高中数学不等式的解法

2023年12月23日发(作者：南昌高考数学试卷难度排名)

高中数学不等式的解法复习目标

1．掌握一元一次不等式（组），一元二次不等式，分式不等式，含绝对值的不等式，简单的无理不等式的解法．

2．会在数轴上表示不等式或不等式组的解集．

3．培养运算能力．

知识回顾

一、一元一次不等式的解法

一元一次不等式axb(a0)的解集情况是

（1）当a0时，解集为{x|x

二、一元二次不等式的解法

一般的一元二次不等式可利用一元二次方程ax2bxc0与二次函数yaxbxc的有关性质求解，具体见下表：

2bb} （2）当a0时，解集为{x|x}

aaa0，b24ac

二次函数

0

0

0

yax2bxc

的图象

一元二次方程

有两实根

有两个相等的实根

axbxc0

的根

一 式

元 的

二 解

次 集

不

等

不等式

2xx1或xx2

xx1x2

b2a无实根

ax2bxc0

的解集

不等式

{x|xx1或xx2}

{x|xx1}

R

ax2bxc0

的解集

{x|x1xx2}

Φ Φ

注：1．解一元二次不等式的步骤：

（1） 把二次项的系数a变为正的．（如果a0，那么在不等式两边都乘以1，把系数变为正）

（2） 解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）

（3） 求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向）

2．当a0且0时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边” ．

三、含有绝对值的不等式的解法

1．绝对值的概念

a(a0)

a0a0

aa0

2．含绝对值不等式的解：

（1）|x|a(a0)axa

（2）|x|a(a0)xa或xa

（3）|f(x)|a(a0)af(x)a

（4）|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a

注：当a0时，|x|a无解，|x|a的解集为全体实数．

四、一元高次不等式的解法

一元高次不等式f(x)0（或f(x)0），一般用数轴标根法求解，其步骤是：

（1）将f(x)的最高次项的系数化为正数；

（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积；

（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；

（4）根据曲线显现出f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．

如：若a1a2a3an，则不等式(xa1)(xa2)(xan)0

或(xa1)(xa2)(xan)0的解法如下图（即“数轴标根法”）：

五、分式不等式的解法

f\'(x)f\'(x)对于解\'a或a型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成

g\'(x)g(x)

f(x)f(x)0(0)或0(0)的形式，再转化为整式不等式求解。

g(x)g(x)（1）f(x)f(x)0f(x)•g(x)0 （2）0f(x)•g(x)0

g(x)g(x)f(x)•g(x)0g(x)0（3）

x

)

f

(

x

)

•

g

(

x

)



0 （4）

(x)

f

(

f00

g

(

x

)

g

(

x

)



0

g(x)

六、无理不等式的解法

（1）f(x)0定义域

f(x)g(x)型g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)0

f(x)g(x)型g(x)0或f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)0

f(x)g(x)型g(x)0f(x)[g(x)]2（2）（3）经典例题导讲

[例1] 如果kx+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是＿＿＿.A. －1≤k≤0 B. －1≤k<0 C. －1

ax + ，若3f(1)0,3f(2)6,求f(3)的范围.[例4] 解不等式（x+2）(x+3)(x－2)02xb[例5] 解关于x的不等式a(xab)b(xab)2[例6]关于x的不等式axbxc0的解集为{x|x2或x}求关于x的不等2,式axbxc0的解集．21

[例7]不等式log2(x典型习题导练16)3的解集为

x2若不等式则a（ ）A．5 B．6 C．10 D．12

2xbxa0的解集为{x|1x5}，1.2.已知不等式m4m5x4m1x30对一切实数x恒成立，求实数m的取值22范围．

3.关于x的不等式ax(a1)xa10 对于xR恒成立，求a的取值范围．

2x28x204. 若不等式<0的解集为R，求实数m的取值范围.

2mx2(m1)x9m45. 已知不等式x-4x+3<0① x-6x+8<0② 2x-9x+m<0③，要使同时满足①②的x也满足③，则有( )A.m>9 B.m＝9 C.m≤9 D.0

6.若函数f(x)＝log12(x2kx2)222的值域为(-∞,+∞)，则实数k的取值范围是( )

A.(-22，22) B.［-22,22］

C.(-∞，-22)∪(22,+∞) D.(-∞,-22)∪［22,+∞］

7.关于x的不等式(k-2k+5x251-x)<(k-2k+)的解集为( )

2211A.｛x｜x<｝ B.｛x｜x>｝ C.｛x｜x>2｝ D.｛x｜x<2｝

222228.若ax+bx+c>0的解集为｛x｜x<-2或x>4｝，那么对于函数f(x)＝ax+bx+c会有( )

A.f(5)

C.f(-1)

9. 不等式ax+bx+2>0的解集为(-211，)，则a+b的值是 .

23

10.4x(x+2)-8·32x>0的解集为 .

211.设关于x的二次方程px+(p-1)x+p+1＝0有两个不等的正根，且其中一根大于另一根的两倍，求p的取值范围.

x23x222012.解不等式213.解不等式

(x4x5)(xx2)0x2x3

14. 解不等式

(x2)(x1)(x1)(x2)0

15.解不等式2316x1x12x22kxk116.k为何值时，下式恒成立：17. 解不等式3x4x3024x6x3

218. 解不等式2x6x4x2