关于集合可数的若干证明方法

2024年4月5日发(作者：赣榆区初中期中数学试卷)

毕 业 论 文

题 目 关于集合可数的若干证明方法

学生姓名 王中华 学号

所在院(系) 数 学 系

专业班级 数学与应用数学专业2003级4班

指导教师 李 金 龙

2007年 5月 22日

陕西理工学院毕业论文

关于集合可数的若干证明方法

王中华

（陕西理工学院数学系数学与应用数学专业2003级4班,陕西 汉中 723000）

指导教师：李金龙

[摘 要]

本文主要介绍了有关集合可数的五种证明方法,这些方法是:一.依据定义构造无穷序列证明

集合可数;二.依据伯恩斯坦定理通过建立映射证明集合可数;三.通过集合之间取并集来证明有些集合可

数;四.用数学归纳法证明集合可数;五.运用转化的思想.通过以上方法的讨论,本文对有关集合可数的证

明做了一个比较全面的介绍.

[关键词]

可数集;1-1映射;无穷序列

１ 引言

集合是整个数学理论的基础,可数集是实变函数中的一个最基本的概念,对后续的测度论以及

Lebesgue积分的学习起着很重要的作用而且作为一类最简单的集合在数学的各个分支中也有广泛的

应用.基于此判断并证明集合可数便显得尤为重要,虽然可数集合数目众多,种类繁杂,但集合可数的证

明方法无分就几类.本文将主要介绍其中常用的五种方法.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了

大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些证明方法

做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍解题方法,所以,本文会以大量的例题进行讲解说

明.

２ 预备知识

定义2.1 设

A,B

是两个集合,如果存在二者元素之间的一个对应关系



,使

A

中任意元素

x

,

[1]

通过



都恰与

B

中某一个元素

y

对应,而

B

中任意的元素

y

也一定是

A

中某一

x

通过



在

B

中的对

应元素,则我们就说

A

和

B

是对等的.记为

AB

.

[2]

定义2.2 凡与自然数集对等的集合称为可列集.可列集与有限集统称可数集.

[3]

**

定理2.1(Cantor—Bernstein) 若

XYY,YXX

,则

XY

.

定理2.2 任何无穷集合必有可数子集.

基于以上两个定理,我们给出集合可数的如下两个充分条件.

定理2.3 设

A

为任意无穷集,

X

为一可数集,且存在满射

f:XA

,则

A

可数.

证明 由已知必存在集合

MX

,使得

f

在

M

上的限制是一个双射,即存在集合

MX

,使

得

f:MA

为一个双射,也就是说

AMX

.又由定理2.2,

A

必有可数子集,即存在

BA

,且

[4]

BX

,也就是说

XBA

.从而由定理2.1知

AX

,又

XN

,故

AN

即

A

可数.

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