2024年3月23日发(作者：云南省一模数学试卷)

绝密★启用前

2010年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）

理科数学Ⅰ试题

祝★考★试★顺★利

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试

结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：

锥体的体积公式：

V

锥体

1

Sh

，其中

S

是锥体的底面面积，

h

是高.

3

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.

．．．．．．．．．

1. 设集合

A

1,1,3

，

Ba2,a4

，

AB

3

，则实数

a

的值为 ▲ .

2



2. 设复数

z

满足

z(23i)64i

（其中

i

为虚数单位），则

z

的模为 ▲ .

3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 ▲ .

4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要

指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 ▲ 根在棉

花纤维的长度小于20mm.

5. 设函数

f(x)x(eae)(xR)

是偶函数，则实数a= ▲ .

xx

x

2

y

2

6. 平面直角坐标系

xOy

中，双曲线

1

上一点M，点M的横坐标

412

是3，则M到双曲线右焦点的距离是 ▲ .

7. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 ▲ .

8. 函数

yx(x0)

的图像在点（a

k

，

a

k

2

）处的切线与

x

轴交点的横坐标为a

k+1

，

k

为正

整数，a

1

=16，则a

1

+a

3

+a

5

= ▲ .

9. 在平面直角坐标系

xOy

中，已知圆

xy4

上有且仅有四个点到直线

22

2

（第4题图）

12x5yc0

的距离为1，则实数

c

的取值范围是 ▲ .

10. 定义在区间

0,

上的函数

y6cosx

的图像与

y5tanx

的图像的交点为P，

2

（第7题图）

全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ试题

过点P作PP

1

⊥

x

轴于点P

1

，直线PP

1

与

sinx

的图像交于点P

2

，则线段P

1

P

2

的长

为 ▲ .

x

2

1,x0

11. 已知函数

f(x)

，则满足不等式

f(1x

2

)f(2x)

的

x

的范围是 ▲ .

x0

1,

x

2

x

3

12. 设实数

x,y

满足

3xy8,49

，则

4

的最大值是 ▲ .

y

y

2

13. 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a

、

b

、

c，

batanCtanC

= ▲ .

6cosC

，则

abtanAtanB

2

(梯形的周长）

14. 将边长为

1m

正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

S

，

梯形的面积

则S的最小值是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步

．．．．．．．

骤.

15.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系

xOy

中，点A（－1，－2）、B（2，3）、C（－2，－1）.

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数t满足（

ABtOC

）·

OC

=0，求t的值.

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16. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.

（1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离.

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17. （本小题满分14分）

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：

m

），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度

h4m

，仰角 ∠ABE=

，

∠ADE=

.

（1）该小组已经测得一组

、

的值，tan

=1.24，tan

=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离

d

（单位：

m

），使

与

之差较大，可

以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125

m

，试问

d

为多少时，

-

最大？

全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ试题

18. （本小题满分16分）

x

2

y

2

在平面直角坐标系

xoy

中，如图，已知椭圆

1

的左右顶点为A，B，右顶点为F，设过点

T

（

t,m

）的直

95

线

TA,TB

与椭圆分别交于点

M

(x

1

,y

1

)

，

N(x

2

,y

2

)

，其中

m0

，

y

1

0,y

2

0

.

（1）设动点P满足

PFPB4

，求点P的轨迹；

22

1

，求点

T

的坐标；

3

（3）设

t9

，求证：直线

MN

必过

x

轴上的一定点.（其坐标与

m

无关）

（2）设

x

1

2,x

2

全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ试题

19.（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列

a

n

的前n项和为

S

n

，已知

2a

2

a

1

a

3

，数列

（1）求数列

a

n

的通项公式（用

n,d

表示）

（2）假设

c

为实数，对满足

mn3k且mn

的任意正整数

m,n,k

，不等式

S

m

S

n

cS

k

都成立

求证：

c

的最大值为

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S

是公差为

d

的等差数列.

n

9

.

2


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