新高考数学选填压轴题(三)与答案

2024年1月11日发(作者：柳州市三模文科数学试卷)

2023年新高考地区数学选填压轴题汇编(三)一、单选题yx21.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知双曲线C1：2-2=1a>0,b>0与抛物线C2：y2=ab2pxp>0有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线C2相交于点2B，若点A为线段FB的中点，双曲线C1的离心率为e，则e2=( )A.3+12B.5+12C.5+13D.5+232.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的x1，x2∈x1fx1-x2fx2+∞)，且x1≠x2，都有<0成立，则不等式mfm-2m-1f2m-1>0的解集0，x1-x2为( )A.13，1B.(-∞，1)C.1,∞D.-∞,1∪1,+∞3x3x5x73.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sinx=x-+-+3!5!7!x2n-11n-1⋯+-1+⋯，(其中x∈R，n∈N*，n!=1×2×3×⋯×n⋅0!=1)，现用上述公式求1-2!2n-1!111+-+⋯+-1n-1+⋯的值，下列选项中与该值最接近的是( )4!6!2n-2!30∘33∘36∘39∘4.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )A.288B.336C.576D.16805.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=xex-2a(lnx+x)有两个零点，则a的最小整数值为( )A.0B.1C.2D.3π单调递减，且36.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，在0,在该区间上没有零点，则ω的取值范围为( )3A.2,2B.31,235C.2,2D.0,32y2x27.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x-y+1=0经过椭圆2+2=1a>b>0的左焦点abF，交椭圆于A、B两点，交y轴于C点，若FC=2AC，则该椭圆的离心率是( )A.10-22B.3-12C.22-2D.2-18.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知△OAB，OA=1，OB=2，OA⋅OB=-1，过点O作OD垂1

1直AB于点D，点E满足OE=ED，则EO⋅EA的值为( )2312A.-B.-C.-28219D.-2219.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数fx=ex-2x图象在点x0,fx0处的切线方程为y=kx+b，则k-b的最小值为( )A.-2B.-2+1eC.-1eD.-2-1e10.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R的函数fx满足：∀x∈R，f4+x+f-x=0，f1+x为偶函数，f1=1，则f2023=( )A.1B.-1C.2D.-311.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109∘28，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF-ABCDEF的三个顶点A,C,E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥M-ABF,O-BCD,N-DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则( )3tan54∘44θ=tan54∘44θ=3tan54∘44θ=tan54∘44θ=12.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知2021lna=a+m，2021lnb=b+m，其中a≠b，若ab<λ恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.2021e2,+∞B.20212,+∞C.20212,+∞D.2021e2,+∞试卷第1页，共3页2

y2x213.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)己知双曲线C：2-2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别ab为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A=AB，F1B⋅F2B=0，则C的离心率为( )A.2B.5C.3+1D.5+1ωx31+sinωx-ω>0,x∈R.若22214.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知函数fx=cos2函数fx在区间π,2π内没有零点，则ω的取值范围是5125C.0,6A.0,135511∪,126125511D.0,∪,12612B.0,115.(2022·湖南·高三开学考试)已知a=2,b=5,c=(2+e)e，则a,b,c的大小关系为( )A.ba>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b17.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设fx是定义在R上的连续的函数fx的导函数，fx-fx+2ex<0(e为自然对数的底数)，且f2=4e2，则不等式fx>2xex的解集为( )A.-2,0∪2,+∞B.e,+∞C.2,+∞D.-∞,-2∪2,+∞18.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知实数α，β满足αeα-3=1，βlnβ-1=e4，其中e是自然对数的底数，则αβ的值为( )A.e3B.2e3C.2e4D.e42yx219.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知Fc,0(其中c>0)是双曲线2-2=ab1a>0,b>0的焦点.圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A、B两点.已知l的倾斜角为30°.则tan∠AFB=( )A.-2B.-3C.-22D.-2320.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)设函数fx=sinx-1+ex-1-e1-x-x+3，则满足fx+f3-2x<6的x的取值范围是( )A.3,+∞二、多选题B.1,+∞C.-∞,3log2x,2D.-∞,1(0

22.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，则( )A.当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P-AA1D1D的体积不变ππB.当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是3，2C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+42D.若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF⎳平面B1CD1时，PF长度的最小值是523.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知正数x，y，z满足3x=4y=12z，则( )A.111+=xyzB.6z<3x<<4z2D.x+y>4z24.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3，[2.1]=2.则下列说法正确的是( )A.函数y=x-[x]在区间[k,k+1)(k∈Z)上单调递增sinxB.若函数f(x)=x，则y=[f(x)]的值域为{0}e-e-xC.若函数f(x)=|1+sin2x-1-sin2x|，则y=[f(x)]的值域为{0,1}D.x∈R，x≥[x]+125.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f(x)是定义在R上的函数，对于x∈R，令xn=f(xn-1)(n=1，2，3，⋯)，若存在正整数k使得xk=x0，且当00，且a2则下列n+1-an+1=an，结论正确的是( )A.对于任意的n≥2，都有an>1C.若00，数列an不可能为常数列D.若a1>2，则当n≥2时，2

测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为f(x)=2sinx+sin2x，则下列叙述不正确的是( )A.f(x)在[0,2π)内有5个零点C.(2π,0)是f(x)的一个对称中心29.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=B.f(x)的最大值为3πD.当x∈0,时，f(x)单调递增2-x-4x,2ex,x≥0x<0，方程f2(x)-t⋅f(x)=0有四个实数根x1,x2,x3,x4，且满足x1-1时，x1fx1+x2fx2>2x2fx132.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知a，b为正实数，且ab=32a+b-42，则2a+b的取值可以为( )A.1B.4C.9D.321433.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)下列不等式正确的是( )23<23<812>812>log63634.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f(x)=xln(1+x)，则( )A.f(x)在(0,+∞)单调递增B.f(x)有两个零点11C.曲线y=f(x)在点-,f-处切线的斜率为-1-ln222D.f(x)是偶函数5

xlnx,x>0x=0，35.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数fx=0,则下列说法正确的有( )1fx+1,x<021x+3lnx+38B.若不等式fx-mx-m<0至少有3个正整数解，则m>ln3A.当x∈-3,-2时，fx=C.过点A-e-2,0作函数y=fxx>0图象的切线有且只有一条aaD.设实数a>0，若对任意的x≥e，不等式fx≥ex恒成立，则a的最大值是ex36.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点M(5,2)射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线l2射出，经过点N．下列说法正确的是( )A.若p=2，则|AB|=4B.若p=2，则MB平分∠ABNC.若p=4，则|AB|=8D.若p=4，延长AO交直线x=-2于点D，则D，B，N三点共线37.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知a>1，x1，x2，x3为函数f(x)=ax-x2的零点，x1-1C.若2x2=x1+x3，则x3=2+1x2B.x1+x2<0D.a的取值范围是1,ee238.(2022·湖北·高三开学考试)关于函数fx=aex+sinx,x∈-π,π，下列结论中正确的有( )A.当a=-1时，fx的图象与x轴相切B.若fx在-π,π上有且只有一个零点，则满足条件的a的值有3个C.存在a，使得fx存在三个极值点D.当a=1时，fx存在唯一极小值点x0，且-1

