2023年12月4日发(作者：孟建平数学试卷答案五)

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B

铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1．若，均为锐角，且tan2，tan3，则等于（

）

A．

4B．3

4C．5

4D．7

42．在平行四边形ABCD中，

AB2BC4，BAD，E是CD的中点，则3ACEB（

）

A．2 B．-3 C．4 D．6

3．若正数m,n满足2mn1，则A．322

C．222

11的最小值为

mnB．32

D．3

4．以点1,1和2,2为直径两端点的圆的方程是（

）

315A．xy

222C．x3y22222315B．xy

224D．x3y225

22225

25．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（

）

A．甲、乙两人的各科平均分不同

C．甲各科成绩比乙各科成绩稳定

B．甲、乙两人的中位数相同

D．甲的众数是83，乙的众数为87

6．若ab0，则下列不等式不成立的是（

） A．11

abB．abb2 C．a2b22ab D．2a2b

7．已知a,b是两条异面直线，c//a，那么c与b的位置关系（

）

A．一定是异面

8．为了得到函数B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能垂直

的图像（

）

的图像，只需将函数A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（

）

A．48里 B．24里 C．12里 D．6里

10．在等比数列an中，a39，a71，则a5的值为（

）

A．3或-3 B．3 C．-3 D．不存在

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．在[,]上，满足sinx1的x的取值范围是______.

212．已知空间中ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,1,0),B(0,1,2),C(2,1,1)

，则BC边上的中线的长度为________．

xy013．已知x，y满足xy4，则z2xy的最大值为________.

x1111，则a4b的最小值为________．

abaa15．已知数列an满足n1n1且a12，则a50____________．

n1n14．已知a0，b0，16．已知函数yfx是定义域为R的偶函数．当x0时，5216x0x22xfx，关于的方程fxafxb0，a,bR有且仅x11x22有5个不同实数根，则实数ab的取值范围是_____．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：

（1）PA//平面BEF；

（2）平面BEF平面PCD．

18．设Sn为数列an的前n项和，Sn2annnN（1）求证：数列an1是等比数列；

（2）求证：1．

1112na1a212．

an19．平面四边形ABCD中,AB23,ACB60.

(1)若AC22,求BC;

(2)设ACD,ADC,若ADcosACcos,60,求ACD面积的最大值.

20．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a,b,c，已知△ABC面积为1c(asinAbsinBcsinC).

2（1）求角C；

（2）若D为AB中点，且c=2，求CD的最大值.

21．从两个班中各随机抽取10名学生，他们的数学成绩如下，通过作茎叶图，分析哪个班学生的数学学习情况更好一些.

甲班

乙班

76

86

74

84

82

62

96

76

66

78

76

92

78

82

72

74

52

88

68

85

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1、B

【解析】

先利用两角和的余弦公式求出tan1，通过条件可求得(0,)，进而可得.

【详解】

解：tan因为(0,tantan231，

1tantan123),(0,)，则(0,)，

223故，

4故选：B.

【点睛】

本题考查两角和的正切公式，注意角的范围的确定，是基础题.

2、A

【解析】

由平面向量的线性运算可得ACEB(ABAD)(ECCB)，再结合向量的数量积运算即可得解.

【详解】

解：由AB2BC4，BAD所以AB则，

334214，

24,

ADBC2,ADABADABcosACEB(ABAD)(ECCB)22111(ABAD)(ABAD)ADABABAD4822,

222故选：A.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量的数量积运算，属中档题.

3、A

【解析】

由1111n2m()(2mn)3，利用基本不等式，即可求解，得到答案.

mnmnmn【详解】

由题意，因为2mn1，

则1111n2mn2m()(2mn)332322，

mnmnmnmnn2m，即n2m时等号成立，

mn11所以的最小值为322，故选A.

mn当且仅当【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4、A

【解析】

可根据已知点直接求圆心和半径.

【详解】

点1,1和2,2的中点是圆心， 圆心坐标是121231,,

，

2222点1,1和2,2间的距离是直径，

2r121210，即r222210，

2315圆的方程是xy.

222故选A.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程的求法，属于基础题型.

5、C

【解析】

分别计算出甲、乙两位同学成绩的平均分、中位数、众数，由此确定正确选项.

【详解】

甲的平均分为687477838389849293743，乙的平均分99646674768587989895743，两人平均分相同，故A选项错误.

99甲的中位数为83，乙的中位数为85，两人中位数不相同，故B选项错误.甲的众数是83，乙的众数是98，故D选项错误.所以正确的答案为C.由茎叶图可知，甲的数据比较集中，乙的数据比较分散，所以甲比较稳定.（因为方差运算量特别大，故不需要计算出方差.）

故选：C

【点睛】

本小题主要考查根据茎叶图比较平均数、中位数、众数、方差，属于基础题.

