2022年内蒙古通辽中考数学真题及答案

2024年4月7日发(作者：高三做数学试卷有用吗)

2022年内蒙古通辽中考数学真题及答案

一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请

在答题卡上将代表正确答案的字母用2

B

铅笔涂黑）

1.

3

的绝对值是（

A.



）

B.3C.

1

3

1

3

D.

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据绝对值的定义化简即可．

【详解】解：∵

33

，

∴

3

的绝对值是3，

故选：B．

【点睛】本题考查绝对值的概念，能够熟练的求出某个有理数的绝对值是解决本题的关键．

2.冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会

图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解．

【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：A

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部

分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．

3.节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用科学

记数法表示为（

A.

0.1210

6

）

B.

1.210

7

C.

1.210

5

D.

1.210

6

【答案】D

【解析】

【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为

a

×10，

n

为正整数，且比

n

原数的整数位数少1，据此可以解答．

【详解】解：120万=1200000=1.2×10．

故选：D

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式

为

a

10

n

，其中

1a10

，

n

是正整数，正确确定

a

的值和

n

的值是解题的关键．

4.正多边形的每个内角为

108

，则它的边数是（

A.4

【答案】D

【解析】

【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和

360°除以72°，计算即可得解．

【详解】解：∵正多边形的每个内角等于108°，

∴每一个外角的度数为180°-108°=72°，

∴边数=360°÷72°=5，

故选D．

【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个

外角的度数求边数更简便．

5.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈

不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问

人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，

又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为

x

人，物价为

y

钱，根据题意，下面所列方程

组正确的是（）

B.6

）

C.7D.5

6

A





8

x



3



y

.



7

x



4



y

B.





8

x



3



y



7

x



4



y

C.





8

x



3



y



7

x



4



y

D.



8

x



3



y





7

x



4



y

【答案】B

【解析】

【分析】根据译文可知“人数×8-3=钱数和人数×7+4=钱数”即可列出方程组．

【详解】解：由题意可得，



故选：B．

【点睛】本题考查列二元一次方程组．解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的

方程．

6.如图，一束光线

AB

先后经平面镜

OM

，

ON

反射后，反射光线

CD

与

AB

平行，当



8

x



3



y

，



7

x



4



y

ABM35

时，

DCN

的度数为（）

A.

55

【答案】A

【解析】

B.

70

C.

60

D.

35

【分析】根据题意得：∠

ABM

=∠

OBC

，∠

BCO

=∠

DCN

，然后平行线的性质可得∠

BCD

=70°，

即可求解．

【详解】解：根据题意得：∠

ABM

=∠

OBC

，∠

BCO

=∠

DCN

，

∵∠

ABM

=35°，

∴∠

OBC

=35°，

∴∠

ABC

=180°-∠

ABM

-∠

OBC

=180°-35°-35°=110°，

∵

CD

∥

AB

，

∴∠

ABC

+∠

BCD

=180°，

∴∠

BCD

=180°-∠

ABC

=70°，

∵∠

BCO

+∠

BCD

+∠

DCN

=180°，∠

BCO

=∠

DCN

，

∴



DCN



故选：A

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．

7.在平面直角坐标系中，将二次函数

y



x1



1

的图象向左平移1个单位长度，再向

下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（

A.

y



x2



1

C.

yx

2

1

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．

【详解】解：将二次函数

y



x1



1

的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单

位长度，所得函数的解析式为

y



x11



12x

2

1

故选D．

【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移

规律．

8.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点

A

，

B

，

C

都在格点上，以

AB

为直径

的圆经过点

C

，

D

，则

cosADC

的值为（）

2

2

2

2

1

(180





BCD

)



55



．

2

）

B.

y



x2



3

2

D.

yx

2

1

A.

213

13

B.

313

13

C.

2

3

D.

5

3

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据勾股定理求出

AB

的长度，然后根据圆周角定理的推论得出

ADCCBA

，



ACB



90



，计算出

cosCBA

即可得到

cosADC

．

【详解】解：∵

AB

为直径，

CB3

，

AC2

，

∴



ACB



90



，

AB

2

CB

2

AC

2

，

∴

AB13

，

∴

cos



CBA



CB

3313

，



AB

13

13



∵



，

ACAC

∴

ADCCBA

，

∴

cos

ADC

故选：B．

【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．

9.若关于

x

的分式方程：

2



A.

k2

C.

k1

【答案】B

【解析】

【分析】先解方程，含有

k

的代数式表示

x

，在根据

x

的取值范围确定

k

的取值范围．

313

13

1



2

k

1



的解为正数，则

k

的取值范围为（

x



22



x

B.

k2

且

k0

D.

