2023年12月3日发(作者：东北三省三模数学试卷)
九年级上学期期末考试数学试卷（附参考答案与解析）
班级：___________姓名：___________考号：___________
一、选择题（每小题3分，共60分）
1．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；③直角三2；9，角形斜边上的中线与斜边的比为1：④两个相似多边形的面积比为4：则周长的比为16：81中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
3．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
4．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（ ）
第 1 页 共 30 页 A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（ ）
7．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣A．45° B．60° C．75° D．105°
8．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y=﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1
9．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
10．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
12．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（ ）
A．
B． C． D．
第 2 页 共 30 页 13．在△ABC中，AB=12A．7 B．8
，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（ ）
C．8或17 D．7或17
14．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
15．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
16．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
17．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）
A．1： B．1： C．1：2 D．2：3
18．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=
第 3 页 共 30 页 19．如图，⊙O的半径为R，以圆内接正方形ABCD的顶点B为圆心，AB为半径．画弧AC，则阴影部分的面积是（ ）
A．（π﹣1）R2 B．R2 C．（π﹣2）R2 D．
20．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=其中正确的结论有（ ）
．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，共12分）
21．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平分线，分别于反比例函数y=和y=的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为 ．
22．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是 ．
第 4 页 共 30 页 23．如图1是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图2所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图1中的圆与扇环的面积比为 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，为圆心，则a的最大值是 ．
三、解答题
25．2016年2月21日，青海新闻网讯：西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
26．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
第 5 页 共 30 页 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
29．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求cos∠E的值．
第 6 页 共 30 页
第 7 页 共 30 页 参考答案与解析
一、选择题（每小题3分，共60分）
1．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；③直角三2；9，角形斜边上的中线与斜边的比为1：④两个相似多边形的面积比为4：则周长的比为16：81中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】位似变换；直角三角形斜边上的中线；相似多边形的性质．
【分析】位似就是特殊的相似，因而第一个是正确的；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因而斜边上的中线与斜边的比为1：2；相似性面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比．
【解答】解：①位似图形都相似，③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2，正确．
故选B．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）
故选D．
第 8 页 共 30 页
3．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
【考点】反证法．
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故选：A．
4．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD
∴∠α=∠ACD
∴cosα=cos∠ACD===
只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
第 9 页 共 30 页 5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．
6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=， ==，结合图形得到=，得到答案．
【解答】解：∵DE∥AC
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25
∴=
∵DE∥AC
∴∴==
=
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4
故选：B．
第 10 页 共 30 页 7．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣A．45° B．60° C．75° D．105°
|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（ ）
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质得出cosA=的度数．
【解答】解：由题意得，cosA=则∠A=30°，∠B=45°
则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．
故选D．
8．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y=﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性，再根据y1＜0＜y2＜y3判断出三点所在的象限，故可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣1＜0
∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大
∵y1＜0＜y2＜y3
∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x3，y3）两点均在第二象限
