工程数学练习题(附答案版).

2023年12月10日发(作者：高3的数学试卷)

（一）

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

a1. 设四阶行列式dDbabadcccccdb，则A11db2A21A31A41（ ）.

B.0 C.(abcd) D.(abcd)

2. 设A(aij)mn,Ax0仅有零解，则 （ ）

(A) A的行向量组线性无关; (B) A的行向量组线性相关;

(C) A的列向量组线性无关; (D) A的列向量组线性相关;

3. 设P(A)40.8，P(A|B)0.8，P(B)0.7，则下列结论正确的是（ ）.

P(A)P(B) A.事件A与B互不相容； B.AB； C.事件A与B互相独立；D.P(AB)4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张，其中没有K字牌的概率为（ ）.

55C48C4848548A.5 B. C. D.5C525555552

5. 复数z5(cosisin)的三角表示式为（ ）

554444A．5(cosisin) B．5(cosisin)

55554444C．5(cosisin) D．5(cosisin)

5555dzc(zi)n1等于（ ）

6. 设C为正向圆周｜z+1|=2,n为正整数，则积分A．1； B．2πi； C．0； D．二、填空题（每空3分，共18分）

1. 设A、B均为n阶方阵，且|T1

2iA|2,|B|3，则|2BA1| .

TT2. 设向量组11,1,1,21,2,1,32,3,t则当t 时,

1,2,3线性相关.

3. 甲、乙向同一目标射击，甲、乙分别击中目标概率为0.8， 0.4，则目标被击中的概率为

4. 已知E(X)1,D(X)3，则E3(X2)______.

5. 设f(t)是定义在实数域上的有界函数，且在t0处连续，则6. 函数F(s)2(t)f(t)dt .

5s1

的Laplace逆变换为f(t) .

(s1)(s2)三、计算题（每小题10分，共70分） 4231. 设A110, 而B满足关系式ABA2B,试求矩阵B.

123

x1x32．当为何值时,4x1x22x32无解,有解，并在有解时求出其解.

6xx4x232313、设在15只同类型的零件中有两只是次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X表示取出次品的只数，求X的分布律。

4(1)若设随机变量X的分布律

X -1 0 1 2

P 1/8 1/2 1/8 1/4

x0x1(2)若设随机变量X的概率密度f (x)=2x1x2,就情形（1）和（2）分别求E(X),D(X).

0其他5.已知调和函数

u(x,y)x2y22xy，求函数

v(x,y)，使函数

f(z)uiv

解析且满足

f(i)1i．6. 计算Idzcz3(z1)(z2)的值，其中C为正向圆周zr,r1,2.。

7.用拉氏变换解方程组：y3y3yy1,y(0)y(0)1,y(0)2.

（二）

一、选择题（每小题2分，共12分）

1. 设A为3阶方阵, 数2, |A| =3, 则|A| = （ ）

A．24; B．24; C．6; D．6.

2.

,,均为三维列向量，A(,,)，,,组成的向量组线性相关，|A|的值（ ）.

A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.无法确定

3. 设随机变量X的概率密度为

f(x)abx,0x1;130,其它. 且

P{X2}8，则有（ )；

. 111(A)a0,b2;(B)a1,b0;(C)a,b1;(D)a,b.

2224. 一射手向目标射击3 次，Ai：第i次击中(i1,2,3)，则3次至多2次击中目标表为( )：

(A)A1A2A3;(B)A1A2A3;(C)A1A2A3;(D)A1A2A3

5. 复数z(1cos)isin(0)的辐试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为abc=0

角为 （ ）

A．

 B． C． D．2

216. 设f(t)0A．t1 则其傅氏变换为 （ ）

t1sinsin C．22sin B．1 D．不存在

1二、填空题（每空格2分，共12分）

x1x2x301. 方程组的基础解系中向量的个数为

7x23x302. 设A351，则A

48223. .设某种产品的次品率为0.01，现从产品中任意抽取4个，则有1个次品的概率是_

4. 随机变量X与Y相互独立，E(X)E(Y),D(X)D(Y)，则E(XY)=

15. 设C为正向圆周|z－i|=,则积分3ezcz(z-i)dz=_____________。

6. 1的拉氏变换为______________________。

三、计算题或证明（每小题10分，共70分）

l1: ax2by3c0,1. 已知平面上三条不同直线的方程分别为l2: bx2cy3a0,

l3: cx2ay3b0.

11012216132. 设四维向量组1，2，3，4，5，求该向量组的秩及一个极大0112411015线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示

3. 据统计男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

4. 设事件A、B满足条件P(A)11 1,若A 发生，，P(B｜A)P(A｜B). 定义随机变量X、Y 如下：X

0,若A 不发生，42 1,若B 发生，Y求二维随机变量（X，Y）的联合分布律.

0,若B 不发生，

5.

