2024年4月5日发(作者：考研数学试卷买错了)
湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测试卷
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号
答案
1
C
2
D
3
A
4
C
5
B
6
B
7
C
8
D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有
两个是符合题目要求的，全部选对的得
5
分，有选错的得
0
分，部分选对的得
2
分．
题号
答案
9
ABD
10
BC
11
AC
12
ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
20
14．
y
cos
x
(本题为开放题，只要满足图象中点
2
1,0
为其对称中心，
y
轴为其对称轴，且周期为4的函数都可以)
15．
59
16．
4
74
7
,
33
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
a
n
，
n
是奇数，
2
n
2
n
1
a
2
，
n
是偶数.
n
已知数列
a
n
满足：
a
1
2
，且对任意的
nN
，
a
n
1
*
2
（1）求
a
2
，
a
3
的值，并证明数列
a
2
n
1
+
是等比数列；
3
（2）设
b
n
a
2
n
1
（
nN
*
），求数列
b
n
的前
n
项和
T
n
．
解（1）
a
2
a
1
1
，
a
3
2
3
a
2
210
．------------------------------------------------------2分
2
第
1
页共7页
由题意得
a
2
n
+1
+
又
a
1
+
2882
a
n
1
8
2
2
n
1
a
2
n
2
2
n
1
2
4
a
4
a
2
n
1
2
n
1
2
n
1
3333
2
3
，
28
2
0
，所以数列
a
2
n
1
+
是等比数列．---------------------------------------5分
33
3
2
（若用数列
a
2
n
1
+
前3项说明是公比为3的等比数列，但没有严格证明的只得3分）
3
（2）由（1）知
b
n
a
2
n
1
8
n
1
2
4
．---------------------------------------------------7分
33
8
n
2
运用分组求和，可得
T
n
4
1
n
．-----------------------------------------10分
93
18．（本题满分12分）
如图，在三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，底面
ABC
平面
AA
1
B
1
B
，
ABC
是正三角形，
D
是
棱
BC
上一点，且
CD3DB
，
A
1
AA
1
B
．
（1）求证：
B
1
C
1
A
1
D
；
（2）若
AB2
且二面角
A
1
BCB
1
的余弦值为
求点
A
1
到侧面
BB
1
C
1
C
的距离．
解；（1）取
AB
的中点
O
，
B
1
C
1
的中点
E
，连接
AO,OD,AE,DE
．
3
，
5
因为
CD3DB
，在三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
可得
A
1
EB
1
C
1
，四边形
A
1
ODE
为梯形，且
OD//AE
，
1
AE
．
2
因为
OB2BD
，且
OBD60
o
，所以
ODBC
．------------------------------2分
OD
因为
A
1
AA
1
B
，所以
A
1
OAB
．
又平面
ABC
平面
AA
1
B
1
B
，平面
ABCI
平面
AA
1
B
1
BAB
平面
ABC
，所以
A
1
OBC
．----------------------------------------4分
所以
AO
1
因为
ODBC
，
A
1
OBC
，
A
1
OIODO
，
所以
BC
平面
A
1
ODE
，所以
BCA
1
D
．
第
2
页共7页
又
B
1
C
1
//BC
，所以
B
1
C
1
A
1
D
．
--------------------------------------------------6
分
（
2
）由（
1
）知
BC
平面
A
1
ODE
，所以
BCDE
，又
BCA
1
D
，
所以
A
1
DE
是二面角
A
1
BCB
1
的平面角．
------------------------------9
分
所以
cos
A
1
DE
3
．
5
作
A
1
GDE
，由（
1
）知
A
1
G
平面
BCC
1
B
1
，设
A
1
Oh
，则
A
1
Ah
2
1
，在
A
1
DE
中，
A
1
Dh
2
33
，在平行四边形
BCC
1
B
1
中，
EDh
2
，又
A
1
E3
44
在等腰三角形
A
1
DE
中，解得
h3
，
215
．
---------------------------------------------------------------------------12
分
5
19．（本题满分12分）
所以
A
1
G
在锐角
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，满足
sin
A
sin
2
A
sin
2
C
1
，且
AC
．
sin
C
sin
2
B
（
1
）求证：
B2C
；
（
2
）已知
BD
是
ABC
的平分线，若
a4
，求线段
BD
长度的取值范围．
sin
A
sin
C
sin
2
A
sin
2
C
解：（1）由题意得,
2
sin
C
sin
B
即
1sin
A
sin
C
．
sin
C
sin
2
B
由正弦定理得
b
2
c
2
ac
，--------------------------------------------------------------2分
又由余弦定理得
b
2
a
2
c
2
2accosB
，---------------------------------------------4分
所以
ca2ccosB
，故
sinCsinA2sinCcosB
，
故
sinCsin(BC)2sinCcosB
，整理得
sinCsin(BC)
，
又
ABC
为锐角三角形，所以
CBC
，因此
B2C
．------------------------------6分
（2）在
BCD
中，由正弦定理得
所以
4
BD
，
sin
BDC
sin
C
4
BD
．-------------------------------------------------------------------8分
sin
BDC
sin
C
4sin
C
4sin
C
4sin
C
2
，
sin
BDC
sin2
C
sin2
C
cos
C
所以
BD
因为
ABC
为锐角三角形，且
B2C
，
第
3
页共7页
0
C
2
所以
0
2
C
，解得
C
．-------------------------------------10分
2
64
0
3
C
2
故
2343
，所以
cos
CBD
22
．
223
43
,22)
．---------------------------------------------------12分
3
因此线段
BD
长度的取值范围
(
20．（本题满分12分）
为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛．该竞
赛由
3
道必答题和
3
道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得
1
分答错不得分；抢
答题由抢到的一方作答，答对得
2
分答错扣
1
分．两个环节结束后，累计总分高者获胜．由
于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题
4
道，抢答
题
2
道，且每题的分值不变．
（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演
练，并统计双方的胜负情况．请根据已知信息补全以下
22
列联表，并根据列联表判断是
否有
95%
的把握认为获胜方与赛制有关？
旧赛制
甲获胜
乙获胜
合计
10
6
1
20
新赛制合计
（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题作答机会的概率为
0.6
，答对每道抢答题的
概率为
0.8
，答对每道必答题的概率为
p
（
0p1
），且每道题的作答情况相互独立．
（i）记丙在一道抢答题中的得分为
X
，求
X
的分布列与数学期望；
（ii）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过
0.1
分，求
p
的
n
ad
bc
取值范围．附：
K
，其中
abcdn
．
a
b
c
d
a
c
b
d
2
2
第
4
页共7页
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