∴x2＜x3＜x1．
故选D．
9．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞1
【考点】根的判别式．
【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后可以求出k的取值范围．
第 11 页 共 30 页
，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C，tanB=1
C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 【解答】解：由题意知k≠0，△=4+4k＞0
解得k＞﹣1且k≠0．
故选D．
10．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】解：根据题意，将x=﹣2代入方程x2+ax﹣a2=0，得：
4﹣3a﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0
左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）=0
∴a﹣1=0，或a+4=0
解得：a=1或﹣4
故选：C．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．
【分析】首先连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得∠AOC的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．
【解答】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D
∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=∠AOC
∴∠COD=∠B=60°；
在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°
第 12 页 共 30 页 ∴CD=OC=2
．
∴AC=2CD=4故选A．
12．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形．
【分析】过点A构造∠ADB所在的直角三角形，设AE为1，得到DE的值，相除即可．
【解答】解：作AE⊥BD，交DB的延长线于点E．
由题意可得：∠ABE=∠CBD=45°
设AE=1，则AB=∴BC=
∵Rt△BCD是等腰直角三角形
∴BD=∴DE=1+
+1）=．
∴tan∠ADB=1÷（故选D．
第 13 页 共 30 页
13．在△ABC中，AB=12A．7 B．8
，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（ ）
C．8或17 D．7或17
【考点】解直角三角形．
【分析】首先根据特殊角的三角函数值求得∠B的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长．
【解答】解：∵cos∠B=∴∠B=45°
当△ABC为钝角三角形时，如图1
∵AB=12，∠B=45°
∴AD=BD=12
∵AC=13
∴由勾股定理得CD=5
∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2
BC=BD+CD=12+5=17
故选D．
14．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
第 14 页 共 30 页 A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）=45．
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场
∴共比赛场数为x（x﹣1）
∴共比赛了45场
∴x（x﹣1）=45
故选A．
15．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠A=70°．再根据切线的性质定理和四边形的内角和定理，得∠EOF=110度．再根据圆周角定理，得∠EDF=55°．
【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°
∴∠A=70°
∴∠EOF=110°
∴∠EDF=∠EOF=55°．
故选B．
16．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）
第 15 页 共 30 页 A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
【考点】正方形的性质．
【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．
【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：
∵∴=
=
∴∴S1=∴S1=∵=S正方形ABCD
x2
=
∴=
∴S2=S正方形ABCD
∴S2=x2
∴S1：S2=故选D．
x2： x2=4：9；
第 16 页 共 30 页
17．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）
A．1： B．1： C．1：2 D．2：3
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到平分线定理得到=，求出AD=AB，BD=，根据三角形的角AB，过C作CF⊥AB于F，连接AB，根据三角形的面OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=AB，CF=积公式即可得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∵∠B=30°
∴
∵CE平分∠ACB交⊙O于E
∴∴AD==
AB，BD=AB
过C作CF⊥AB于F，连接OE
∵CE平分∠ACB交⊙O于E
∴=
第 17 页 共 30 页 ∴OE⊥AB
∴OE=AB，CF=AB
）：（）=2：∴S△ADE：S△CDB=（AD•OE）：（BD•CF）=（3．
故选D．
18．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．
【解答】解：设平均每天涨x．
则90%（1+x）2=1
即（1+x）2=故选B．
19．如图，⊙O的半径为R，以圆内接正方形ABCD的顶点B为圆心，AB为半径．画弧AC，则阴影部分的面积是（ ）
第 18 页 共 30 页 A．（π﹣1）R2 B．R2 C．（π﹣2）R2 D．【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．
【分析】圆的面积减去正方形的面积，可将劣弧与正方形的每条边所围成的面积求出，阴影部分的面积为扇形ABC的面积加上劣弧与正方形的边所围成的面积的一半．
【解答】解：∵⊙O的半径为R
∴正方形的边长为R；
R）2=（π﹣2）R2；
劣弧与正方形的边所围成的面积为：πR2﹣（扇形的面积为： ==πR2；
故阴影部分的面积为（π﹣2）R2+πR2=（π﹣1）R2．
故选A．
20．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=其中正确的结论有（ ）
．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】相似形综合题．
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
第 19 页 共 30 页 ②由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④CD与AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值无法判断，故④错误．
【解答】解：过D作DM∥BE交AC于N
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC
∵BE⊥AC于点F
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC
∴△AEF∽△CBF
∴
∵AE=AD=BC
∴
∴CF=2AF，故②正确
∵DE∥BM，BE∥DM
∴四边形BMDE是平行四边形
∴BM=DE=BC
∴BM=CM
∴CN=NF
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE
∴DN⊥CF
∴DF=DC，故③正确；
