2024年3月8日发(作者：20184年级数学试卷)

专题15集合专题（新定义）一、单选题（2023·全国·模拟预测）已知集合A，B满足AB1,2,3，若AB，且A&B，B&A表示两个不1．同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（A．9【答案】C【分析】直接列举可得.【详解】当A时，集合B可以为{1,2,3}；当A{1}时，集合B可以为{2,3},{1,2,3}；当A{2}时，集合B可以为{1,3},{1,2,3}；当A{3}时，集合B可以为{1,2},{1,2,3}；当A{1,2}时，集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；当A{1,3}时，集合B可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}；当A{2,3}时，集合B可以为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}；当A{1,2,3}时，集合B可以为,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.故满足题意的“AB互衬对”个数为27.故选：CB．4C．27）D．8∣xA且xB}，（2023·全国·高三专题练习）定义集合AB{x已知集合A{3,2,2,3},B{3,1,1,2}，2．则AB（A．{3,2}【答案】C【分析】根据集合新定义即可求解.）B．{1,1}C．{2,3}D．{0}∣xA且xB}，A{3,2,2,3},B{3,1,1,2}，【详解】因为集合AB{x所以AB{2,3}故选：Czzxy,xA,yB，设集合A1,0,1，B1,1,3，3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合A*B∣则A*B中元素的个数为（）

A．4【答案】BB．5C．6D．7【分析】根据集合的新定义求得A*B，从而确定正确答案.【详解】因为A1,0,1，B1,1,3，所以A*B3,1,0,1,3，故A*B中元素的个数为5.故选：B.（2021秋·陕西安康·高一校考阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义PQa,baP,bQ，若4．P3,4,5，Q4,5,6,7，则PQ中元素的个数是（A．3【答案】CB．4C．12）D．16【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.【详解】因为定义PQa,baP,bQ，且P3,4,5，Q4,5,6,7，所以PQ3,4,3,5,3,6,3,7,4,4,4,5,4,6,4,7,5,4,5,5,5,6,5,7，PQ中元素的个数是12，故选：C.5．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为U，定义一种运算，MNxxMðUN，若全集UR，Mxx2，Nx3x1，则MN（）A．x2x1C．x1x2【答案】CB．x1x2D．x2x1【分析】解不等式求得集合M，求得ðUN，根据集合运算新定义，即可求得答案.}，【详解】由题意得Mxx2{x|2x2}，ðUN{xx3或x1则MNx1x2，故选：C

（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）当一个非空数集G满足“如果a、bG，则ab、ab、abG，6．a且b0时，G”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（b）①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则2022G；∣x2k,kZ}是一个数域；④有理数集Q是一个数域．③集合P{xA．1【答案】C【分析】根据数域定义逐一验证即可.【详解】由定义可知，aaG，即0是任何数域中的元素，①正确；若域G中有非零元素a，则a1G，所以112G，123G，…，120212022G，②正确；aa1P，故③错误；b2B．2C．3D．4记a2,b4,则a,bP，但易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故④正确.故选：C（2022秋·北京房山·高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A，则称(A,B)7．B满足以下三个条件，为集合U的一种真分拆，并规定(A,B)与(B,A)为集合U的同一种真分拆．①AB；②ABU；③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．则集合U{1,2,3,4,5}的真分拆的种数是（A．4【答案】A【分析】理解真分拆的定义，采用列举法一一列出即可求解.【详解】根据真分拆定义，当集合A只有一个元素时，B有四个元素，此时只能是A14,B11,2,3,5；当集合A有两个元素时，B有三个元素，此时包括A23,1,B22,4,5、A33,4,B32,1,5、A43,5,B42,1,4，因为(A,B)与(B,A)为集合U的同一种真分拆，故只有四种真分拆.）C．10D．15B．8故选：A8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合BxZ3x4，则AB真子集个数为（）

