2023年12月9日发(作者：南艺附中数学试卷分析报告)

高等数学公式

(tgx)secx(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna(logax)1xlna2(arcsinx)11x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2seccos2xxdxtgxCdx2cscsin2xxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2n导数公式：

x2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22基本积分表：

三角函数的有理式积分：

一些初等函数：两个重要极限：

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

sin cos tg ctg

角A

-α -sicos-tg-ctnα α α gα

90°-cossinctgtgα α α α α

90°+cos-si-ct-tgα α nα gα α

180°sin-co-tg-ct-α α sα α gα

180°-si-cotgctg+α nα sα α α

270°-co-sictgtg-α sα nα α α

270°-cosin-ct-tg+α sα α gα α 360°-α

360°+α

-sicos-tg-ctnα α α gα

sincostgctgα α α α

sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1tgtgctg()ctgctg1ctgctgsinsin2sin2cos2sinsin2cos2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2sin2·和差角公式：·和差化积公式： ·倍角公式：

·半角公式：

·正弦定理：abc2R·余弦定理：c2a2b22abcosC

sinAsinBsinC·反三角函数性质：arcsinxarccosx　　　arctgxarcctgx

22高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

中值定理与导数应用：

曲率：

定积分的近似计算：

定积分应用相关公式：

空间解析几何和向量代数：

多元函数微分法及应用

微分法在几何上的应用：

x(t)xxyy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t)(t)(t0)00z(t)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T{,,GGGxGGG(x,y,z)0yzzx曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)FyGy}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0方向导数与梯度： fff函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)ffijxyf它与方向导数的关系是：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：

重积分及其应用：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf(x,y)的面积ADzz1ydxdyx22平面薄片的重心：xMxMx(x,y)dD(x,y)dDD,　　yMyMy(x,y)dD(x,y)dDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,　　对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：FxfD(x,y)xd(xya)2222，　　Fyf3D(x,y)yd(xya)2222，　　Fzfa3D(x,y)xd(xya)22322柱面坐标和球面坐标： xrcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,yrsin,　　　zz其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐标：yrsinsin，　　dvrdrsinddrrsindrddzrcos2r(,)f(x,y,z)dxdydzF(r,,)r2sindrdddd00F(r,,)r02sindr重心：x1Mxdv,　　y1Mydv,　　z1Mzdv，　　其中Mxdv转动惯量：Ix(y2z2)dv，　　Iy(x2z2)dv，　　Iz(x2y2)dv曲线积分：

曲面积分：

22对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1z(x,y)zxy(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，其中：R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；DxyP(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式： (PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dsxyz高斯公式的物理意义——通量与散度：PQR散度：div,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失...xyz通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

常数项级数：

级数审敛法：

交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理：unun1如果交错级数满足su1,其余项rn的绝对值rnun1。limu0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛：

幂级数：

1x1时，收敛于1x1xx2x3xn　　x1时，发散对于级数(3)a0a1x　a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定10时，R求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则0时，Rnan时，R0函数展开成幂级数： f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n!f(n1)()余项：Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxx2!n!一些函数展开成幂级数：

欧拉公式：

三角级数：

傅立叶级数：

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyyf(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

二阶微分方程：

全微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

两个不相等实根(p24q0)

两个相等实根(p24q0)

(*)式的通解

一对共轭复根(p24q0)

二阶常系数非齐次线性微分方程


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