北师大版九年级上册数学期末复习试题(有答案)

2023年12月4日发(作者：东华高中数学试卷)

2020-2021学年北师大新版九年级上册数学期末复习试卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（ ）

A．4

B．5

C．6

D．8

2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）

A．

B．

C．

D．

3．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（ ）

A．28°

B．32°

C．42°

D．52°

4．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（ ）

A．2020

B．﹣2020

C．2019

D．﹣2019

5．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）

A．1：2

B．1：3

C．1：4

D．1：5

6．如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝，则的长为（ ）

A．

B．

C．

D．π

7．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）

A．∠ACP＝∠B

B．∠APC＝∠ACB

C．

D．

8．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根

C．没有实数根

B．有两个相等的实数根

D．无法确定

9．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）

A．1：2：3：4

B．1：3：2：4

C．1：4：2：3

D．1：2：4：3

10．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B，若在抛物线上有且只有三个不C3，

同的点C1，C2，使得△ABC1，△ABC2，△ABC3的面积都等于a，则a的值是（ ）

A．6

B．8

C．12

D．16 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）

11．已知：反比例函数y＝﹣，当1＜x＜3时，y的取值范围是

．

12．在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则白色棋子的个数为

．

13．已知平面直角坐标系xOy中，△OAB为等边三角形，且点A在x轴上，点B在双曲线y＝上，则△OAB的边长是

．

14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为

．

三．解答题（共11小题，满分78分）

15．解方程：x2﹣5x+6＝0

16．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：

摸球的次数n

摸到白球的次数m

摸到白球的频率

100

70

0.70

200

124

0.62

300

190

0.633

500

325

0.65

800

538

0.6725

1000

670

0.670

3000

2004

0.668

（1）若从盒子里随机摸岀一只球，则摸到白球的概率的估计值为

；（精确到0.01）（2）试估算盒子里黑球有

只；

（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是

．A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”．

B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”．

C．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5． 17．在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长．

18．如图：△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE，其中∠B＝50°，∠C＝60°．

（1）若AD平分∠BAC时，求∠BAD的度数．

（2）若AC⊥DE时，AC与DE交于点F，求旋转角的度数．

19．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：

（1）一次函数的解析式；

（2）△AOB的面积；

的图象交于A，B两点，且点（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．

20．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．

（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．

（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．

21．九年级活动小组计划利用所学的知识测量操场旗杆高度．测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时看到旗杆顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记点C重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在阳光下，小越从D点沿DM方向走了15.8米到达F处此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得FG＝1.6米，FH＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息求出旗杆的高AB．

22．沈阳市图书馆推出“阅读沈阳

书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）．

23．如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8．AD和过点B的切线互相垂直，垂足为D．

（1）求证：∠BAD+∠C＝90°；

（2）求线段AD的长．

24．已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．

（1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．

25．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．

（1）求证：△APE∽△ABC；

（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；

（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP的长．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．解：作CE⊥x轴于E，

∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，

∴OA＝CE＝2，

∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，

∴∠OAB＝∠CBE，

∵∠AOB＝∠BEC，

∴△AOB∽△BEC，

∴＝，即＝，

∴BE＝4，

∴OE＝5，

∵点D是AB的中点，

∴D（，2）．

∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，

∴k＝×2＝5．

故选：B．

2．解：A、是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项正确；

C、是中心对称图形，故本选项错误；

D、是中心对称图形，故本选项错误；

故选：B． 3．解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，

∴∠B＝42°，

∵△ABC∽△DEF，

∴∠B＝∠E．

∴∠E＝42°．

故选：C．

4．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，

∴a2﹣a﹣1＝0，

∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，

∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．

故选：C．

5．解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，

∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．

∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，

∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，

故选：C．

6．解：连接AC、AF，

由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE，

∵DE＝EF，

∴DE＝BC＝AD，

在Rt△ADE中，DE＝AD，

∴∠DAE＝45°，AE＝＝，

∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°，

∴∠FAC＝45°，

在Rt△ABC中，AC＝∴的长＝＝，

＝3，

故选：B． 7．解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，

∴△ACP∽△ABC，

所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；

B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，

∴△ACP∽△ABC，

所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；

C、∵，

当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，

所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；

D、∵，

又∠A＝∠A，

∴△ACP∽△ABC，

所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，

本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，

故选：C．

8．解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，

故选：B．

9．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，

故选：D．

10．解：抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1．﹣4）

当y＝0时，即x2﹣2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3

所以点A（﹣1，0），B（3，0） AB＝3﹣（﹣1）＝4．

因为抛物线上有且只有三个不同的点C1，C2，C3，

使得△ABC1，△ABC2，△ABC3的面积相等．

所以其中的一个点为顶点

所以a＝×4×|﹣4|＝8．

故选：B．

二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）

11．解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣3＜0，

∴当x＞0时，y随x的增大而增大，

当x＝1时，y＝﹣3，当x＝3时，y＝﹣1，

∴当1＜x＜3时，﹣3＜y＜﹣1，

故答案为：﹣3＜y＜﹣1．

12．解：设白色棋子的个数为x个，根据题意得：

＝，

解得：x＝10，

答：白色棋子的个数为10个；

故答案为：10．

13．解：设△OAB的边长是a，

∵平面直角坐标系xOy中，△OAB为等边三角形，且点A在x轴上，点B在双曲线y＝上，

∴点B的坐标是（a•cos60°，a•sin60°），

∴a•sin60°＝解得，a＝2故答案为：2，

．

，

14．解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，

∴BE：EC＝1：3；

∴BE：BC＝1：4；

∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，

∴＝，

）2＝；

∴S△DOE：S△AOC＝（故答案为：1：16．

三．解答题（共11小题，满分78分）

15．解：∵x2﹣5x+6＝0，

∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，

则x﹣2＝0或x﹣3＝0，

解得x1＝2，x2＝3．

16．解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸岀一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.67，