A．3【答案】CB．4C．7D．8【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.【详解】由题中定义可知A1,2,3,4,5,6,7,8,9，而BxZ3x4，所以AB1,2,3，因此AB真子集个数为2317，故选：C（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）0A，1A；（2）若x,yA，9．1则xyA；（3）若xA且x0，则A．则称A为“好集”．已知命题：①集合1,0,1是好集；②对x任意一个“好集”A，若x,yA，则xyA．以下判断正确的是（A．①和②均为真命题C．①为真命题，②为假命题【答案】D【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可.【详解】对于①，因为11,0,1,11,0,1，而1121,0,1，所以集合1,0,1不是好集，故①错误；对于②，因为集合A为“好集”，所以0A,0yyA，所以xyxyA，故②正确，所以①为假命题，②为真命题.故选：D.B．①和②均为假命题D．①为假命题，②为真命题）1,xM（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M，定义函数fM(x)，对10．1,xM∣fM(x)fN(x)1，于两个集合M、N，定义集合，MNx已知A2,4,6,8,10，B1,2,4,8,16，用|M|表示有限集合M中的元素个数，则对于任意集合M，|MA||MB|的最小值为（A．5【答案】B【分析】先根据定义化简MA，MB，再根据文恩图确定|MA|+|MB|最小值取法，即得结果.B．4C．3D．2）

1,xM【详解】解：因为fM(x)，1,xM所以MΔNx|fMxfNx1x|fMx1,fNx1x|fM(x)1,fN(x)1，x|xM,xðUNx|x痧UM,xN(MUN)(NUM)，所以，MA(M痧UA)(AUM),MB(M痧UB)(BUM)，所以，当MAB元素个数最多且M中不含有A,B的元素之外的元素时，|MA|+|MB|最小，因为AB{2,4,8},所以当MAB2,4,8时，|MA|+|MB|最小，为|{6,10}||{1,16}|224，故选：B111．（2022秋·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习）若xA且A就称A是伙件关系集合，集合x11M1,0,,,1,2,3,4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（32A．15【答案】A11【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1，1，“3和”，“2和2”四种可能，它们组成的非空子集的个3）B．16C．64D．128数为即为所求.111A；【详解】因为1A，1A；1A，11112A，A；3A，A；3211这样所求集合即由1，1，“3和”，“2和2”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．3所以满足条件的集合的个数为24115，故选:A.12．（2022秋·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知集合M2,3,4,5，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以1再求和（如A2,3,5，可求得和为：k2131516），则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是（A．18【答案】DB．16C．-18D．-16235）

【分析】由已知，先求解出集合M的所有非空子集分别出现的次数，然后，再根据范例直接计算总和即可.【详解】由已知，因为M2,3,4,5，那么每个元素在集合M的所有非空子集分别出现23个，则对于M的所有非空子集执行乘以1再求和的操作，则这些数的总和为：2345232131415116.k故选：D.13．（2023·全国·高三专题练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如{4,6,9}的交替和是9647；而{5}的交替和是5，则集合M{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集的交替和的总和为（A．32【答案】D【分析】依次计算集合{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}的所有非空子集的交替和的总和，然后归纳猜想出规律即可得．【详解】集合{1}的所有非空子集的交替和的总和为S1=1，集合{1,2}的所有非空子集的交替和的总和为S212(21)4，集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和为S3123(21)(32)(31)(321)12，集合{1,2,3,4}的所有非空子集的交替和的总和为S41234(21)(32)(43)(31)B．64C．80）D．192(42)(41)(321)(432)(421)(431)(4321)32，n1由此猜测集合{1,2,3,,n}的所有非空子集的交替和的总和为Snn2，证明如下：将集合{1,2,3,,n}中所有的子集分为两类：第一类，集合中无n，第二类，集合中有n这个元素，每类中集合的个数为2n1我们在两类集合之间建立如下一一对应关系：第一类中集合A对应着第二类中集合An，此时这两个集合的交替和为n，n1故集合{1,2,3,,n}的所有非空子集的交替和的总和为Snn2，5所以S662192．故选：D．14．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，

称A为互斥集．若A{a,b,c}{1,2,3,4,5}，且A为互斥集，则A．111的最大值为（abc）116B．1312C．74D．4760【答案】C【分析】由集合的新定义先确定集合A，而要想即可求解【详解】因为A{a,b,c}{1,2,3,4,5}，所以A为1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5又且A为互斥集，所以A为1,2,4,1,2,5,1,3,5,2,3,4,2,4,5,3,4,5，要想111取得最大值，abc111取得最大值，则a,b,c要最小，从而确定a,b,c，abc则a,b,c要最小，此时a,b,c1,2,4，不妨令a1,b2,c4，则故选：C（2022·上海·高一专题练习）设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属15．于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；④τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（A．②【答案】D【分析】利用集合X上的拓扑的3个要求，依次判断即可．【详解】解：①中由于{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X上的一个拓扑；B．①③）C．②④D．②③1111117，abc1244