求ux22xy-y2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1;

06. 求指数衰减函数f(t)te7.用拉氏变换求解微分方程

t0t0的Fourier变换及其积分表达式。

x(t)y(t)x(t)y(t)0

2x(t)y(t)x(t)y(t)sint

（一） 答案

x(0)y(0)0

x(0)y(0)1

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1. B 2.C 3. C 4. A 5.C 6. C

二、填空题（每空3分，共18分）

1.32n1； 2. 2 ； 3. 0.88； 4. 6； 5.f(0)； 6.2et3e2t

三、计算题或证明（每小题10分，共70分）

1．解：ABA2B，(A2E)BA，B(A2E)1A，

2212310003010001322891266，

93223410，11012112113861. 所以B(A2E)A29621292A2E1112. 解：AA|b46当1时，r(A)TT01112412002301012023，

13,~r(A)r(A)2，方程组有无穷多解，且其通解为r(A)2，线性方程组无解；当1时x1,1,0k1,2,1,k为任意常数 31221C13C2C1312C2C131223. 设X为“取出的次品数”，则P(X0)3

,P(X1)3,P(X2)3C1535C1535C15354 (1) E (X)=0.5, D(X)=1.875

(2 ) E (X)=1, D(X)=1/6.

5. 1、(1) 由

uv2x2yxy，有v(2x2y)dy2xyy2(x)，

由

uv2y2x2y(x)，有

(x)2x，

yx

(x)(2x)dxx2c，即得

v(x,y)2xyy2x2c，

f(z)x2y22xyi(2xyy2x2c)；(2) 由

f(i)1i



c0，

6.(1) 当0r1时，设f(z)1，则f(z)在C内解析，z0在C内，

(z1)(z2)z0I（2）当1r1dz2i13[]c(z1)(z2)z2!(z1)(z2)3i

42时，作互不相交，互不包含的圆周C1,C2,C3分别包围点0，－1，2，

2idzdz

33C23z(z1)(z2)z(z1)(z2)

IC1（3）当2r时，作互不相交，互不包含的圆周C1,C2,C3分别包围点0，－1，2，

IC1idzdzdzz3(z1)(z2)C2z3(z1)(z2)C3z3(z1)(z2)12

7. 在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得

S3Y(S)S2y(0)Sy(0)y(0)3(S2Y(S)Sy(0)y(0))

1

S1(S33S23S1)Y(S)12(S23S3)(S3)

S11(2S35S24S1)(2S1)(S1)2

SS3(SY(S)y(0))Y(S)即

Y(S)12S111

S(S1)SS1

故

y(t)L[Y(S)]et1

（二） 答案

一、选择题（每小题2分，共12分）

1. A 2. B 3. D 4. C 5. B 6. A

二、填空题（每空格2分，共12分）

1. 1；， 2.

2125 ， 3. 0.039 4．2 ，5.

4342; 6、1s(Res0)

三、计算题或证明（每小题10分，共70分）

1. 解：证明:必要性由l1,l2,l3交于一点得方程组有非零解

a2b3c故1bc所以R(A)R(A)b2c3a0(abc)1ca01ababc0充分性：c2a3babc0b(ac)a2bb2c2(acb2)2[ac(ac)2][a2c2(ac)2]0。

ax2by3c0R(A)R(A)2,因此方程组bx2cy3a0 有唯一解，即l1,l2,l3交于一点.

cx2ay3b02. 解：A(α1,α2,α3,α4,α5)

11001211011113212645r100012，

30，所以R(α1,α2,α3,α4,α5)3，α1,α2,α4为向量组α1,α2,α3,α4,α5的一个极大线性无关组，且α3α1α2α5α12α23α4. 3. 设A{任意挑选一人为男性}，B{患有色盲}，

已知

P(B|A)5%,P(B|A)0.25%,P(A)0.5，则有

P(A|B)P(A)P(B|A)0.55%0.9524

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.55%0.50.25%814. 解：(X,Y)的可能取值（0，0），（0，1）（1，0）（1，1）

P{X1,Y1}P(AB)P(A)P(BA)

P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB)P{X0,Y1}P(AB)18

1115P(AB)1P(AB)

P{X0,Y0}1

8888P(AB)85、ux2x2y，uy2x-2y，由C－R条件，有vyux,vx-uy，

vvxdy(2x2y)dy2xyy2(x)。

再由vx2y\'(x)-2x2y-uy，得\'(x)-2x，(x)-x2C

v2xyy2-x2C。v(0,0)1,得C＝1。v2xyy2-x21

6.

F()tdtf(t)eje(j)t1j0dtj22

f(t)12F()ejtd1jjt222ed

12costsint1cos22dtsint022d(t0)

7. 令X(s)[x(t)],Y(s)[y(t)]，对方程两边取拉氏变换得：

s2X(s)1s2Y(s)1X(s)Y(s)02s2X(s)221

sY(s)1X(s)Y(s)s21原方程的解为x(t)y(t)sint

X(s)Y(s)1s21