40.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f(x)=sin4x+论正确的是( )ππ+cos4x-，则下列结36A.f(x)的最大值为2ππB.f(x)在-8,12上单调递增C.f(x)在[0,π]上有4个零点ππD.把f(x)的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线x=-对称12841.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=fx+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xC.f1=0B.fx的周期为43D.fx=f-x2三、填空题42.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x-2aex+2a2-4.若f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.43.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)空间四面体ABCD中，∠ACD=60∘，二面角A-CD-B的大小为45∘，在平面ABC内过点B作AC的垂线l，则l与平面BCD所成的最大角的正弦值___________.44.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)函数f(x)=ax+2bx+e2，其中a，b为实数，且a∈(0,1).已知对任意b>4e2，函数f(x)有两个不同零点，a的取值范围为___________________.45.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知平面向量a，b和单位向量e1，e2满足e1=-e2，a-e1+e2=3a+e1-e2，b=λa+μe1，2λ+μ=2，当a变化时，b的最小值为m，则m的最大值为__________.y2x246.(2022·山东·模拟预测)已知双曲线Ω:2-2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为Ω上一点，Mab2a为△PF1F2的内心，直线PM与x轴正半轴交于点H，|OH|=，且PF1=3PF2，则Ω的渐近线方程为3________．47.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)在平面四边形ABCD中，AB=CD=1，BC=2，AD=2，∠ABC=90°，将△ABC沿AC折成三棱锥，当三棱锥B-ACD的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．48.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知数列an中，a1=31，且满足an=a+22n-11λ*若对于任意n∈N*，都有≥an成立，则实数λ的最小值是_________.nn≥2,n∈N，n27

49.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数y=e-2x+1的图象与函数y=ln-x-1-3的图象关于2某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．50.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数fx=x2+aln2x+1有两个不同的极值点x1、x2，且x1连接).2ln33，b=，c=，则a、b、c的大小关系是ln4ln2254.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E为棱D1C1上一动点，点F为棱BB1上一动点，且满足EF=2，则三棱锥B1-EFC1的体积取最大值时，三棱锥B1-EFC1外接球的表面积为___________.四、双空题y25-1x255.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆E:+210m2yx2=1(10>m>0)是“黄金椭圆”，则m=___________，若“黄金椭圆”C:2+2=1(a>b>0)两ab个焦点分别为F1-c,0、F2(c,0)(c>0)，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是△PF1F2的内心，|PM|连接PM并延长交F1F2于点N，则=___________．|MN|试卷第1页，共3页8

新高考数学选填压轴题(三)一、单选题yx21.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知双曲线C1：2-2=1a>0,b>0与抛物线C2：y2=ab2pxp>0有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线C2相交于点2B，若点A为线段FB的中点，双曲线C1的离心率为e，则e2=( )A.3+12B.5+12C.5+13D.5+23【答案】B【解析】根据题意，作图如下：p2因为双曲线C1和抛物线C2共焦点，故可得a+b=，4bbc又Fc,0到y=x的距离d==b，即AF=b，又A为aa2+b2BF中点，则BF=2b，ppp222设点Bx,y，则2b=x+，解得x=2b-；由a+b=可得224OA=a，114ab则由等面积可知：×BF×OA=×OF×y，解得y=，22pp4ab则B2b-,，2p2abbb22ab则xA=b,yA=，又点A在渐近线y=x上，即=，即2a2=pb，paapb2a2b25-12224224又p=4a+4b，联立得a-ab-b=0，即2-2+1=0，解得2=，2abab25+12故e=1+2=.2a故选：B.222.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的x1，x2∈x1fx1-x2fx2+∞)，且x1≠x2，都有<0成立，则不等式mfm-2m-1f2m-1>0的解集0，x1-x2为( )A.113，B.(-∞，1)C.1,∞D.-∞,1∪1,+∞3【答案】D【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数∴gx=xfx为定义在R上的偶函数x1fx1-x2fx2又∵<0x1-x2∴gx=xfx在0，+∞)上递减，则gx在-∞,0上递增mfm-2m-1f2m-1>0即mfm>2m-1f2m-11则m<2m-1解得：m∈-∞,∪1,+∞．3故选：D．9

x3x5x73.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sinx=x-+-+3!5!7!x2n-11n-1⋯+-1+⋯，(其中x∈R，n∈N*，n!=1×2×3×⋯×n⋅0!=1)，现用上述公式求1-2!2n-1!111+-+⋯+-1n-1+⋯的值，下列选项中与该值最接近的是( )4!6!2n-2!30∘【答案】Bx2x4x6x2n-2n-1【解析】(sinx)=cosx=1-+-+⋯+-1+⋯2!4!6!2n-2!1111所以cos1=1-+-+⋯+(-1)n-1+⋯2!4!6!(2n-2)!33∘36∘39∘π180∘-1=sin90∘-，由于2π180∘∘∘90-π与33最接近，故选：B=sin4.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )A.288【答案】BB.336C.576D.1680【解析】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4×3×2=24种,第二步,排黑车,若白车选AF,则黑车有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2×7=14种，根据分步计数原理,共有24×14=336种,故选：B5.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=xex-2a(lnx+x)有两个零点，则a的最小整数值为( )A.0【答案】C【解析】f(x)=xex-2a(lnx+x)=ex+lnx-2a(lnx+x)，1设t=x+lnx(x>0)，t=1+>0，即函数在0,+∞上单调递增，易得t∈R，于是问题等价于函数xgt=et-2at在R上有两个零点，gt=et-2a，若a≤0，则gt>0，函数gt在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若a>0，则x∈-∞,ln2a时，gt<0，gt单调递减，x∈ln2a,+∞时，gt>0，gt单调递增.e因为函数gt在R上有两个零点，所以gtmin=gln2a=2a1-ln2a<0⇒a>，2而g0=1>0，限定t>1 ，记φt=et-t，φt=et-1>0，即φt在1,+∞上单调递增，于是φt=et-t>φ1=B.1C.2D.310

