2023年12月2日发(作者：大连八区联考数学试卷)

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名…姓…

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．

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号…学…

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封号

序

密

过

超号

班要学

教不

纸题卷

试答

学…大…峡．三……………………

2017学年春季学期

7．设级数an为交错级数，an0(n),则（ )。

《高等数学Ⅰ(二）》期末考试试卷（A）

n1 (A)该级数收敛 （B)该级数发散

（C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛

8。下列四个命题中，正确的命题是（ ）。

注意: 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方

（A）若级数a2n发散，则级数n也发散

n1an1题号 一 二 三 四 总分

（B）若级数a2n发散，则级数也发散

得分

n1ann1

(C）若级数a2n收敛,则级数n也收敛

n1an1阅卷人 得分

(D）若级数|a|收敛，则级数a2nn也收敛

一、单项选择题（8个小题,每小题2分，共16分）将每题的正确答案的n1n1

代号A、B、C或D填入下表中．

题号

1 2 3 4 5 6 7 8

阅卷人 得分

答案

二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分）．

1．已知a与b都是非零向量，且满足abab，则必有（ ）。

（A)ab0 （B)ab0 (C)ab0 (D）ab0

1.直线3x4y2z60x3yza0与z轴相交，则常数a为 。

2。极限lim(x221x0y)sin2．设f(x,y)ln(xyy0x2y2( ).

x),则fy(1,0)______ _____。

（A) 0 (B) 1 (C） 2 （D)不存在

3．下列函数中，dff的是( ）.

3．函数f(x,y)xy在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .

(A）f(x,y)xy （B）f(x,y)xyc0,c0为实数

4．设D:x2y22x,二重积分(xy)d= 。

（C）f(x,y)x2y2 （D）f(x,y)exy

D4．函数f(x,y)xy(3xy)，原点(0,0)是f(x,y)的（ ).

5．设fx是连续函数,{(x,y,z)|0z9x2y2}，f(x2y2)dv在柱面坐标系下（A）驻点与极值点 （B）驻点，非极值点

（C)极值点，非驻点 （D）非驻点，非极值点

的三次积分为 。

5．设平面区域D:(x1)2(y1)22，若Ixyd

1，Ixy2d，D4D46。幂级数(1)n1xn的收敛域是 。n1n!

I33xyd，则有（ ）.

D47。将函数f(x)1,x0（A）I1x2,0x以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x处收敛

1I2I3 (B）I1I2I3 （C）I2I1I3 （D）I3I1I2

6．设椭圆L：x2y21的周长为l,则(3x2于 .

43L4y2)ds（ ).

(A）

l （B)

3l (C)

4l (D）

12l

2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷A 共3页第

1

页

……

三、综合解答题一（5个小题,每小题7分，共35分，解答题应写出文字

阅卷人 得分

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名…姓…

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．

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号…学…

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线

封号

序

密

过

超号

班要学

教不

纸题卷

试答

学…大…峡．三……………………说明、证明过程或演算步骤）

1．设uxf(x,xuuy)，其中f有连续的一阶偏导数，求x，y．

解:

2．求曲面ezzxy3在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程．解：

3。交换积分次序，并计算二次积分siny0dxxydy．

解：

4．设是由曲面zxy,yx,x1及z0 所围成的空间闭区域，求Ixy2z3dxdydz.

解:

5．求幂级数nxn1的和函数S(x)，并求级数n1n的和．

n12n解：

2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷A 共3页第

2

页

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名…姓…

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．

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号…学…

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线

封号

序

密

过

超号

班要学

教不

纸题卷

试答

学…大…峡．三……………………

阅卷人 得分

四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字

说明、证明过程或演算步骤）

1。从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．

4． 计算解

xdS,为平面xyz1在第一卦限部分。

解：

2．计算积分2s，其中L为圆周x2y2ax (a0)．

L(xy2)d

解：

5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分dxdydydzdzdx，

其中为圆锥面z2x2y2介于平面z0及z1之间的部分的下侧.

解：

3．利用格林公式，计算曲线积分I(x2

Ly2)dx(x2xy)dy，其中L是由抛物线yx2和

xy2所围成的区域D的正向边界曲线．

y

yx2

xy2

D

O

x

2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷A 共3页第

3

页

2017学年春季学期

《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)

答案及评分标准

一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分)

（B）若级数an12n2n发散，则级数an1nn也发散；

(C)若级数an1n1收敛,则级数an1也收敛；

（D)若级数|an2|收敛，则级数an也收敛．

n1

6 7 8

题号

答案

1 2 3 4 5

D A B B A D C D

二、填空题（7个小题，每小题2分，共14分）．

3x4y2z601。直线与z轴相交，则常数a为 3 。

x3yza02．设f(x,y)ln(xy),则fy(1,0)_______1_____

x3．函数f(x,y)xy在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为

4．设D:xy2x，二重积分221．已知a与b都是非零向量,且满足abab,则必有(D ）

(A)ab0; (B)ab0 ； （C)ab0； (D）ab0．

1 （ A ) 2。极限lim(xy)sin2x0xy222y02

(xy)d=

D ．

(A) 0； (B) 1； （C) 2； （D)不存在.