6、B

【解析】

根据不等式的基本性质、重要不等式、函数的单调性即可得出结论．

【详解】

解：∵ab0，∴ab0，ba0，

∴1111ba0，即，故A成立；

ababababb2abb0，即abb2，故B不成立； a2b22abab0，即a2b22ab，故C成立；

∵指数函数y2x在R上单调递增，且ab，

∴2a2b，故D成立；

故选：B．

【点睛】

本题主要考查不等式的基本性质，作差法比较大小，属于基础题．

7、C

【解析】

由平行公理，若c//b，因为c//a，所以a//b，与a、b是两条异面直线矛盾，异面和相交均有可能．

【详解】

2a、b是两条异面直线，c//a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．

因为若c//b，因为c//a，由平行公理得a//b，与a、b是两条异面直线矛盾．

故选C．

【点睛】

本题主要考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题.

8、A

【解析】

根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即可.

【详解】

根据函数平移变换,由变换为,

只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.

【点睛】

本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.

9、C 【解析】

记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比1的等比数列，

21a11612=378，解得：a1=192，∴a51924=12（里）由S6=378，得S6．故选1212C．

10、C

【解析】

解析过程略

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、,【解析】

由sin56,

66sin51，结合三角函数线，即可求解，得到答案.

62【详解】

如图所示，因为sin6sin51，

625,.

61x,所以满足sinx的的取值范围为62

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，以及三角函数线的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

12、3

2【解析】

先求出BC的中点，由此能求出BC边上的中线的长度.

【详解】 解：因为空间中ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,1,0),B(0,1,2),C(2,1,1)，

所以BC的中点为1,1,3，

223322所以BC边上的中线的长度为：(11)(11)0，

223故答案为：.

2【点睛】

本题考查三角形中中线长的求法，考查中点坐标公式、两点间距离的求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

13、6

【解析】

作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案.

【详解】

xy0由题意，作出不等式组xy4所表示的平面区域，如图所示，

x1因为目标函数z2xy，可化为直线y2xz，当直线y2xz过点A时，此时目标函数在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，

又由xy0，解得A(2,2)，

xy4所以目标函数z2xy的最大值为z2226.

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

14、1

【解析】

由题意整体代入可得a4b【详解】

由a0，b0，则a4b当且仅当a4b115，由基本不等式可得．

baab111，

aba4ba4b115529．

abbaba4ba3＝，即a＝3且b＝时，a4b取得最小值1．

ab2故答案为：1．

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题．

15、2550

【解析】

aan由题得为等差数列，得nn1，则a50可求

nn【详解】

由题：aan为等差数列且首项为2，则n2+n1n1，所以nna505150=2550．

故答案为：2550

【点睛】

本题考查等差数列的定义，准确计算是关键，是基础题

516、,1.

4【解析】

令f(x)t，则原方程为t2atb0，根据原方程有且仅有5个不同实数根，则f(x)t有5个不同的解，结合f(x)图像特征，求出t的值或范围，即为方程t2atb0解的值或范围，转化为a,b范围，即可求解.

【详解】

令f(x)t，则原方程为t2atb0，

5216x0x2当x0时，fx，且f(x)为偶函数，

x11x22做出f(x)图像，如下图所示：

当t0时，f(x)t有一个解；

当0t1或t当1t5，f(x)t有两个解；

45时，f(x)t有四个解；

45当t0或t时，f(x)t无解.

4fxafxb0，a,bR有且仅有5个不同实数根，

关于t的方程t2atb0有一个解为0，b0，另一个解为a，

2555a在区间(1,)上，所以1a,a1，

4445实数ab的取值范围是,1.

4故答案为:5,1.

4

【点睛】

本题考查复合方程根的个数求参数范围，考查了分段函数的应用，利用换元法结合的函数的奇偶性的对称性，利用数形结合是解题的关键，属于难题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（2）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）连接AC，交BE于H，结合平行四边形的性质可得PA//FH，再由线面平行的判定定理，即可得证（2）运用面面垂直的性质定理可得AB平面PAD，推得CDPD，CDFE，CDBE，再由线面垂直的判定定理和吗垂直的判定定理，即可得证．

