一、举例说明什么是数学模型对在小学数学教学中引入建模

2023年12月11日发(作者：陕西中考2016数学试卷)

一、举例说明什么是数学模型？对在小学数学教学中引入建模教学的必要性你是如何思考的？结合方程教学谈谈如何建构数学模型。

答：1、例如教学圆锥的体积一课：

（1）回顾、猜想：

师：请同学们回忆我们在学习圆柱的体积推导过程中，应用了哪些数学思想方法？

生：运用了转化地方法。

师：猜一猜圆锥的体积能否转化成已经学过的图形的体积？它会与学过的哪种立体图形有关？

学生大胆进行猜想，有的猜能转化成圆柱、有的猜能转化成长、正方体。

（2）动手验证

师：请同学们利用手中的学具进行操作，研究圆锥体积的计算方法。

教师给学生提供多个圆柱、长方体、正方体和圆锥空盒（其中圆柱和圆锥有等底等高关系的、有不等底不等高关系的，圆锥与其他形体没有等底或等高关系）、沙子等学具，学生分小组动手实验。

(3)反馈交流

生1：我们选取了一个圆锥和一个正方体进行实验，将正方体中倒满沙子，然后倒入圆锥容器中，到了四次，还剩下一些，发现圆锥体与这个圆柱体之间没有关系。

生2：我们组选取的是圆锥和圆柱，这个圆锥与这个圆柱之间也没存在关系，然后我们换了一个圆柱，这个圆柱的体积是这个圆锥体积的三倍。

(4)归纳总结。

师：那么存在3倍关系的圆柱和圆锥的底面有什么关系?它们的高又有什么关系?

生3：底面积相等，高也相等。

师: 圆柱的体积和同它等底等高圆锥的体积的有什么关系?

生:圆柱的体积是圆锥体积的3倍。

生:圆锥的体积是同它等底等高的圆柱体权的1/3。

师：是不是所有的等底等高的圆柱、圆锥都存在这样的关系？请每个组都选出这样的学具进行操作验证。

生汇报后师板书:

圆锥的体积等于同它等底等高的圆柱体积的1/3。

师：如果没有圆柱这一辅助工具，我们怎样计算圆锥的体积？ 生：圆锥的体积等于底面积乘高乘1/3。

在上述教学过程中，教师提供丰富的实验材料，学生从中挑选出必要的素材作为模型进行研究。通过反复地猜测、验证，学生逐步认识到复杂的、具有共性的数学原理与知识，在主动探索尝试过程中，学生充分利用数学模型进行了再创造学习，以抽象概括方式自主总结出圆锥体积计算公式。这一环节的设计，不仅发展了学生的策略性知识，同时让学生经历猜测与验证、分析与归纳、抽象与概括的数学思维过程。学习过程中学生有独立思考，有小组合作学习，有独立探索和合作学习相结合，在探索中充分体验了数学模型的形成过程。

2、引入建模教学的必要性

（1）引入数学建模能激发学生的学习兴趣。布鲁纳说过，学习的最好刺激是兴趣。小学数学中的一些概念、基本性质、公式、公理、定理等，一般是由实例出发得出结论的，体现了数学建模的思想。作为教学活动中起主导作用的教师，在建模活动中通过学生熟知的、贴近现实生活的实例，用数学知识来解决它们，使学生体会到用数学知识解决这些实际问题的过程，还数学知识于本来面目，从而体现了数学的实际应用价值，使学生感受到数学不再是枯燥又乏味的东西。

（2）建模教学可以加深学生对数学知识和方法的理解和掌握。建模的方法有助于调整学生的知识结构，深化知识层次，同时，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。

因此，在在小学数学教学中引入建模教学是非常必要的。教师应逐步培养学生通过构建数学模型解决问题的思路与能力，使学生形成良好的思维习惯。

3、

方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。《标准》强调从“数学建模”的角度开展方程的教学。结合具体的总是情境教学方程的含义，如“用式子表示天平两边物体的质量关系”，让学生通过观察、分析，写出式子，再比较式子的异同，在讨论和交流中，由具体到抽象感受、理解方程的含义。解方程的教学，让学生依据等式的性质对数学模型进行变换，探求方程的解。教学列方程解决简单的实际问题，要求学生在问题情境中，探索、研究、寻求已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系，即把日常语言抽象成数学语言（数量关系式），进而转换成符号语言（方程式）。在经历多次这样的活动后，学生将逐步感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模的思想和基本过程，提高解决问题的能力和信心。

