵∠EPB+∠EPB\'+∠B\'PC=180°

∴∠EPB\'+∠EPB\'+∠EPB\'+60°=180

解得：∠EPB\'=40°

当∠EPB\'>∠B\'PC时，∠B\'PC-∠EPB\'=60°，可得∠EPB\'=80°

故∠EPB\'的值为40°或80°；

（3）①由题意得：点E、C、P在同一直线上，

∵∠B\'PC\'与∠EPF互为“互优角

∴∠BPC<∠EPF，∠EPF-∠B\'PC=60°=∠B\'PF

∵∠BPE=∠B\'PC=∠EPF-60°，∠FPC=∠EPF

∴∠BPE+∠EPB\'+∠B\'PF+∠FPC=180°

∴∠EPF-60°+∠EPF+∠EPF=180°，得∠EPF=80°；

②由题意得：点E、C、P在同一直线上，

∵∠B\'PC\'与∠EPF互为“互优角

∴∠B\'P\'C-∠EPF=60°，得∠B\'P\'C=60°+∠EPF

∵∠B\'PC\'=∠FPC，∠EPB=∠EPF，∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°

∴2∠EPF+60°+∠EPF=180°，解得∠EPF=40°．

故∠EPF的度数为40°．


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