tt2t2tete-1>0⇒e>t，则t>2时 ，e>⇒e>，此时gt>-2at=t-8a，因为a>，所以8a24442>4e>1，于是t>8a时，gt>0.e综上：当a>时，有两个交点，a的最小整数值为2.2故选：26.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，在0,在该区间上没有零点，则ω的取值范围为( )3A.2,2【答案】D【解析】因为函数为偶函数，且在0,3B.1,235C.2,2D.0,32π单调递减，且3πππ单调递减，所以φ=+kπk∈Z，而0<φ<π，则φ=，于是f322πππ3(x)=Acosωx(ω>0)，函数在且在该区间上没有零点，所以0<ω≤⇒ω∈0,.0,3单调递减，322故选：D.y2x27.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x-y+1=0经过椭圆2+2=1a>b>0的左焦点abF，交椭圆于A、B两点，交y轴于C点，若FC=2AC，则该椭圆的离心率是( )A.10-22B.3-12C.22-2D.2-1【答案】A【解析】由题意可知，点F-c,0在直线x-y+1=0上，即1-c=0，可得c=1，直线x-y+1=0交y轴于点C0,1，设点Am,n，FC=1,1，AC=-m,1-n，1m=--2m=12由FC=2AC可得，解得，121-n=1n=222y2x210椭圆2+2=1a>b>0的右焦点为E1,0，则AE=1+1+0-1=，222ab22210+2又AF=-1+1+0-1=，∴2a=AE+AF=，2222410-22c2410-2因此，该椭圆的离心率为e=====.2a8210+210+22故选：A.8.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知△OAB，OA=1，OB=2，OA⋅OB=-1，过点O作OD垂1直AB于点D，点E满足OE=ED，则EO⋅EA的值为( )23122A.-B.-C.-D.-2821921【答案】D【解析】由题意，作出图形，如图，11

∵OA=1，OB=2，OA⋅OB=-11∴OA⋅OB=1×2cos∠AOB=2cos∠AOB=-1，∴cos∠AOB=-，22π由∠AOB∈0,π可得∠AOB=，3∴AB=OA2+OB2-2⋅OA⋅OB⋅cos∠AOB=7，1133又S△AOB=⋅OA⋅OB⋅sin∠AOB=⋅OD⋅AB=，则OD=，2227222232∴EO⋅EA=-OE⋅ED+DA=-2OE=-⋅OD=-×=-.99721故选：D．9.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数fx=ex-2x图象在点x0,fx0处的切线方程为y=kx+b，则k-b的最小值为( )A.-2【答案】D【解析】由fx=ex-2x求导得：f(x)=ex-2，于是得f(x0)=ex-2，0B.-2+1eC.-1eD.-2-1e函数f(x)=ex-2x图象在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-(ex-2x0)=(ex-2)(x-x0)，00整理得：y=(ex-2)x+(1-x0)ex，从而得k=ex-2,b=(1-x0)ex，k-b=x0ex-2，00000令g(x)=xex-2，则g(x)=(x+1)ex，当x<-1时，g(x)<0，当x>-1时，g(x)>0，于是得g(x)在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增，则g(x)min=g(-1)=-2-所以k-b的最小值为-2-故选：D10.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R的函数fx满足：∀x∈R，f4+x+f-x=0，f1+x为偶函数，f1=1，则f2023=( )A.1【答案】B【解析】因为f1+x为偶函数，所以fx的图象关于直线x=1对称，所以f2-x=fx，又由f4+x+f-x=0，得f4+x=-f-x，所以f8+x=-f-4-x=-f6+x，所以fx+2=-fx，所以fx+4=fx，故fx的周期为4，所以f2023=f3=-f1=-1．故选:B．11.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109∘28，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF-ABCDEF的三个顶点B.-1C.2D.-31.e1，e12

A,C,E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥M-ABF,O-BCD,N-DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则( )3tan54∘44θ=tan54∘44θ=【答案】C3tan54∘44θ=tan54∘44θ=【解析】先证明一个结论：如图，△ABC在平面α内的射影为△ABC ，SπC-AB-C的平面角为θ,θ∈0, ，则cosθ=△ABC.2S△ABC证明：如图，在平面β内作CE⊥AB，垂足为E，连接EC，因为△ABC在平面α内的射影为△ABC，故CC⊥α，因为AB⊂α，故CC⊥AB，因为CE∩AB=E，故AB⊥平面ECC.因为EC⊂平面ECC，故CE⊥AB，所以∠CEC为二面角的平面角，所以∠CEC=θ.在直角三角形CEC中，cos∠CEC=cosθ=由题设中的第二图可得：cosθ=SEC=△ABC.S△ABCECS△DBC.S△DBO1332设正六边形的边长为a，则S△DBC=a2×=a，224如图，在△DBO中，取BD的中点为W，连接OW，则OW⊥BD，且BD=3a，∠BOD=109°28，31故OW=a×，2tan54°4413

13131×3a×a×=a2×，°224tan5444tan54°443故cosθ=tan54°44.3故选：C.故S△DBO=12.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知2021lna=a+m，2021lnb=b+m，其中a≠b，若ab<λ恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.2021e2,+∞【答案】C【解析】令f(x)=lnx-1112021-xx，则f(x)=-=，2021x20212021x∴当x∈(0,2021)时，f(x)>0，当x∈(2021,+∞)时，f(x)<0，b∵f(2021)>0，∴设01)，ab2021lnt2021tlnt两式相减，得2021ln=b-a，则2021lnt=a(t-1)，∴a=，b=at=，at-1t-120212⋅t(lnt)2∴ab=，(t-1)2令g(t)=t(lnt)2-(t-1)2，∴g(t)=(lnt)2+2lnt-2t+2，2令h(t)=(lnt)2+2lnt-2t+2，则h(t)=(lnt+1-t)，t1令m(t)=lnt+1-t，则m(t)=-1<0，t∴函数m(t)在(1,+∞)上单调递减，∴m(t)0，b>0)的左、右焦点分别ab为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A=AB，F1B⋅F2B=0，则C的离心率为( )A.2B.5C.3+1D.5+1B.20212,+∞C.20212,+∞D.2021e2,+∞【答案】A【解析】如下图示，因为F1A=AB，F1B⋅F2B=0，O是F1F2中点，所以A是F1B中点且F1B⊥F2B，则OA⊥F1B，OF1=OB=c，y2x2因为直线OA是双曲线2-2=1的渐近线，abbaa所以kOA=-，kFB=，直线F1B的方程为y=(x+c)，abby=a(x+c)a2cabca4c2b2联立，解得B2,，则|OB|=222222+bb-ab-ab-ay=xa114

a2b2c22整理得b2=3a2，222=c，b-a因为c2-a2=b2，所以4a2=c2，e=故选：A14.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知函数fx=cos2函数fx在区间π,2π内没有零点，则ω的取值范围是5125C.0,6A.0,【答案】D16ππ【解析】 (1)ωπ+,2ωπ+⊆(2kπ,2kπ+π),k∈Z，则{ ，则{ ，取k=66π52ωπ+≤2kπ+πω≤k+61250 ，∵ω>0, ∴00)，则fx=，xx2x-x令gx=-ln2+x,(x>0)，则gx=<0，x+2(x+2)2所以gx在0,+∞上单调递减，gxfe>f3，即121e1311111c=2.aωx31+sinωx-ω>0,x∈R.若2225511∪,126125511D.0,∪,12612B.0,π≥2kπ6B.cln2+e>ln2+3，2e3121e13所以ln(2+2)>ln(2+e)>ln(2+3)，所以4>(2+e)>5，即ba>b【答案】D【解析】∵lnc=alnb,lna=blnc且a、b、c均为不等于1的正实数，B.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b15

