高等数学在中学数学的应用-教育文档

2023年12月26日发(作者：2021山东高考数学试卷手写版)

高等数学在中学数学的应用

高等数学中的微积分的知识在中学数学的许多问题上能起到驭繁的作用，尤其在证明不等式、恒等式和研究函数的变化性态及作图，不仅可以简化解法，并能使问题的研究更为深入全面。

一、不等式的证明

在研究变化过程中变量之间的相互制约关系时，更多的是不等式的研究.中等数学中经常通过恒等变化、数学归纳法、二次型等方法解决，或运用已有的基本不等式的证明，为此先要进行恒等变形，这需要较高的技巧。

利用微积分的知识和方法，例如微分中值定理，函数的增减性，极值判定法，定积分的性质等。可简化不等式的证明过程，降低技巧性。

归纳：从以上两题可以知道在中学阶段仅可通过恒等变形比较两个函数的形式进行讲解，操作麻烦，学生也很难接受，但学了高等数学之后，问题就变得简单了。

二、恒等式的证明

学了高等数学后，可以发现许多问题的解决可以简化。下面两个例题都是运用了导数知识。

三、函数的变化性态及作图

函数的图象以其值、直观性有着别的工具不可替代的作用，

特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，作用尤为明显，例如两个看起来很像的函数：，熟悉它们两的图象就知道中学数学的描点作图是不完善的，有许多的不足之处，总会担心点取的不够多或点取的太多，例如函数的正确图形应为1-1（下左）而描点法很可能画出1-2（下右）的错误图形：

利用导数作为工具，就可有效的对函数的增减性，极值点，凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图象，一般来说，描绘函数的图象可以按以下的步骤进行：

（1）求函数的定义域.

（2）考察函数的奇偶性，周期性.

（3）求函数的某些特殊点，如与两坐标的交点，不连续点，不可导点等.

（4）确定函数的单调区间，极值点，凸性区间及拐点.

（5）考察渐近线.

（6）根据讨论最后画出函数的图象.

对于上述的（1），（2），（3）在中学就可以一一解决，在这里在重点的讲一下如何求函数的单调性、极值点；凹凸性、拐点；渐近线、切线方程。

1.单调性、极值点

定理：函数单调性的判定法 设函数在上连续，在内可导.

归纳：由上面的讨论可以对函数的图像及变化性态有着更深

一步的认识，运用以上知识不仅可以画出一些中学数学中较特殊的函数图像，而且甚至对不管有多复杂的函数图像都能够较准确地做出。

四、结语

伴随着高等数学的产生与发展，它既为其它的学科提供了便利的计算工具和教学方法，又可以将中学数学中许许多多的问题简单化.可想而知，它是多么的重要.所以希望广大的学者一定要好好的学习它，并且得真正的行动起来。