3．下列函数中，dff的是（ B ）;

（A）

f(x,y)xy; (B）f(x,y)xyc0,c0为实数；

5．设fx是连续函数，{(x,y,z)|0z9x2y2},f(x2y2)dv在柱面坐标系下的三次积分为

6.幂级数xy； （D)f(x,y)e.

4．函数f(x,y)xy(3xy)，原点(0,0)是f(x,y)的( B ）.

（C)

f(x,y)(A）驻点与极值点； (B）驻点，非极值点；

(C）极值点,非驻点; (D）非驻点，非极值点.

5．设平面区域D：(x1)(y1)2，若I132222xy20dd03920f(2)dz

(1)n1n1xn的收敛域是

(,) 。

n!,x0,0xxyxyd，Id，244DD17。函数f(x)21x,以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x处收敛于

22 .

xyI3d,则有（ A )

4D(A）I1I2I3； （B）I1I2I3; （C）I2I1I3; （D）I3I1I2．

x2y21的周长为l,则(3x24y2)ds(D ） 6．设椭圆L：L43 （A)

l； (B）

3l； （C)

4l； (D)

12l．

7．设级数an1n为交错级数，an0(n)，则（ C ）

三、综合解答题一(5个小题,每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

xuu1．设uxf(x,)，其中f有连续的一阶偏导数，求，．

yyxux 解：fxf1f2 ………………4分

xyux22f2 。 ………………7分

yy （A)该级数收敛； （B）该级数发散；

（C）该级数可能收敛也可能发散； （D) 该级数绝对收敛．

8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ）

（A）若级数2．求曲面ezzxy3在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程．

解：令Fx,y,zezzxy3,………………2分

an1n发散，则级数an12n也发散；

n(Fx,Fy,Fz)(y,x,ez1)，n4

页 2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷A 共3页第

(2,1,0)(1,2,2) ，………………4分

所以在点(2,1,0)处的切平面方程为

(x2)2(y1)2z0， 即

x2y2z40；………………6分

法线方程为x2y1z。 ………………7分

122又最大周长一定存在，故当xy2．计算积分3.交换积分次序，并计算二次积分解：=

0dxxsinydy；

yL2时有最大周长. ………………7分

2．

(x2y2)ds,其中L为圆周x2y2ax (a0）解:L的极坐标方程为

acos,则ds所以

23xyzdxdydz

22；………………2分

0dxxysinysinydy =dydx ………………4分

00yy2()2dad，………………4分

L0sinydy2 ………………7分

(xy)ds2ad2acosd2222232a32．………………7分

4．设是由曲面zxy,yx,x1及z0 所围成的空间区域，求I解:注意到曲面zxy经过x轴、y轴，………………2分

或解:L的形心(x,y)(,0)，L的周长a，

a2={(x,y,z):0zxy,0yx,0x1} ………………4分

1xxy12323故Ixyzdxdydzdxdyxyzdz=． ………………7分

000364

5．求幂级数解:S(x)L(xy)ds=axds=axa=L22a33．利用格林公式,计算曲线积分IL2(x2y2)dx(x2xy)dy，其中L是

由抛物线yx2和xy2所围成的区域D的正向边界曲线．

解：Inxn1n1n1的和函数S(x),并求级数nn的和．

n12(xL2y2)dx(x2xy)dy

y

yx2

xy2

D

nxn1,

S(0)1，

dxdy ………………3分

D

由已知的马克劳林展式：11xxn,|x|1,………………2分

n110dx2dy ………………5分

xx

1 ………………7分

3O

x

有S(x)(11)=1，|x|1，………………5分

nx)(1x(1x)2n1n14． 计算xdS，为平面xyz1在第一卦限部分。

解：在xoy面上的投影区域为Dxy:xy1(x0,y0) ，………………2分

又:z1xy,n=1n222n1nn1=1S(1)=2 ………………7分

22zz1,1,故dS3dxdy,………………4分

xy11x00四、综合解答题二(5个小题，每小题7分，共35分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1。从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．

解 设两个直角边的边长分别为x,y,则x2y21,周长Cxy1，

需求Cxy1在约束条件x2y21下的极值问题． ………………2分

设拉格朗日函数L(x,y,)xy1(x2y21)，………………4分

所以xdS3xdxdy3dxDxyxdy3. ………………7分

6或解：由对称性,xdS113(xyz)dSdS

336dxdydydzdzdx,其中为锥面z2x2y2Fx12x0,令Fy12y0,

x2y21,解方程组得xy5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分介于平面z0及z1之间的部分的下侧。

2为唯一驻点, ………………6分

2解：补曲面D:xy1,z1(取上侧）,………………2分

由高斯公式知

225

页 2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷A 共3页第 2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷A 共3页第6

页dxdyDdydzdzdx＝0， ………………4分

故＝dxdydxdyDdydzdydzdzdx

dzdx

＝

{x2y21}dxdy= ………………7分


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