则lnc与lnb同号，lnc与lna同号，从而lna、lnb、lnc同号.①若a、b、c∈0,1，则lna、lnb、lnc均为负数，lna=blnc>lnc，可得a>c，lnc=alnb>lnb，可得c>b，此时a>c>b；②若a、b、c∈1,+∞，则lna、lnb、lnc均为正数，lna=blnc>lnc，可得a>c，lnc=alnb>lnb，可得c>b，此时a>c>b.综上所述，a>c>b.故选：D.17.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设fx是定义在R上的连续的函数fx的导函数，fx-fx+2ex<0(e为自然对数的底数)，且f2=4e2，则不等式fx>2xex的解集为( )A.-2,0∪2,+∞【答案】Cfxfx-fxfx-fx-2ex【解析】设gx=x-2x，则gx=-2=，eexex∵fx-fx+2ex<0，∴gx>0，函数gx在R上单调递增，

又f2=4e2，f2∴g2=2-4=0,efx由fx>2xex，可得x-2x>0，e即gx>0=g2，又函数gx在R上单调递增，所以x>2，即不等式fx>2xex的解集为2,+∞.故选：C．18.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知实数α，β满足αeα-3=1，βlnβ-1=e4，其中e是自然对数的底数，则αβ的值为( )A.e3【答案】D【解析】因为αeα-3=1，所以αeα=e3，所以α+lnα=3．因为βlnβ-1=e4，所以lnβ+lnlnβ-1=4．联立α+lnα-3=0lnβ-1+lnlnβ-1-3=0，B.2e3C.2e4D.e4B.e,+∞C.2,+∞D.-∞,-2∪2,+∞所以α与lnβ-1是关于x的方程x+lnx-3=0的两根．构造函数fx=x+lnx-3，该函数的定义域为0,+∞，且该函数为增函数，由于fα=flnβ-1=0，所以α=lnβ-1，又α+lnα-3=0，所以lnβ-1+lnα-3=0，即lnαβ=4，解得αβ=e4．故选：D．yx219.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知Fc,0(其中c>0)是双曲线2-2=ab1a>0,b>0的焦点.圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A、B两点.已知l的倾斜角2为30°.则tan∠AFB=( )A.-2B.-3C.-22D.-2316

【答案】C【解析】如图所示：x2+y2-2cx+b2=0，化为x-c2+y2=c2-b2=a2，因为渐近线l的倾斜角为30°，b3所以tan30∘==，a3圆心Fc,0到直线y=bx的距离为：d=aa21+babc=b，又AF=BF=a，1b316所以cos∠AFB==,sin∠AFB=，2a3231则tan∠AFB=2，22tan1∠AFB2×22所以tan∠AFB==2=-22，211-21-tan∠AFB2故选：C20.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)设函数fx=sinx-1+ex-1-e1-x-x+3，则满足fx+f3-2x<6的x的取值范围是( )A.3,+∞【答案】B【解析】假设gx=sinx+ex-e-x-x,x∈R，所以g-x=sin-x+e-x-ex+x，所以gx+g-x=0，所以gx为奇函数，而fx=sinx-1+ex-1-e1-x-x-1+3是gx向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以fx的对称中心为1,3，所以6=fx+f2-x，由fx=sinx-1+ex-1-e1-x-x+4求导得fx=cosx-1+ex-1+e1-x-1=ex-1+cosx-1-1111=2，x-1因为ex-1+x-1≥2ex-1⋅x当且仅当e=即x=1，取等号，e-1eex-1所以fx≥0,所以fx在R上单调递增，因为fx+f3-2x<6=fx+f2-x得f3-2x1，故选：B二、多选题logx,21.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数fx=x-8x+13,22B.1,+∞C.-∞,3D.-∞,11ex-1+(0

【答案】ACD【解析】在同一坐标系中作出函数y=fx,y=a的图象，如图所示：由图象知：若fx=a有四个不同的实数解，则0

故P的轨迹长度为π+42，C正确；D选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为6，D选项错误.故选：ABC.23.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知正数x，y，z满足3x=4y=12z，则( )A.111+=xyzB.6z<3x<<4z2D.x+y>4z【答案】ABD【解析】设3x=4y=12z=t，t>1，则x=log3t，y=log4t，z=log12t，11111所以+=+=logt3+logt4=logt12=，A正确；xylog3tlog4tz2log12t2logt36z因为===log129<1，则6z<3x，3xlog3tlogt123log3t3logt4logt643x因为====log8164<1，则3x<4y，4y4log4t4logt3logt81所以6z<3x<4y，B正确；因为x+y-4z=log3t+log4t-4log12t=logt3-logt42logt3+logt41144+-=-=logt3logt4logt12logt3logt4logt3+logt4>0，logt3logt4logt3+logt4则x+y>4z，D正确.x+yxy111因为=+=，则=x+y>4z，所以xy>4z2，C错误.zxyxyz故选：ABD.24.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3，[2.1]=2.则下列说法正确的是( )A.函数y=x-[x]在区间[k,k+1)(k∈Z)上单调递增sinxB.若函数f(x)=x，则y=[f(x)]的值域为{0}e-e-xC.若函数f(x)=|1+sin2x-1-sin2x|，则y=[f(x)]的值域为{0,1}D.x∈R，x≥[x]+1【答案】AC【解析】对于A，x∈[k,k+1)，k∈Z，有[x]=k，则函数y=x-[x]=x-k在[k,k+1)上单调递增，A正确；19

对于B，f3π13π=3π=-3π∈(-1,0)，则fB不正确；3π3π=-1，-2-22222e-ee-esin3π2对于C，f(x)=(1+sin2x-1-sin2x)2=2-21-sin22x=2-2|cos2x|，1当0≤|cos2x|≤时，1≤2-2|cos2x|≤2，1≤f(x)≤2，有[f(x)]=1，21当<|cos2x|≤1时，0≤2-2|cos2x|<1，0≤f(x)<1，有[f(x)]=0，y=[f(x)]的值域为{0,1}，C正2确；对于D，当x=2时，[x]+1=3，有2<[2]+1，D不正确.故选：AC25.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f(x)是定义在R上的函数，对于x∈R，令xn=f(xn-1)(n=1，2，3，⋯)，若存在正整数k使得xk=x0，且当00，且a2则下列n+1-an+1=an，结论正确的是( )A.对于任意的n≥2，都有an>1C.若00，则an=2满足a1>0，错误；aC：由n=an+1-1且n∈N*，an+1a当12时n>1，此时a1=a2(a2-1)>a2>2，数列an递减；an+1所以00，则an+1=n+1>1，即任意n≥2都有an>1，正an+1an+1B.对于任意的a1>0，数列an不可能为常数列D.若a1>2，则当n≥2时，2