③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X上的一个拓扑；④中{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故④不是集合X上的一个拓扑；因此集合X上的拓扑的集合τ的序号是②③，故选：D．16．（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算AB=xxA且xB称为集合A与集合B的差集；定义集合运算ABABUBA称为集合A与集合B的对称差，有以下4个命题：①ABBA③AIBCAIBAIC则4个命题中是真命题的是（A．①②【答案】B【分析】利用题中定义可判断①的正误；利用韦恩图法可判断②④；利用题中定义与集合运算可判断③的正误.【详解】对于①，BABAABABBAAB，①对；对于②，AB=xxA且xB=xxA且xAB=AAB，同理BABAB，则ABABBAABAB，所以，ABCABCABC表示的集合如下图中的阴影部分区域所示：）C．①②④D．①②③④②ABCABC④AUBCAUBAUCB．①②③同理ABCABCABC也表示如上图阴影部分区域所示，

故ABCABC，②对；对于③，ABCABCBCABCABCABACABACABAC，③对；对于④，如下图所示：所以，AUBCAUBAUC，④错.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题的关键在于利用韦恩图法来表示集合，利用数形结合思想来进行判断.二、多选题（2022秋·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一17．个“类”，其中k0,1,2,3，记为k，即kxx4nk,nZ，以下判断正确的是（A．20221C．Z0123【答案】CD【分析】根据给定的定义，计算判断A，B；推理判断C，D作答.【详解】k0,1,2,3，[k]{x|x4nk,nZ}，B．33D．若ab0，则整数a，b属于同一个类）202245052，即2022[2]，而[1][2]，因此2022[1]，A不正确；34(1)1，即3[1]，而[1][3]，因此3[3]，B不正确；因任意一整数除以4，所得余数只能为0或1或2或3，即Z0123，反之，集合0123中任一数都是整数，即0123Z，所以Z0123，

C正确；a,bZ，不妨令a4n1k1,b4n2k2,n1,n2Z,k1,k20,1,2,3，则ab4(n1n2)(k1k2)，因ab0，于是得k1k20，即k1k2，因此整数a，b属于同一个类，D正确.故选：CD18．（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足MNQ，MN，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）A．M{xQx2},NxQx2满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M没有最大元素，N没有最小元素D．M有一个最大元素，N有一个最小元素【答案】ABC【分析】根据戴德金分割的定义可判断A；举例M{xQx0},NxQx0判断B;结合A中例子可判断C;假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义判断D.【详解】对于A，M{xQx2},NxQx2满足戴德金分割的定义，A正确；对于B,取M{xQx0},NxQx0，符合戴德金分割，M没有最大元素，N有一个最小元素，B正确；对于C，取M{xQx2},NxQx2满足戴德金分割的定义，M没有最大元素，N没有最小元素，C正确；对于D，假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义，必有mn，则无法满足MNQ，D错误，故选：ABC.19．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合A，若对于任意a，bA，有abA，且abA，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（）

A．集合A＝0为闭集合；0，2，4为闭集合；B．集合A4,2，C．集合An|n＝3k，kZ为闭集合；D．若集合A1、A2为闭集合，则A1A2为闭集合．【答案】AC【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断abA,且abA是否满足即可得到结论.【详解】对于A：按照闭集合的定义，000,000,0A.故A正确;0，2，4不是闭集合.故B错误;对于B：当a4,b2时,ab426A.故A4,2，对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故An|n＝3k，kZ是闭集合.故C正确;对于D：假设A1n|n3k,kZ,A2n|n5k,kZ.不妨取3A1,5A2,但是,358A1A2,则A1A2不是闭集合.故D错误.故选：AC三、填空题（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）设集合I1,2,3,AI，若把集合MAI的集合M20．叫做集合A的配集，则A1,2的配集有___________个.【答案】4【分析】直接按定义求出符合条件的集合M，计算个数，得到答案.【详解】解：由题意，M可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共4个.故答案为：4.（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合Aa1,a2,a3,,anai0,i1,2,3,n，其所有元素的几何21．平均数记为EA，即EAna1a2an．若非空数集B满足下列两个条件：①BA；②EBEA，则称B为A的一个“保均值真子集”，据此，集合1,2,4,8,16的“保均值真子集”有__个．【答案】6【分析】求出EA4，由此利用列举法能求出集合1,2,4,8,16的“保均值真子集”的个数．