设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有∵tan∠CAD==
．
第 20 页 共 30 页 故④错误
故选B．
二、填空题（每小题3分，共12分）
21．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平分线，分别于反比例函数y=和y=的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为
3 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】先设P（0，b），由直线AB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数y=﹣和y=的图象上，可得到A点坐标为（﹣，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：设P（0，b）
∵直线AB∥x轴
∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=﹣的图象上
∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b）
又∵点B在反比例函数y=的图象上
∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b）
∴AB=﹣（﹣）=
∴S△ABC=•AB•OP=••b=3．
故答案为：3．
第 21 页 共 30 页
22．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是
．
【考点】菱形的性质；解直角三角形．
【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=问题．
【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a
∴∠AEC=90°
∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°
∴E、C、B共线
在Rt△AEB中，tan∠ABC=故答案为．
==．
，求出AE、EB即可解决
23．如图1是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图2所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图1中的圆与扇环的面积比为
4：9 ．
【考点】扇形面积的计算．
第 22 页 共 30 页 【分析】要求图1中的圆与扇环的面积比，就要先根据面积公式先计算出面积．再计算比．
【解答】解：设正方形的边长为2，则圆的面积为π，扇环的面积为（4π﹣π）=π
所以图1中的圆与扇环的面积比为4：9．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D4）1为半径的圆上运动，（4，为圆心，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是
6 ．
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．
【解答】解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0）
∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a
∴AB=AC
∵∠BPC=90°
∴PA=AB=AC=a
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大
∵A（1，0），D（4，4）
∴AD=5
∴AP′=5+1=6
∴a的最大值为6．
故答案为6．
三、解答题
第 23 页 共 30 页 25．2016年2月21日，青海新闻网讯：西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；
（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：
解得：
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．
根据题意可得：720（1+a）2=2205
解此方程：（1+a）2=即：a1==75%，a2=﹣
（不符合题意，舍去）
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．
26．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
第 24 页 共 30 页 【考点】解直角三角形的应用．
【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据中利用tan72°=，求出AN即可解决问题．
=，求出CM，在RT△AMN【解答】解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．
由题意=，即=，CM=
在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°
∴tan72°=∴AN≈12.3
∵MN∥BC，AB∥CM
∴四边形MNBC是平行四边形
∴BN=CM=
∴AB=AN+BN=13.8米．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函
第 25 页 共 30 页 数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可；
（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，1）
∴将A坐标代入反比例函数解析式y2=中，得m=﹣2
∴反比例函数解析式为y=﹣；
将B坐标代入y=﹣，得n=﹣2
∴B坐标（1，﹣2）
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得解得a=﹣1，b=﹣1
∴一次函数解析式为y1=﹣x﹣1；
（2）设直线AB与y轴交于点C
令x=0，得y=﹣1
第 26 页 共 30 页 ∴点C坐标（0，﹣1）
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×2+×1×1=；
（3）由图象可得，当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围x＞1．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC
∴∠BAP=∠DPC
∴△ABP∽△PCD
∴=
=，即
第 27 页 共 30 页 ∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B
∴△BAP∽△BCA
∴=．
∵AB=10，BC=12
∴=
．
∴BP=
29．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求cos∠E的值．
【考点】切线的判定；勾股定理．
【分析】（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；
（2）根据∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．
【解答】（1）证明：如图
第 28 页 共 30 页 方法1：连接OD、CD．
∵BC是直径
∴CD⊥AB．
∵AC=BC．
∴D是AB的中点．
∵O为CB的中点
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC
∴OD⊥EF．
∴EF是O的切线．
方法2：∵AC=BC
∴∠A=∠ABC
∵OB=OD
∴∠DBO=∠BDO
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．即∠EDO=90°
∴OD⊥ED
∴EF是O的切线．
（2）解：连BG．
∵BC是直径
∴∠BDC=90°．
∴CD==8．
第 29 页 共 30 页
∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG
∴BG===．
∴CG==．
∵BG⊥AC，DF⊥AC
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG
∴cos∠E=cos∠CBG==．
第 30 页 共 30 页
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