D：由C分析知：a1>2时an+1>2且数列an递减，即n≥2时20时，ππ即：x∈2kπ-,2kπ+(k∈Z)时，f(x)单调递增，33π5πx∈2kπ+,2kπ+(k∈Z)时，f(x)单调递减，故D错误．33故选：ABD29.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=B.f(x)的最大值为3πD.当x∈0,时，f(x)单调递增2-x-4x,2ex,x≥0x<0，方程f2(x)-t⋅f(x)=0有四个实数根x1,x2,x3,x4，且满足x1

A.x1x4∈(-6ln2,0]B.x1+x2+x3+x4的取值范围为[-8,-8+2ln2)C.t的取值范围为[1,4)D.x2x3的最大值为4【答案】BC【解析】f2(x)-t⋅f(x)=0⇒f(x)[f(x)-t]=0⇒f(x)=0或f(x)=t，作出y=f(x)的图象，当f(x)=0时，x1=-4，有一个实根；当t=1时，有三个实数根，∴共四个实根，满足题意；当t=4时，f(x)=t只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与y=ex的交点坐标为(2ln2,4).要使原方程有四个实根，等价于f(x)=t有三个实根，等价于y=f(x)与y=t图像有三个交点，故t∈[1,4)，x4∈[0,2ln2)，所以x1x4∈(-8ln2,0]，故A错误，C正确；又因为x2+x3=-4，所以x1+x2+x3+x4=-8+x4的取值范围为[-8,-8+2ln2))，B正确；-x2+x3因为x2+x3=-4,x2

直线AB的方程与抛物线方程联立得：y=kx+m⇒x2-kx-m=0⇒x1+x2=k,x1x2=-m.y=x211，准线方程为 y=-，4411因为AB过抛物线的焦点，所以m=，而x1x2=-m=-，44显然P点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；A：抛物线C：y=x2的焦点坐标为0,B：因为阿基米德三角形PAB为正三角形，所以有|PA|=|PB|，2x1+x222-x1+(x1x2-x1)=2因为 x1≠x2，所以化简得：x1=-x2，2x1+x222-x2+(x1x2-x2)，2即222此时A(x1,x1),B(-x1,x1)， P点坐标为：(0,-x1)，因为阿基米德三角形PAB为正三角形，所以有|PA|=|AB|，3222所以(0-x1)2+(-x1-x1)=-2x1⇒x1=-，2因此正三角形PAB的边长为3，11333所以正三角形PAB的面积为×3×3⋅sin60°=×3×3×=，2224故本选项说法正确；C：阿基米德三角形PAB为直角三角形，当PA⊥PB时，x1+x2x1+x2-x1-x2122所以kPA⋅kPB=-1⇒⋅=-1⇒x1x2=-，224x1x2-x1x1x2-x21直线AB的方程为：y=kx+4k1所以P点坐标为：点 P到直线AB的距离为：2,-4，k112⋅k+-4×(-1)+412=k+1，2k2+(-1)2222|AB|=(x1-x2)2+(x1-x2)=(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2][1+(x1+x2)2]，1因为x1+x2=k,x1x2=-，所以 AB=(k2+1)(1+k2)=1+k2，41111因此直角PAB的面积为：×⋅k2+1⋅(k2+1)=(k2+1)3≥，22441当且仅当k=0时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确；4D：因为x1+x2=k,x1x2=-m，所以222|AB|=(x1-x2)2+(x1-x2)=(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=x1-x2k2+1，点P到直线AB的距离为：x1+x2x1+x2⋅k+(-1)⋅x1⋅x2+m⋅(x1+x2)+(-1)⋅x1⋅x2-(x1x2)2221(x1-x2)==⋅,2k2+(-1)2k2+(-1)2k2+132x1-x211(x1-x2)2所以阿基米德三角形PAB的面积S=⋅x1-x2⋅k+1⋅⋅=，224k2+1故本选项说法不正确.故选：ABC23

31.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数f(x)=xlnx，若0-1时，x1fx1+x2fx2>2x2fx1【答案】AD【解析】 对于A选项，因为令gx=gx2，所以f(x)=lnx，在0,+∞上是增函数，所以当00,gx单调递增，x∈0,e-2时，g′x<0,gx单调递减．所以x1+fx1与x2+fx2无法比较大小．故B选项错误；111时，f′x<0,fx在0,单调递减，x∈ee,+∞时，ef(x1)-f(x2)11f′x>0,fx在,+∞单调递增，所以当0fx2，故<0成eex1-x2f(x1)-f(x2)1立，当0．故C选项错误；ex1-x2对于D选项，由C选项知，当lnx>-1时，fx单调递增，又因为A正确，x2fx1x1⋅fx1+x2⋅fx2-x2fx1-x1fx2=x1fx1-fx2+x2fx2-fx1=x1-x2fx1-fx2>0,故D选项正确.故选：AD．32.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知a，b为正实数，且ab=32a+b-42，则2a+b的取值可以为( )A.1【答案】BD【解析】因为a，b为正实数，ab=32a+b-42，所以32a+b-42=ab=仅当2a=b时等号成立，即32a+b-42≤2ab2a+b≤，当且222B.4C.9D.322a+b，所以2a+b-622a+b+16≥0，所以222a+b≥42或2a+b≤22，因为a，b为正实数，ab=32a+b-42，所以32a+b-42>0，4232所以2a+b≥42或<2a+b≤22．所以2a+b≥32或<2a+b≤8．39故选：BD．33.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)下列不等式正确的是( )23812>log6363ln2x2ln3x-3x2xln3x设fx=log2x3x(x≥1)，因为x≥1，所以fx===2ln2xln2x24