二、你对“情境创设”的看法？

答：在小学数学的教学中，教学内容大多比较抽象，远离学生的生活，学生很容易因为难以理解而失去学习的兴趣。创设好的教学情景，可以提高学生学习数学的兴趣。但是，许多课堂都有这样的倾向：先创设一个所谓“情境”，再钓鱼式地引出问题，然后就将“情境”抛在一边，直接去解决“问题”了。“情境”其表，“灌输”其里。实际上，还是一个观念问题。

反思一下，我们为什么要“创设情境”，或者“创设情境”应达到什么样的目的？仅仅是为了给传统教学“包装”一下，给传统教学加点“味精”吗？我想不是，“情境”作为数学教学的有机组成部分，“情境”创设至少有一个基本原则：从教学内容和学生发展的需要出发。上述现象的出现，也正是教者追求形式化，忽略这一基本需要的缘故。如果情境创设不能提高学生学习热情，如果情境创设不能科学引导学生解决问题，如果情境创设不是促进学生认知能力的协调发展，甚至是伪造的情境,这样的情境就毫无意义。

我认为：数学教学情境创设在理清情境创设的根本目的的前提下，应注意以下问题：

(1)要有真实性。情境所创设的应符合客观现实,不能为教学的需要而“假造”情境。数学情境、现实情境二者应不相悖。

(2)要有“数学味”。情境创设“要紧扣所要教学的数学知识或技能,离开了这一点就不是数学课了”。首先,要分清数学教学生活化不完全等同于生活。如前例教学变量与常量中,过多的无关信息不仅不利于学生“数学化”能力的培养和数学知识的掌握,而且会模糊学生的思维,失去情境创设的价值。情境创设要有“数学味”,要紧扣数学教学的内容进行设计。其次,要分清目的和手段的关系。情境创设只是手段,不是目的,不应对情境本身作过多的具体描述和渲染,以免喧宾夺主,分散学生的注意力。

(3)要有“发展性”。选择恰当地、适合学生发展的情境方式。学生缺乏主观感受的可以多用录像、多媒体等形式创设实际情境,丰富学生的认识;学生需要动手操作、亲身经历的,决不简单替代,创设操作情境;学生需要认识上深化的,可以创设问题情境等等。

(4)要有“吸引力”。如果情境创设不能让学生感受到有趣,富有挑战性,能激发他们强烈的求知欲,那么情境创设同样不能改变当前学生怕学数学的现状。这种吸引力,不只在于形式的新颖,更重要的是学生对外在手段所引起的兴趣,要深化为内在的发展需要,即学生对数学学习本身产生兴趣。

综上所述,“真实性”是情境创设的基本前提,“数学味”是情境创设的本质保证,“发展性”是情境创设的价值导向,而“吸引力”是保证情境创设能够发挥其重要作用的动力,结合这四个方面要求去创设情境,才能创设出符合时代需要的教学情境。

三、什么是数感？并结合具体教学内容谈谈你是如何培养学生的数感的？

答：1、什么是数感？

数感是人对数与运算的一般理解，它是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识。主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。

2、在教学实践中，如何培养学生的数感呢？

“数的认识”的教学是培养学生数感的主要途径，下面我以三个“1000以内数的认识”教学片断为例，解释一下我在培养学生的数感方面的认识。

【教学片断】

片断一：

师：(出示一个装有100粒花生的透明容器)请同学们估一估，大约有多少粒花生？

生1：大约有90粒。

生2：大约有100粒。

生3：大约有95粒。

师：有办法知道花生有多少粒吗？

生1：一个一个地数。

生2：花生比较多，可以十个十个地数。

师：一个一个地数，10个一是多少？十个十个地数，10个十是多少？

(数完100粒花生后，教师出示装有1000粒花生的透明容器，与装有100粒花生的透明容器并列摆放，以便于学生观察、比较)。

生：哇!好多呀!(学生情不自禁地喊着)

