2023年12月11日发(作者：高考数学试卷2023乙卷难度)

2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国III卷)

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2，3，5，7，11，Bx|3x15，则A∩B中元素的个数为

1．已知集合A1，A．2 B．3 C．4 D．5

2．若z(1i)1i，则z=

A．1–i B．1+i C．–i D．i

3．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为

A．0.01 B．0.1 C．1 D．10

4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1e0.23(t53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ln19≈3）

A．60 B．63

π3

π6 C．66 D．69

（）=1，则sin（）=

5．已知sinsinA．

12 B．3

3 C．

23 D．2

26．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若ACBC=1，则点C的轨迹为

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线

27．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2pxp0交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为

A．（1，0）

4B．（1，0）

2 C．（1，0） D．（2，0）

1)到直线ykx1距离的最大值为

8．点(0，A．1 B．2 C．3 D．2

9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

1

A．6+42 B．4+42

2，则

3 C．6+23 D．4+23

10．设a=log32，b=log53，c=A．a

11．在△ABC中，cosC=A．5

2，AC=4，BC=3，则tanB=

3B．25

1，则

sinx C．45 D．85

12．已知函数f(x)=sinx+A．f(x)的最小值为2

B．f(x)的图像关于y轴对称

D．f(x)的图像关于直线x对称

2C．f(x)的图像关于直线x对称

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

xy0,13．若x，y满足约束条件2xy0， ,则z=3x+2y的最大值为_________．

x1,x2y214．设双曲线C:221 (a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为_________．

abeex15．设函数f(x)．若f(1)，则a=_________．

4xa16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

设等比数列{an}满足a1a24，a3a18．

2 （1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为数列{log3an}的前n项和．若SmSm1Sm3，求m．

18．（12分）

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次

[0,200]

空气质量等级

1（优）

2（良）

3（轻度污染）

4（中度污染）

2

5

6

7

16

10

7

2

25

12

8

0

(200,400] (400,600]

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

空气质量好

空气质量不好

人次≤400

人次>400

n(adbc)2附：K，

(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2≥k)

k

19．（12分）

0.050 0.010 0.001

3.841 6.635 10.828

如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1．证明：

3

（1）当ABBC时，EFAC；

（2）点C1在平面AEF内．

20．（12分）

已知函数f(x)x3kxk2．

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有三个零点，求k的取值范围．

21．（12分）

x2y21521(0m5)的离心率为已知椭圆C:，A，B分别为C的左、右顶点．

25m4（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP||BQ|，BPBQ，求△APQ的面积．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

2x2tt， (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2y2t﹢t点.

（1）求|AB|；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

设a，b，c∈R， a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．

4

5 2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案

选择题答案

一、选择题

1．B

5．B

9．C

非选择题答案

二、填空题

13．7

三、解答题

17．解：（1）设{an}的公比为q，则ana1qn1.由已知得

a1a1q4，

2aqa8112．D

6．A

10．A

3．C

7．B

11．C

4．C

8．B

12．D

14．3 15．1 16．2

3解得a11,q3.

所以{an}的通项公式为an=3n1.

（2）由（1）知log3ann1. 故Snn(n1).

2由SmSm1Sm3得m(m1)(m1)m(m3)(m2)，即m25m60.

解得m1（舍去），m6.

18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：

空气质量等级

概率的估计值

1

0.43

2

0.27

3

0.21

4

0.09

（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

1(100203003550045)350．

100（3）根据所给数据，可得22列联表：

人次≤400

6

人次>400 空气质量好

空气质量不好

根据列联表得

100(3382237)2K5.820．

55457030233

22

37

8

由于5.8203.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

19．解：（1）如图，连结BD，B1D1．因为ABBC，所以四边形ABCD为正方形，故ACBD．

又因为BB1平面ABCD，于是ACBB1．所以AC平面BB1D1D．

由于EF平面BB1D1D，所以EFAC．

（2）如图，在棱AA1上取点G，使得AG2GA1，连结GD1，FC1，FG，

22AA1，所以ED1∥AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，因为D1EDD1，AGAA1，DD1∥33故AE∥GD1．

11AA1，所以FG∥A1B1，FG∥C1D1，四边形FGD1C1为平行AA1，BB1∥因为B1FBB1，AG133FC1．

四边形，故GD1∥FC1．所以A,E,F,C1四点共面，即点C1在平面AEF内．

于是AE∥20．解：（1）f(x)3x2k．

)单调递增；

当k=0时，f(x)x3，故f(x)在(，)单调递增．

当k<0时，f(x)3x2k0，故f(x)在(，3k3k3k3k当k>0时，令f(x)0，得x．当x(,当x()时，f(x)0；,)时，f(x)0；3333

7 当x(减．

)单调递增，f(x)不可能有三个零点．

（2）由（1）知，当k0时，f(x)在(，3k3k3k3k3k,)时，f(x)0．故f(x)在(,)，(,)单调递增，在(,)单调递33333当k>0时，x=此时，k13k3k为f(x)的极大值点，x=为f(x)的极小值点．

333k3k3kk1且f(k1)0，f(k1)0，f()0．

333393k2k3k)0，即k20时，f(x)有三个零点，解得根据f(x)的单调性，当且仅当f(k44．因此k的取值范围为(0，)．

272722525m15221．解：（1）由题设可得m，得，

1654x2y21.

所以C的方程为252516（2）设P(xP,yP),Q(6,yQ)，根据对称性可设yQ0，由题意知yP0，

由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y122(x5)，所以|BP|yP1yQ

，|BQ|1yQ，yQ因为|BP||BQ|，所以yP1，将yP1代入C的方程，解得xP3或3.

由直线BP的方程得yQ2或8.

所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(3,1),Q2(6,8).

110PQPQA(5,0)yx，直线的方程为，点到直线的距离为，故△APQ|PQ|1011的面11111132积为110510.

222PQy|PQ22|130，直线22的方程为11305130.

2262710130x，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的9326面积为

8 综上，△APQ的面积为5.

222．[选修4—4：坐标系与参数方程]

解：（1）因为t≠1，由2tt20得t2，所以C与y轴的交点为（0，12）；

由23tt20得t=2，所以C与x轴的交点为(4,0)．

故|AB|410．

（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为xy1，将xcos，ysin代入，

412得直线AB的极坐标方程3cossin120．

23．[选修4—5：不等式选讲]

解：（1）由题设可知，a，b，c均不为零，所以

1abbcca[(abc)2(a2b2c2)]

21(a2b2c2)

20.

(bc)2a3（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为abc1,a(bc)，所以a>0，b<0，c<0.由bc，可得abc，44故a34，所以max{a,b,c}34.

9


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