ln2x-ln3x<0，所以fx在[1,+∞)上单调递减，xln22x所以选项B：f1=log23>log1015=lg15=f5，故不正确；选项C：f4=log812>f5=log1015>log1215，故正确；选项D：f4=log812>f18=log3654=log636，故正确，故选:CD．34.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f(x)=xln(1+x)，则( )A.f(x)在(0,+∞)单调递增B.f(x)有两个零点11C.曲线y=f(x)在点-,f-处切线的斜率为-1-ln222D.f(x)是偶函数【答案】AC【解析】由f(x)=xln(1+x)知函数的定义域为(-1,+∞)，xf(x)=ln(1+x)+，1+xx当x∈(0,+∞)时，ln(1+x)>0,>0，∴f(x)>0，1+x故f(x)在(0,+∞)单调递增，A正确；由f(0)=0，当-10，当ln(1+x)>0,f(x)>0，所以f(x)只有0一个零点，B错误；11111令x=-，f-=ln-1=-ln2-1，故曲线y=f(x)在点-,f-处切线的斜率为-1-22222ln2，C正确；由函数的定义域为(-1,+∞)，不关于原点对称知，f(x)不是偶函数，D错误.故选：ACxlnx,x>0x=0，35.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数fx=0,则下列说法正确的有( )12fx+1,x<01A.当x∈-3,-2时，fx=x+3lnx+38B.若不等式fx-mx-m<0至少有3个正整数解，则m>ln3C.过点A-e-2,0作函数y=fxx>0图象的切线有且只有一条aaD.设实数a>0，若对任意的x≥e，不等式fx≥ex恒成立，则a的最大值是ex【答案】ACD【解析】对于A：当x∈-3,-2，∴x+3∈0,1，fx+3=x+3lnx+3，∵fx=1A正确；x+3lnx+3，8对于B：fx

要想至少有3个正整数解，要满足f3<3m+m，∴m>3ln3，故B错；4对于C：设切点Tx0,y0则kAT=fx0，xlnx0∴0=lnx0+1，即e2x0+lnx0+1=0，设hx=e2x+lnx+1，当x>0时，hx>0，∴hx是单1x0+2e111调递增函数，∴hx=0最多只有一个根，又h2=e2⋅2+ln2+1=0，eee11∴x0=2，由fx0=-1得切线方程是x+y+2=0，故C正确；eeaa对于D.：由题意elnx⋅lnx≥ex.设gx=x⋅exx>0，则gx=x+1ex>0，于是gx在0,+∞上xaa是增函数.因为>0，lnx>0，所以≤lnx，即a≤xlnx对任意的x≥e恒成立，因此只需a≤xxfx=lnx+1>0x≥e，所以fx在e,+∞上为增函数，所以xlnxmin.设fx=xlnxx≥e，fxmin=f(e)=e，所以a≤e，即a的最大值是e，选项D正确；故选：ACD.36.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点M(5,2)射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线l2射出，经过点N．下列说法正确的是( )A.若p=2，则|AB|=4B.若p=2，则MB平分∠ABNC.若p=4，则|AB|=8D.若p=4，延长AO交直线x=-2于点D，则D，B，N三点共线【答案】ABD【解析】若p=2，则抛物线C:y2=4x，A(1,2)，C的焦点为F(1,0)，直线AF的方程为：x=1，可得B(1,-2)，|AB|=4，选项A正确；p=2时，因为|AM|=5-1=4=|AB|，所以∠AMB=∠ABM，又AM∥BN，所以∠AMB=∠MBN，所以MB平分∠ABN，选项B正确；14若p=4，则抛物线C:y2=8x，A，2，C的焦点为F(2,0)，直线AF的方程为y=-(x-2)，联立抛物2325线方程求解可得B(8,-8)，所以|AB|=，选项C不正确；21若p=4，则抛物线C:y2=8x，A，2，延长AO交直线x=-2于点D，则D(-2,-8)，由C选项可知B226

(8,-8)，所以D，B，N三点共线，故D正确.故选：ABD．37.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知a>1，x1，x2，x3为函数f(x)=ax-x2的零点，x1-1C.若2x2=x1+x3，则【答案】ACD【解析】∵a>1,f-1=a-1-1=∴-11 ，∴x1+x2>0 ，故B错误；2x1=2loga-x1ax=x12当2x2=x1+x3 时，即ax=x2 ，两边取对数得x2=2logax2 ，2ax=x3x3=2logax3B.x1+x2<0x3=2+1x2D.a的取值范围是1,ee21-1<0,f0=a0-0=1>0 ，a12324logax2=2loga-x1+2logax3 ，x2=-x1x3 ，2x2=-x1x322联立方程 解得x3-2x2x3-x2=0 ，由于x2>0,x3>0 ，2x2=x1+x3x3=2+1 ，故C正确；x2考虑fx 在第一象限有两个零点：即方程ax=x2 有两个不同的解，两边取自然对数得xlna=2lnx 有两个不同的解，lnax-22lna设函数gx=xlna-2lnx ，gx=lna-= ，xx2则x=x0= 时，gx=0 ，当x>x0 时，gx>0 ，lna2当x1 ，lna解得a

C.存在a，使得fx存在三个极值点D.当a=1时，fx存在唯一极小值点x0，且-10,g(x)单调递增，x44e3ππ3π2π2x∈-,,g(x)单调递减，g(-π)=0,g-=3π,g=-π,g(π)=0，44442e42e4sinx结合图像可知满足f(x)=0⇔a=-x在-π,π上有且只有一个零点的a的值e22有3个：0，3π，-π，故B正确；442e2ecosx对于C，f(x)=aex+cosx=0⇔a=-x=h(x)，e2sinx+ππ4h(x)=，可知x∈-π,-,h(x)<0,h(x)单调递减，x4eπ3π3πx∈-,,h(x)>0,h(x)单调递增， x∈,π,h(x)<0,h(x)单调递减，444π2e3π21=-,h=3π,h(π)=π，424e2e412cosx故a∈π,3π时，a=-x=h(x)有三个实数根，fx存在三个极值点，e2e4eh(-π)=eπ,h-π4故C正确；对于D,f(x)=ex+cosx=0⇔ex=-cosx,由图像可知此方程有唯一实根x0，3π11123π12因为e2>2，所以3π<,3π<，f-=-<0，2243π224eee4x3πππx0∈-,-，f(x0)=e+sinx0=sinx0-cosx0=2sinx0-，424可知-1