【详解】因为集合A1,2,4,8,16，则EA51248164，所以，集合1,2,4,8,16的“保均值真子集”有：4、1,16、2,8、1,4,16、2,4,8，1,2,8,16，共6个.故答案为：6.（2020秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）设集合Sn1,2,3,,n，若XSn，把X的22．所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集，则S5的所有奇子集的容量之和为______.【答案】47【分析】写出所有的奇子集，从而求出所有奇子集的容量之和.【详解】当n5时，S51,2,3,4,5，含有一个元素的奇子集为1,3,5，含有两个元素的奇子集为1,3,1,5,3,5，含有三个元素的奇子集为1,3,5，故所有奇子集的容量之和为13513153513547.故答案为：47.23．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于kA，若k1A，且k1A，则称k是A的一个“孤立元”，集合T1,2,3,5中的“孤立元”是___________；对给定的集合S1,2,3,4,5,6，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个．【答案】56【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可；②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的集合即可.【详解】解：①对于1，112T，则1不是“孤立元”；对于2，211T，且213T，则2不是“孤立元”；对于3，312T，则3不是“孤立元”；

对于5，514T，且516T，则5是“孤立元”；②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，1,2,4,5，1,2,5,6，2,3,4,5，所以由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有1,2,3,4，2,3,5,6，3,4,5,6，共6个，故答案为：5；6.ab，24．（2021秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集F满足：对任意a,bF，有ab，aabF，且当b0时，有F，则称F为一个数域，以下命题中：b（1）0是任何数域的元素；（2）若数域F有非零元素，则2021F；（3）集合P{x|x3k,kZ}为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【答案】3【分析】根据新定义逐一判断即可求解【详解】（1）当ab时，ab0属于数域，故（1）正确，（2）若数域F有非零元素，则b1F，b从而112F,21F,,202012021F，故（2）正确；（3）由集合P的表示可知得x是3的倍数，当a6,b3时，2P，故（3）错误，a（4）若F是有理数集，则当a，bF，则ab，ab，abF，且当b0时，F”都成立，故（4）bab63正确，故真命题的个数是3.故答案为：325．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）已知集合A，B满足：（1）ABQ，AB；（2）x1A，若x2Q且x2x1，则x2A；（3）y1B，若y2Q且y2y1，则y2B.给出以下命题：①若集合A中没有最大数，则集合B中有最小数；②若集合A中没有最大数，则集合B中可能没有最小数；③若集合A中有最大数，则集合B中没有最小数；④若集合A中有最大数，则集合B中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是___________.

【答案】②③【分析】根据集合中元素的特点进行判断A，B的关系．【详解】解：依题意可判断集合A中的元素都小于集合B中的元素，若集合A的元素没有最大数，则必然存在一个数x，使得x1A，x1x；如果x是有理数，则xB，且y1B，y1x，则B有最小数为x；如果x是无理数，则xB，且y1B，y1x，则B没有最小数；故②正确；若集合A的元素有最大数，则必然存在一个有理数x，使得x1A，x1x；y1B，y1x，则B没有最小数；故③正确；故答案为：②③．26．（2022秋·江苏淮安·高三校联考期中）用Card(A)表示非空集合A中的元素个数，定义CardACardB,CardACardB22AB，若A2,3，Bxxmxxmx10，且CardBCardA,CardACardBAB1，若B中元素取最少个数时m=______.若B中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合B=______.【答案】02,1,0或0,1,2【分析】由题意，分情况求得CardB，可得方程根的情况，可得答案．【详解】由题意，可知CardA2，当CardBCardA时，ABCardBCardA1，则CardB3；当CardACardB时，ABCardACardB1，则CardB1；22故B中元素最少个数为1，此时，方程xmxxmx10存在唯一根，由x2mxx(xm)知该方程必有一个根为0，故m0，即m0；22同时，也可知B中元素最多个数为3，则方程xmxxmx10存在三个根，则m0，此时，x2mx0必定存在两个不等实根x10和x2m，则方程x2mx10存在唯一实根或存在两个不相等的实根但其中一个根为m，①当x2mx10存在唯一实根时，由m240得m2，