师：(指着装有1000粒花生的透明容器)你们能估一估，这里面大约有多少粒花生吗？

生1：600粒。 生2：900粒。

生3：800粒。

生4：1000粒。

……

师：这么多的花生，如果一个一个地数或十个十个地数，同学们觉得怎么样？

生：不方便，既慢又花时间。

师：有没有更好的办法数得又准又快呢？

生1：可以一百一百地数。

生2：可以几个同学一起数，每人数100粒后就放一堆。

师：一百一百地数，10个一百是多少呢？我们一起数一数：100、200、300……900、1000。

生：10个一百是一千。

师：你们每个小组容器中的花生与这里面(指1000粒花生的容器)的花生粒数同样多。下面，请各组分工合作，数一数有多少粒花生。

……

片断二：

活动一：出示一个装有100粒黄豆的透明容器，与装有100粒花生的透明容器并列摆放。

师：这里面有100粒黄豆，这里面有100粒花生，它们看上去的感觉有什么不同？

生：感觉花生比黄豆多一些。

师：花生和黄豆都是100粒，为什么给我们的感觉并非同样多呢？

生：因为花生的个头比黄豆大。

师：(出示装有700粒黄豆的透明容器)如果要估计这里面有多少粒黄豆，你会以谁为标准去估呢？

生：以100粒黄豆为标准去估。

师：谁能估一估这里面有多少粒黄豆？

……

活动二：给每个学生一份一千字左右的文章(无插图)。

师：你们能想出哪些办法来估计这篇文章的字数？

生1：先数100个字，看看大概占多少行，然后以此为标准，一百一百地数。 生2：先把这篇文章平均分成几份，然后估计一份有多少字，最后再估计这篇文章共有多少字。

生3：先数一数一行有多少字，再数一数一共有多少行，最后把它们相乘就可以了。

……

片断三：

教师出示以下几条信息，请学生读一读，然后联系信息中的数，谈一谈读后的感想。

(1) 某地区的统计显示，每年因吸烟致癌的人数大约在1000人左右。

(2) 我校教师的人均工资约在1000元左右。

(3) 一套西装的价格是850元。

(4) 2005年一年有365天。

生1：每年约有1000人因吸烟致癌，真多啊!吸烟的危害太大!

生2：我把这个数据告诉爸爸，让他戒烟。

生3：我觉得这套西装太贵了，要850元。

生4：一套西装一般都要好几百元钱，850元不算贵，好一点的西装要两、三千元呢！

生5：我认为还是蛮贵的，我们的老师一个月的工资也就1000元左右，只比850元多一点。

师：这套西装850元的价格，对工资高的人来讲不算贵，对工资低的人来讲还是比较贵。谁愿意谈谈这个“365天”。

生6：一年的时间还是很长的。

生7：一年有365天，这么长的时间可以做很多事。

……

【片断点评】

培养学生的数感，是“数的认识”教学中需要加强的学习内容。教师没有使用教材提供的场景图，而是为学生提供身边的素材和实例，创设现实的数学活动情境，让学生在看一看、比一比、估一估、数一数、说一说的数学活动中，建立和发展数感。

“片断一”中，教师先出示100粒花生，再出示1000粒花生，让学生在看一看、比一比、估一估、数一数的数学活动过程中，真切地感受到1000粒花生很多，体会“一千”是一个很大的数，把学生大数感的培养建立在学生对实物的感知上，注重学生在学习过程中的感悟和体验。 “片断二”中，教师通过“活动一”的教学，向学生渗透估计的一般策略：找一个合适的标准量为参照物进行估计。然后，让学生把自己在“活动一”中感悟到的估计策略，运用到“活动二”中，设计多种不同的估计方法。在教学过程中，学生自我生成，自我建构，初步建立了估计的数学模型，估计方法的掌握和估计意识的形成也是学生数感培养的重要方面。

“片断三”中，教师提供一些含有数的信息，将数与学生的日常生活联系起来，促使学生从数学的角度去体会这些信息，切实感受数在日常生活中的丰富现实意义，促进学生形成一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识，达到培养学生数感的目的。

（1）数感的建立不是一蹴而就的，它是在学习过程中逐步体验和建立起来的。教学过程中应当结合有关内容（数的概念、数的运算、解决问题等）持之以恒地加以培养。

（2）数感的形成是一个循序渐进、潜移默化的过程。教学过程中应当结合有关内容（数的概念、数的运算、解决问题等）有意识的设计数感培养的具体目标，提供有助于培养学生数感的材料，开展有利于发展学生数感的活动，促进学生数感的建立和发展。

（3）数感不是通过传授培养的。教学实践中应当为学生提供具体的情境、身边的素材、丰富的实例，让学生在观察、估计、操作、比较、交流、解决问题等数学活动中，主动地去感知、体验而建立数感。