【解析】对于A选项，当x<1时，fx=当x≥1时，fx=x1，则fx=-2<0，x-1x-151-lnx5lnx，则fx=，由fx<0可得x>e，2xx所以，函数fx的单调减区间为-∞,1、A对；e,+∞，1对于B选项，当x<1时，fx=1+<1，x-15lnx5当x≥1时，0≤fx=≤fe=，xe5因此，函数fx的值域为-∞,B错；，e对于CD选项，作出函数fx的图像如下图所示：若a≤0，由f2x-afx=0可得fx=0，则方程fx=0只有两个不等的实根；若a>0，由f2x-afx=0可得fx=0或fx=a或fx=-a，由图可知，方程fx=0有2个不等的实根，方程fx=-a只有一个实根，5若关于x的方程f2x-afx=0有3个不相等的实数根，则a>，C对；e5若关于x的方程f2x-afx=0有5个不相等的实数根，则1≤a<，D对.e故选：ACD.40.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f(x)=sin4x+论正确的是( )A.f(x)的最大值为2ππB.f(x)在-8,12上单调递增C.f(x)在[0,π]上有4个零点ππD.把f(x)的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线x=-对称128【答案】ACD【解析】因为f(x)=sinππππ+4x-+cos4x-=2cos4x-，所以A正确；2666πππ2πππππ当x∈-,时，4x-∈-, ，函数f(x)=2cos4x-在-,上先增后减，无单调8126366812性，故B不正确；ππππkπ令2cos4x-=0，得4x-=+kπ,k∈Z，故x=+,k∈Z，因为x∈[0,π]，所以k=0,1,2,3，66264故C正确；ππππ把f(x)=2cos4x-的图象向右平移个单位长度，得到y=2cos4x--=612126ππ+cos4x-，则下列结3629

ππ=2sin4x的图象，当x=-时．y 取得最小值-2，故D正确．28故选：ACD2cos4x-41.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=fx+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xC.f1=0【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=3对称，fx的图像关于x=3对称，2又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f3-x=f3+x，其中x换x+1得f2-x=f4+x=fx，再将x换x+1得f1-x=f1+x，但无法得到f(1)=0 所以A正确C错误.故选：AB.三、填空题B.fx的周期为43D.fx=f-x242.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x-2aex+2a2-4.若f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.【答案】2【解析】由偶函数的对称性知：f(x)在(-∞,0)、(0,+∞)上各有一个零点且f(0)=0，所以f(0)=2(a+1)(a-2)=0，则a=-1或a=2，当a=-1时，在(0,+∞)上f(x)=(x+2)ex-2，则f(x)=(x+3)ex>0，所以f(x)在(0,+∞)上递增，f(x)>f(0)=0，故无零点，不合要求；当a=2时，在(0,+∞)上f(x)=(x-4)ex+4，则f(x)=(x-3)ex，所以f(x)在(0,3)上递减，在(3,+∞)上递增，则f(x)≥f(3)=4-e3<0且f(0)=0，f(4)=4，故(0,+∞)上有一个零点，符合要求；综上，a=2.故答案为：243.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)空间四面体ABCD中，∠ACD=60∘，二面角A-CD-B的大小为45∘，在平面ABC内过点B作AC的垂线l，则l与平面BCD所成的最大角的正弦值___________.10【答案】4【解析】记过点B作AC的垂线l，垂足为E，过点E作垂直于直线CE的平面α，α交平面BCD于直线BF，则当平面ABC⊥BF时，l与平面BCD所成角最大，且与∠ECH互余.此时，因为平面ACB⊥BF，BF⊂平面BCD所以平面ACB⊥平面BCD，则由点E向平面BCD作垂线，垂足H在CB上，过H作CD垂线HG，垂足为G，连接EG.由题知，∠EGH=45°，记GH=m，则在Rt△GEH中，EH=m,EG=2m26m又∠ACG=60°，所以在Rt△EGC中，CE=，

3EHm6在Rt△EHC中，sin∠ECH===4EC26m330

记此时l与平面BCD所成角为θ，则sinθ=cos∠ECH=故答案为：1042101-6=.4444.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)函数f(x)=ax+2bx+e2，其中a，b为实数，且a∈(0,1).已知对任意b>4e2，函数f(x)有两个不同零点，a的取值范围为___________________.-8【答案】e,1【解析】因为fx有两个不同零点⇔fx=0有两个不相等的实根即ax+2bx+e2=0有两个不相等的实根；所以exlna+2bx+e2=0 ，令t=xlna ，2bt则et++e2=0 ，t显然不为零，lna2bet+e2所以-= ，因为a∈0,1 ，b>4e2 ，lnat2b所以->0 ，所以t>0 ；lnatet-et+e2et+e2令gt=则gt= ；t>0 ，tt2令ht=tet-et+e2t>0 ，则ht=et+tet-et=tet>0 ，所以ht在0,+∞上单调递增，又h2=0 ，所以当t∈0,2时，ht<0 ；当t∈2,+∞ 时，ht>0 ；所以当t∈0,2时，gt<0 ；当t∈2,+∞ 时，gt>0 ；故gt在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增；2b所以gtmin=g2=e2 ，所以-≥e2 ；lnablna又b>4e2，所以2>4 ，所以-≤4 即lna≥-8 ，a≥e-8 ，2e又a∈0,1 ，所以a∈e-8,1 ；-8故答案为：e,1 .45.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知平面向量a，b和单位向量e1，e2满足e1=-e2，a-e1+e2=3a+e1-e2，b=λa+μe1，2λ+μ=2，当a变化时，b的最小值为m，则m的最大值为__________.2【答案】3【解析】不妨设e1=1,0 ，a=x,y ，则由题知e2=-1,031

a-e1+e2=x-2,y，a+e1-e2=x+2,y又a-e1+e2=3a+e1-e2 ，所以x-22+y2=3x+22+y2529整理得x++y2=① ，所以-4≤x≤-124又b=λa+μe1 ，2λ+μ=2所以b=λa+2-2λe1=λx+2-2λ,λy而b=λx+2-2λ2+λy2=λ2x2+y2+2λ2-2λx+2-2λ2将①代入整理得：b=-9xλ2+4x-8λ+4令fλ=-9xλ2+4x-8λ+4,x∈-4,-1 ，∵-9x>0 ，∴fλ有最小值，16×-9x-4x-824x1620fλmin==++-36x99x9m=bmin=4x+16+20，x∈-4,-199x9-4x1616又+≥2-4x×16= ，当且仅当x=-2时等号成立9-9x9-9x922所以0≤m≤4= ，当x=-2时m有最大值 .9332故答案为： .3y2x246.(2022·山东·模拟预测)已知双曲线Ω:2-2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为Ω上一点，Mab2a为△PF1F2的内心，直线PM与x轴正半轴交于点H，|OH|=，且PF1=3PF2，则Ω的渐近线方程为3________．7【答案】y=±x3【解析】因为PH经过△PF1F2的内心，根据内角平分线定理可知：2ac+F1HPF13c+2a473==3=⇒=3⇒e=，所以Ω的渐近线方程为：y=±x．2a3c-2a33HF2PF2c-37故答案为：y=±x347.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)在平面四边形ABCD中，AB=CD=1，BC=2，AD=2，∠ABC=90°，将△ABC沿AC折成三棱锥，当三棱锥B-ACD的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．4π【答案】3【解析】因为在平面四边形ABCD中，AB=CD=1，BC=2，AD=2，∠ABC=90°，所以AC=AB2+BC2=3，则AC2+CD2=4=AD2，所以AC⊥CD，∠DAC=30°，13则S△ACD=AC⋅CD=，22过点B作BE⊥AC于点E，32