k1

且

k0

）

【详解】解：∵

2



1



2

k

1



，

x



22



x

∴

2



x2



12k1

，

解得：

x2k

，

∵解为正数，

∴

2k0

，

∴

k＜2

，

∵分母不能

为

0，

∴

x2

，

∴

2k2

，解得

k0

，

综上所述：

k＜2

且

k0

，

故选：B．

【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．

10.下列命题：①

mn

2



3

m

3

n

5

；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解

x

3

4xx



x2



x2



；④平分弦的直径垂直于弦；⑤若使代数式

x1

在实数范围内

有意义，则

x1

．其中假命题的个数是（

A.1

【答案】C

【解析】

【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义

的条件，逐项判断即可求解．

【详解】解：①

mn

2

B.3

）

C.2D.4



3

m

3

n

6

，故原命题

是

假命题；

1



1



3



3



5





3

，所以方差为

4

②数据1，3，3，5的平均数为

1



2222

1



3







3



3







3



3







5



3







2

，是真命题；





4



③

x4xxx4x



x2



x2



，是真命题；

32



④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；

⑤使代数式

x1

在实数范围内有意义，则

x10

，即

x1

，是真命题；

∴假命题的个数是2．

故选：C

【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次

根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

11.如图，正方形

ABCD

及其内切圆

O

，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概

率是（）

A.



4

B.

1



4

C.



8

D.

1



8

【答案】B

【解析】

【分析】设正方形的边长为

a

，则其内切圆的直径为

a

，分别求出正方形和阴影部分的面积，

再利用面积比求出概率，即可．

【详解】解：设正方形的边长为

a

，则其内切圆的直径为

a

，

∴其内切圆的半径为

a

2

，正方形的面积为

a

，

2

2

2



a







∴阴影部分的面积为

a













1





a

2

，



2



4









2

1





a

∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是





4





1





．

a

2

4

故选：B

【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．

12.如图，点

D

是



OABC

内一点，

AD

与

x

轴平行，

BD

与

y

轴平行，

BD3

，

BDC120

，

S

△

BCD



k

的值是（）

9

k

3

，若反比例函数

y





x

0



的图像经过

C

，

D

两点，则

x

2

A.

63

【答案】C

【解析】

B.

6

C.

123

D.