当m＝2时，方程为x22x10，其根x31，同时x22，故此时B0,2,1；当m＝－2时，方程为x22x10，其根x31，同时x22，故此时B0,2,1；②当x2mx10存在两个不相等的实根但其中一个为m时，mmm10，不成立；综上，B中元素最多个数为3时，B0,2,1或0,2,1．故答案为：0；0,2,1或0,2,1．【点睛】根据题目中的新定义，直接应用，求得结论，根据集合中元素的个数，可得方程根的情况，结合二次方程的解法，可得答案．27．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）对于集合{x|axb}，我们把ba称为该集合的长度，设集合A{x|axa1927},B{x|x2(2b1094)xb(b1094)0}，且A,B都是集合U{x|0x2022}的子集，则集合AB的长度的最小值是_______．2【答案】999【分析】根据题中定义，结合解一元二次不等式的方法、子集的定义、交集的定义分类讨论进行求解即可.∣x22b1094xbb10940xb1094xb，【详解】Bx∣0x2022的子集，因为A,B都是集合Ux0aa192720220a95所以，0b10941094b2022b2022所以ABxb1094xa1927或ABxaxb，所以AB的长度为a1927(b1094)ab3021或ba，所以当a0,b2022时，或a95,b1094，AB的长度的最小值为999故答案为：99928．（2023·全国·高一专题练习）设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yfx满足：（ⅰ）TfxxS；（ⅱ）对任意x1,x2S，当x1x2时，恒有fx1fx2．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①AN，B为正整数集；

②Ax1x3，Bx8x10；③Ax0x1，BR．其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）【答案】①②③【分析】利用两个集合“保序同构”的定义，能够找出存在一个从S到T的函数进行判断即可【详解】条件（ⅰ）（ⅱ）说明S到T是一个一一映射，且函数为单调递增函数.对于①，可拟合函数yx1(xN)满足上述两个条件，故是保序同构；8,(x1)对于②，可拟合函数y5满足上述两个条件，故是保序同构；(x1),(1x3)2对于③，可考虑经过平移压缩的正切函数也满足上述两个条件，故都是保序同构；故答案为：①②③四、解答题（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①0M，29．1M；1yM，则xyM；③若xM且x0，则M.②若x，x（1）判断1M是否正确，说明理由；（2）证明：M；13yM，则xyM且xyM.（3）证明：若x，【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据定义确定M包含元素1；（2）根据定义依次确定M包含元素1,2,3,；（3）根据定义确定M包含元素y，即得xyM结论；根据定义依次确定M包含元素221111xy)(xy)2(x1,,,x(x1),x,,,xy,即得xyM结论．xxx1x(x1)2213【详解】（1）1M正确，证明如下：由①知0M，1M由②可得011M；（2）证明：由（1）知1M，又1M∴112M，213M

由③得M；（3）证明：由①知0M由题知yM，∴由②可得0yyM又∵xM，∴xyM，即xyM；证明：由xM，yM，当x0时，则xy0M；当x1时，则xyyM；当x0且x1时，由②可得x1M，1311M再由③可得M，x1x111M，M即∴xx1xx1∴x1xM即xx2M，∴x2M即当xM，x2M2112又因为当x,yM，xyM，∴M，∴Mxxxx∴当x,yM，可得x,y22xy,22x2y2,M2xy∴22x2y2xyM．2【点睛】关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．（2022秋·北京·高一北京市第十三中学校考期中）设A是实数集的非空子集，称集合30．Buvu,vA,且uv为集合A的生成集．(1)当A2,3,5时，写出集合A的生成集B；(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值．【答案】(1)5,7,8(2)7【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设Aa1,a2,a3,a4,a5，且0a1a2a3a4a5，利用生成集的定义即可求解.【详解】（1）根据题意，A2,3,5，

235,257,358，B5,7,8（2）设Aa1,a2,a3,a4,a5，不妨设0a1a2a3a4a5，a1a2a1a3a1a4a1a5a2a5a3a5a4a5所以B中元素个数大于等于7个，所以生成集合B中元素个数最小值为7.


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