1163AB⋅BC=AC⋅BE可得，BE=，则AE=2233为使三棱锥B-ACD的体积最大，只需BE⊥平面ACD，由S△ABC=记△ACD的外接圆圆心为O，连接OE，OB，因为△ACD为直角三角形，所以O为AD中点，且OA=OC=OD=1，又在△AOE中，由余弦定理可得，OE2=AE2+OA2-2AE⋅OA⋅cos30°=1，3则OE=133+1-2××1×=3323，3所以OB=OE2+BE2=1=OA=OC=OD，因此点O即为该三棱锥外接球的球心，且该外接球的半径为1，44所以球的体积为V=π⋅13=π.334π故答案为：.348.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知数列an中，a1=31，且满足an=a+22n-11λ*若对于任意n∈N*，都有≥an成立，则实数λ的最小值是_________.nn≥2,n∈N，n2【答案】211【解析】因为n≥2时，an=an-1+n，所以2nan=2n-1an-1+1，而21a1=3，22n+2所以数列2nan是首项为3公差为1的等差数列，故2nan=n+2，从而an=.2nnn+2nn+2λ又因为≥an恒成立，即λ≥恒成立，所以λ≥.nmax2n2nnn+2n+1n+3n2≥3≥nn+122*由得n=2，n∈N,n≥2得1-3≤n≤1+3，nn+2n-1n+1n∈N*,n≥2≥2n2n-12×2+2nn+2所以==2，所以λ≥2，即实数λ的最小值是2.max2n22故答案为：249.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数y=e-2x+1的图象与函数y=ln-x-1-3的图象关于2某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．24+ln2【答案】2lnt-3【解析】令t=-x-1，则x=-t-1，y=e2t+3，y=．2lnt-3因为y=e2t+3与y=关于直线y=t对称，2ln-x-1-3所以函数y=e-2x+1与函数y=关于直线y=-x-1对称，2所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线y=-x-1距离最小值的2倍，函数y=e-2x+1在P(x0,y0)点处的切线斜率为k=-2e-2x+1，033

令-2e-2x+1=-1得，x0=01+ln2+1+122所以点P到直线y=-x-1距离的最小值为d==224+ln2所以这两点之间距离的最小值为2d=．224+ln2故答案为：.21+ln21，y0=，2224+ln2，450.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数fx=x2+aln2x+1有两个不同的极值点x1、x2，且x1-，则函数gx在-,+∞上有两个不等的零点，22Δ=1-8a>0g-1=a>01所以，，解得0-21故答案为：0,8.51.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，O为23△ABC的外心，且有AB+BC=AC，sinC(cosA-3)+cosAsinA=0，若AO=xAB+yAC，x,3y∈R，则x-2y=________．43【答案】-3或-33【解析】由正弦定理得c(cosA-3)+acosA=0，所以2bcosA=3c，即b2=a2+2c2，23由条件得c+a=b，联立解得a=c,b=3c，或a=5c,b=33c.33当a=c,b=3c时，AB⋅AC=bccosA=c222由AO=xAB+yAC，得AO⋅AB=xAB+yAC⋅AB，13即c2=x⋅c2+y⋅c2，所以2x+3y=1. --------------①222同理，由AO=xAB+yAC，得AO⋅AC=xAB⋅AC+yAC，1311即b2=x⋅c2+y⋅b2，即b2=x⋅b2+y⋅b2，2222所以x+2y=1. --------------②联立①②解得x=-1,y=1. 故x-2y=-3.

当a=5c,b=33c时，同理可得2x+3y=1--③，x+18y=9--④43解得x-2y=-.3343故答案为：-3或-.3352.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)如图，正方形ABCD的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为34

πππ的阴影部分的区域，其中∠EAB=x，≤x≤，记AE，AF的长度之和为fx．则fx的最大值6124为___________．【答案】106【解析】由题设，AE=AB10ππ=，≤x≤，cosxcosx124π5ππππ而∠FAD=∠EAB+∠EAF∈,，故∠DAF=-x∈41212,4，3AD10所以AF==，ππcos-xcos-x3311ππ综上，f(x)=10且≤x≤，cosx+124cosπ-x3203sinx+π123cosx+3sinx3所以f(x)=10+=10⋅=，cosxπ1cosx+3sinxcosx(cosx+3sinx)sin2x++621-cos2x+2π1-cosπ+2x+ππ6+2π326令t=sinx+∈,1，则t2=sin2x+===343221+sin2x+π6，2π2036+2所以sin2x+=2t2-1，故f(x)=g(t)=在t∈,1上递减，6142t-2t6+2203ππ所以f(x)max=g(t)max=g==106，此时x=或x=.41246+2-226+2故答案为：10653.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知a=2ln33，b=，c=，则a、b、c的大小关系是ln4ln22___________(用>连接).【答案】b>c>a3221ln33【解析】因为a====log2e，b==log23，c==log222=log28，ln42ln2ln2ln22又因为3>8>e，且函数y=log2x在0,+∞上为增函数，故b>c>a.故答案为：b>c>a.54.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E为棱D1C1上一动点，点F为棱BB1上一动点，且满足EF=2，则三棱锥B1-EFC1的体积取最大值时，三棱锥B1-EFC1外接球的表面积为___________.【答案】4π【解析】如图所示：取EF的中点O，连接OC1,OB1，由正方体的性质可得D1C1⊥平面BCC1B1，又∵C1F⊂BCC1B1，∴D1C1⊥C1F，即EC1⊥C1F同理FB1⊥B1E，∴∠EB1F=∠EC1F=90°,由直角三角形的性质可得OE=OF=OB1=OC1，∴O为B1-EFC1的外接球的球心，EF为外接球的直径，35

∵EF=2，∴B1-EFC1的外接球的半径恒为1，∴B1-EFC1的外接球的表面积恒为4π，故答案为：4π四、双空题y25-1x255.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆E:+210my2x2=1(10>m>0)是“黄金椭圆”，则m=___________，若“黄金椭圆”C:2+2=1(a>b>0)两ab个焦点分别为F1-c,0、F2(c,0)(c>0)，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是△PF1F2的内心，|PM|连接PM并延长交F1F2于点N，则=___________．|MN|【答案】 55-5【解析】由题，e=25-11-b2=1-m=，所以m=55-5．102a如图，连接MF1,MF2，设△PF1F2内切圆半径为r，1111则PF1r+PF2r+F1F2r=S△PFF，即(2a+2c)r=2222S△PFF，11⋅2c⋅r，F1F2r=S△MFF=22S△PFFPNa+c∴==，cS△MFFMNc∴MN=PNa+cca∴PM=1-PN=PN，a+ca+caPMa15+1a+c∴====．cc25-1MNa+c25+1故答案为：55-5；．.

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