12

【分析】过点

C

作

CE

⊥

y

轴于点

E

，延长

BD

交

CE

于点

F

，可证明△

COE

≌△

ABE

（AAS），则

OE

=

BD

=

3

；由

S

△

BDC

=

2

•

BD

•

CF

=

1

9

3

可得

CF

=9，由∠

BDC

=120°，可知∠

CDF

=60°，所以

2

DF

=3

3

，所以点

D

的纵坐标为4

3

；设

C

（

m

，

3

），

D

（

m

+9，4

3

），则

k

=

3

m

=4

3

（

m

+9），

求出

m

的值即可求出

k

的值．

【详解】解：过点

C

作

CE

⊥

y

轴于点

E

，延长

BD

交

CE

于点

F

，

∵四边形

OABC

为平行四边形，

∴

AB

∥

OC

，

AB

=

OC

，

∴∠

COE

=∠

ABD

，

∵

BD

∥

y

轴，

∴∠

ADB

=90°，

∴△

COE

≌△

ABD

（AAS），

∴

OE

=

BD

=

3

，

∵

S

△

BDC

=

2

•

BD

•

CF

=

∴

CF

=9，

∵∠

BDC

=120°，

∴∠

CDF

=60°，

∴

DF

=3

3

．

1

9

3

，

2

∴点

D

的纵坐标为4

3

，

设

C

（

m

，

3

），

D

（

m

+9，4

3

），

∵反比例函数

y

=

k

（

x

＜0）的图像经过

C

、

D

两点，

x

∴

k

=

3

m

=4

3

（

m

+9），

∴

m

=-12，

∴

k

=-12

3

．

故选：C．

【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判定与性

质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．

二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的

横线上）

13.菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为_____．

【答案】5

【解析】

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可

得解．

【详解】如图，

∵四边形

ABCD

是菱形，

∴

OA



11

AC

＝4，

OB



BD

＝3，

AC

⊥

BD

，

22

∴

AB

OA

2

OB

2



5

故答案为5

【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记菱形的

各种性质是解题的关键．

14.如图，依据尺规作图的痕迹，求





的度数_________°．

【答案】60

【解析】

【分析】先根据矩形的性质得出

AB//CD

，故可得出∠

ABD

的度数，由角平分线的定义求出

∠

EBF

的度数，再由

EF

是线段

BD

的垂直平分线得出∠

EFB

、∠

BEF

的度数，进而可得出结论．

【详解】解：如图，

∵四边形

ABCD

为矩形，

∴

AB//CD

，

∴

ABDCDB60

，

由尺规作图可知，

BE

平分∠

ABD

，

∴

EBF

11

ABD

60



30



，

22

由尺规作图可知

EF

垂直平分

BD

，

∴∠

EFB

=90°，

∴

BEF90EBF60

，

∴∠

α

=∠

BEF

=60°．

故答案为：60°．

【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键

是熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的

垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

15.如图，在矩形

ABCD

中，

E

为

AD

上的点，

AEAB

，

BEDE

，则

tanBDE

______．

【答案】

21

##

12

【解析】

【详解】解：设

AB1

，



在矩形

ABCD

中，

E

为

AD

上的点，

AEAB

，

BEDE

，

EDBEAE

2

AB

2



ADAEED12

，



tan



BDE



2

，

AB

1



2



1

，

AD

1



2

故答案为：

21

．

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键．

16.在

RtABC

中，

C90

，有一个锐角为

60

，

AB6

，若点

P

在直线

．．

AB

上（不

与点

A

，

B

重合），且

PCB30

，则

AP

的长为_______．

【答案】

【解析】

【分析】分∠

ABC

=60、∠

ABC

=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．

【详解】解：当∠

ABC

=60°时，则∠

BAC

=30°，

∴

BC

∴

AC

9

或9或3

2

1

AB

3

，

2

AB

2

BC

2

33

，

当点

P

在线段

AB

上时，如图，

∵

PCB30

，

∴∠

BPC

=90°，即

PC

⊥

AB

，

∴

APAC

cos

BAC

33



当点

P

在

AB

的延长线上时，

∵

PCB30

，∠

PBC

=∠

PCB

+∠

CPB

，

∴∠

CPB

=30°，

∴∠

CPB

=∠

PCB

，

∴

PB

=

BC

=3，

∴

AP

=

AB

+

PB

=9；

当∠

ABC

=30°时，则∠

BAC

=60°，如图，

39



；

22

∴

AC

1

AB

3

，

2

∵

PCB30

，

∴∠

APC

=60°，

∴∠

ACP

=60°，

∴∠

APC

=∠

PAC

=∠

ACP

，

∴△

APC

为等边三角形，

∴

PA

=

AC

=3．

综上所述，

AP

的长为

9

或9或3．

2

故答案为：

9

或9或3

2

【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，

等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．

17.如图，

O

是

ABC

的外接圆，

AC

为直径，若

AB23

，

BC3

，点

P

从

B

点出

发，在

ABC

内运动且始终保持

CBPBAP

，当

C

，

P

两点距离最小时，动点

P

的运

动路径长为______．

【答案】

【解析】

3



.

3

【分析】根据题中的条件可先确定点

P

的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定

CP

的长

最小时点

P

的位置，进而求出点

P

的运动路径长．

【详解】解：

AC

为

O

的直径，





ABC



90.





ABP



PBC



90.

QPABPBC,





PAB



ABP



90.



∴



APB



90.

∴点

P

在以

AB

为直径的圆上运动，且在△

ABC

的内部，

如图，记以

AB

为直径的圆的圆心为

O

1

，连接

O

1

C

交

O

1

于点

P



，连接

O

1

P,CP.

QCPO

1

CO

1

P,

∴当点

O

1

,P,C

三点共线时，即点

P

在点

P



处时，

CP

有最小值，

∵

AB23

∴

O

1

B3

BC

3



3.

O

1

B

3

在

RtBCO

1

中，

tan



BO

1

C



∴∠

BO

1

C



60.



∴

BP





)

60





33





.

1803

3



.

3

∴

.C,P

两点距离最小时，点

P

的运动路径长为

【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点

P

的路径是解答本题的关键．

三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡

上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）



1



18.计算：

2



6



41



3sin60





．



2



【答案】

4

【解析】

【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算

即可求解．

【详解】解：原式＝

23



4



1



3



1





3



2

2

236232

4

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函

数值，负整数指数幂是解题的关键．



a



1



0



4



a



2



的

整数解中选择一19.先化简，再求值：



a







，请从不等式组



4

a



5

2

a



1

a







3

个合适的数求值．

【答案】

a

2

2a

，3

【解析】

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出

a

的值并

代入原式即可求出答案．

【详解】解：



a







4



a



2





a



a

2

a

2



4

a

2



aa



2

a



2



a



2





a

a

2

2a

，



a



1



0

①



，



4

a



5



3



1

②



解不等式①得：

a1

解不等式②得：

a2

，

∴

1a2

，

∵

a

为整数，

∴

a

取0，1，2，

∵

a0,a20

，

∴

a

=1，

当

a

=1时，原式

1

2

213

．

【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加

减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．

20.如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”

和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内．

a

2

a



2