故答案为：0.67；

（2）根据题意得：

100×（1﹣0.67）＝33（只），

答：盒子里黑球有33只；

故答案为：33；

（3）A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率为＝故此选项不符合题意；

B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为＝0.5，不符合题意；

C．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5的概率为≈0.67，符合题意；

所以某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是C，

故答案为：C．

17．解：由题意得出：OC⊥AB于点D，

由垂径定理知，点D为AB的中点，AB＝2AD，

∵直径是52cm，

∴OB＝26cm，

＝0.5＜0.67，∴OD＝OC﹣CD＝26﹣16＝10（cm），

由勾股定理知，

BD＝∴AB＝48cm．

＝24（cm），

18．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，

∴∠BAC＝70°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝35°；

（2）∵△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE，

∴∠E＝∠C＝60°，旋转角为∠CAE，

∵AC⊥DE，

∴∠CAE＝30°，

∴旋转角为30°．

19．解：（1）由题意A（﹣2，4），B（4，﹣2），

∵一次函数过A、B两点，

∴解得，

，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；

（2）设直线AB与y轴交于C，则C（0，2），

∵S△AOC＝×OC×|Ax|，S△BOC＝×OC×|Bx|

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝•OC•|Ax|+•OC•|Bx|＝

（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x＜﹣2＝6； 或0＜x＜4．

20．解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：＝14，

则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；

（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：

（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，

解得x1＝1，x2＝5，

当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；

当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），

为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），

答：每辆汽车的售价为20万元．

21．解：由题意可得：∠BCA＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，

故△ABC∽△EDC，

则即＝＝，

＝1.5，

×1+8∴AB＝1.5BC，

∵GF∥AB，

∴△GFH∽△ABH，

∴∴＝＝，

＝，

解得：BC＝10，

故AB＝1.5BC＝15米． 答：旗杆的高AB为15米．

22．解：画树状图为：

共有6种等可能的结果，其中抽出的两名学生性别相同的结果数为3，

所以抽出的两名学生性别相同的概率＝＝．

23．解：（1）连接BO延长交⊙O于E，连接AE．

∵DB为⊙O的切线，

∴EB⊥BD．

∵AD⊥BD，

∴AD∥BE，

∴∠BAD＝∠EBA．

∵BE为直径，

∴∠EBA+∠E＝90°，

由圆周角定理得，∠E＝∠C．

∴∠BAD+∠C＝90°；

（2）∵⊙O的半径为5，

∴BE＝10．

∵∠BAD＝∠EBA，∠D＝∠BAE，

∴△ABE∽△DAB，

∴，

∵AB＝8，BE＝10，

∴AD＝6.4．

∴线段AD的长度为6.4． 24．（1）由y＝x2+x+m，

令y＝0，则（x+2）（x﹣m）＝0，

∴AO＝2，BO＝m，

∴A（﹣2，0），B（m，0），

∵AB＝7，

∴m﹣（﹣2）＝7，m＝5，

∴y＝；

），

（2）过点D作DK⊥x轴于点K，设∠DAB＝α，则D（d，﹣

∴＝．

∴EO＝AO•tanα＝5﹣d，CE＝5﹣（5﹣d）＝d，

∴；

（3）过点E作CE的垂线，过C作∠OCP的平分线交DE于点J，交CE的垂线于点F，过点F作ED的平行线交HD于点N． ∴∠ECF＝∠HDE＝α，HE＝3k，CP＝5k，CE＝HD＝d，

∵CE＝HD，∠CEF＝∠CHD＝90°，

∴△CEF≌△DHE（ASA），

∵EF∥DN，NF∥DE，

∴四边形EDNF为平行四边形，

∴EF＝HE＝DN＝3k，CF＝DE＝FN，

∴△CFN为等腰直角三角形，

∴∠PCN＝∠FNC＝45°，

∴∠PCN＝∠PNC＝45°﹣α，

∴PC＝PN＝5k，

∴PD＝2k，

∴CH＝d﹣3k，PH＝d﹣2k，

∴（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，

∴（d﹣6k）（d+k）＝0，

∴d＝6k，

∴在Rt△DHE中，tan，

由（2）知，

∴．

∴d＝4，

∴D（4，3），

∴＝＝8．

25．解：（1）∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°， 由旋转知，PA＝PE，∠APE＝90°＝∠ABC，

∴∠PAE＝∠PEA＝45°＝∠BAC，

∴△APE∽△ABC；

（2）在Rt△ABC中，AB＝CB，

∴AC＝AB，

由（1）知，△APE∽△ABC，

∴，

∵∠BAC＝∠PAE＝45°，

∴∠PAB＝∠EAC，

∴△PAB∽△EAC，

∴＝＝，

∵△PAB∽△EAC，

∴∠ABP＝∠ACE，

∴∠BCE+∠CBM＝∠BCE+∠ABP+∠ABC＝∠BCE+∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝45°+90°＝135°，

∴∠BMC＝180°﹣（∠BCE+∠CBM）＝45°；

（3）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，

∴AC＝3，

∵点P，C，E在同一条线上，且∠APE＝90°，

∴CP＝∴CE＝CP﹣PE＝由（2）知，∴BP＝＝＝，

﹣1或CE\'＝CP\'+P\'E＝，

（﹣1）＝或．

或BP\'＝CE\'＝；

+1，

CE＝即：BP的长为