【详解】

证明：（1）连接AC，交BE于H，

可得四边形ABCE为平行四边形，

且H为AC的中点，可得FH为PAC的中位线，可得PA//FH，

PA平面BFE，FH面BFE，可得PA//面BFE；

（2）平面PAD底面ABCD，ABAD，可得AB平面PAD，

即有ABPD，AB//CD，可得CDPD，

由ABAD，CD2AB，可得四边形ABED为矩形，即有CDBE，

又CDPD，FE//PD，可得CDFE，且EF所以有CD平面BFE，

而CD平面PCD，则平面BEF平面PCD．

【点睛】

本题考查线面平行和面面垂直的判定，注意运用线线平行和线面垂直的判定定理，考查推理能力，属于中档题．

18、（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）令n1，由a1S1求出a1的值，再令n2，由Sn2ann得BEE Sn12an1n1，将两式相减并整理得an2an11，计算出数可证明出数列an1为等比数列；

an1为非零常an111111（2）由（1）得出an12，可得出ann，利用放缩法得出n，2an2n121n利用等比数列求和公式分别求出数列不等式成立.

【详解】

11nn和n1的前项和，从而可证明出所证22（1）当n1时，a1S12a11，解得a11；

当n2时，由Sn2ann得Sn12an1n1，

上述两式相减得anSnSn12an2an11，整理得an2an11.

an12an122，且a112.

则an11an11所以，数列an1是首项为2，公比为2的等比数列；

nn1n（2）由（1）可知an1222，则an21．

111因为，

an2n12n所以11a1a21112an22111.

2n2n1111又因为，

an2n12n1221n2n1所以11a1a2111an21122．

n1n122综上，1【点睛】

111n2a1a212．

an本题考查利用前n项和求数列通项，考查等比数列的定义以及放缩法证明数列不等式，解题时要根据数列递推公式或通项公式的结构选择合适的方法进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19、（1）BC【解析】

（2）83

26；(1)

法一：在ABC中，利用余弦定理即可得到BC的长度；

法二：在ABC中，由正弦定理可求得ABC，再利用正弦定理即可得到BC的长度；（2）在ACD中，使用正弦定理可知ACD是等边三角形或直角三角形，分两种情况分别找出面积表达式计算最大值即可.

【详解】

（1）法一：ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即(23)(22)BC222BCcos解得BC所以BC2223，

26或26,26.

260舍去，

2322ABAC法二：ABC中，由正弦定理得，即sinABC.

sinsinACBsinABC3解得sinABC2,2ACAB,ABCACB，故ABC4，

CAB345.

1223BCABBC由正弦定理得，即5，解得BC26.

sinsinsinACBsinCAB312（2）ACD中，由正弦定理及ADcosACcos，可得11sincossincos，即sin2sin2,22或22，22即或.

23,△ACD是等边三角形或直角三角形.

23AC,AC4sin.

sinABC中，设ABC，由正弦定理得若ACD是等边三角形，则

sin3S△ACD113ACADsinCAD4sin4sin43sin2.

222∵0,23,当时，ACD面积的最大值为43；

2若ACD是直角三角形，则11SACDACAD4sin43sin83sin2.

220,23,当时，ACD面积的最大值为83；

2综上所述，ACD面积的最大值为83.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，面积公式，三角函数最值的相关应用，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力，分析三角形的形状并讨论是解决本题的关键.

20、（1）C【解析】

（1）根据SABC3（2）3

11absinCcasinAbsinBcsinC，由正弦定理化角为边，

22得a2b2c2ab，再根据余弦定理即可求出角C；

（2）由余弦定理可得，a2b2c2ab又c2，结合基本不等式可求得ab4．由中点公式的向量式得CD值．

【详解】

（1）依题意得，1CACB，再利用数量积的运算，即可求出CD的最大211absinCcasinAbsinBcsinC，

22由正弦定理得，abccabc222，即a2b2c2ab，

a2b2c2ab1由余弦定理得，cosC，

2ab2ab2又因为C0,，所以C3.

（2）∵a2b2c2ab，c2，

∴aba2b242ab4，即ab4．

∵D为AB中点，所以CD∴CD21CACB，

2221CACB2CACB

4121ba2ab42ab

441483

4当且仅当ab2时，等号成立.所以CD的最大值为3．

【点睛】

本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及利用中点公式的向量式结合基本不等式解决中线的最值问题，意在考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题．

21、茎叶图见解析，乙班

【解析】

根据表中数据作出茎叶图,再依据茎叶图进行分析.

【详解】

根据表中数据,作出茎叶图如下:

从这个茎叶图中可以看出,甲班成绩集中在70分左右,而乙班成绩集中在80左右,

故乙班的数学成绩更好一些.

【点睛】

本题考查画茎叶图,也考查茎叶图的应用,属于基础题.


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考查,利用,本题,定理,运算,属于,函数