2007年安徽高考数学理科试卷及答案

2023年12月3日发(作者：国家高考数学试卷类型分析)

页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P（A+B）=PA．+PB． S=4лR2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P（A·B）=PA．+PB． 球的体积公式

1+2+…+n12+22+…+n2=n(n1)43 V=R

23n(n1)(2n1) 其中R表示球的半径

6n2(n1)21+2++n=

4333第Ⅰ卷（选择题 共55分）

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为

A．f(x)x,x0, B．f(x)x3,x,

3C．f(x)e,x(,) D．f(x)x1,x(0,)

x2．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“l”是lm且“ln”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是

A．a＜-1 B．a≤1 C．

a＜1 D．a≥1

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹 页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

4．若a为实数，2ai12i＝-2i，则a等于

A．2 B．—2 C．22 D．—22

5．若Ax222x8，BxRlog2x1，则A(CRB)的元素个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

6．函数f(x)3sin(2xπ)的图象为C，

311对称；

12①图象C关于直线x②函灶f(x)在区间(π5π,)内是增函数；

1212π个单位长度可以得3到图象C.

③由y3sin2x的图象向右平移以上三个论断中，正确论断的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

2xy20227．如果点P在平面区域x2y10上，点Q在曲线x(y2)1上，那么PQ 的xy20最小值为

A．51 B．451 C．221 D．21

8．半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为

A．arccos(3)

3 B．arccos(6)

3

C．arccos() D．arccos()

1314x2r29．如图，F1和F2分别是双曲线221(a0,b0)的两个焦点，A和B是以O为ab学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹 页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为

A．3 B．5 C．5

2 D．13

10．以(x)表示标准正态总体在区间（,x）内取值的概率，若随机变量服从正态分布N(,)，则概率P()等于

A．()-()

C．(B．(1)(1)

D．2()

2

1)

11．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)0在闭区间T,T上的根的个数记为n，则n可能为

A．0 B．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。

12．若（2x3+ C．3 D．5

1x）n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于 。

13．在四面体O-ABC中，ABa,OBb,OCc,D为BC的中点，E为AD的中点，则OE= （用a，b，c表示）。

14．如图，抛物线y=--x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，…，Pn-1，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1， △Q2P1P2，…， △Qn-1Pn-1Pn-1，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 。

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15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）。

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体。

三、解答题：本大题共6小题，共79分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知0＜a＜482cos2sin2()a，2），且a·b=m。求的值。

cossin

17．（本小题满分14分）

,为f(x)cos(2x)的最小正周期，a(tan(a1（cos

),1),b=4如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2。

（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；

（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；

（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值圾示）。

18．（本小题满分14分）

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设a≥0，f （x）=x－1－ln2

x＋2a ln x（x>0）。

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0，＋∞）内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1。

19．（本小题满分12分）

如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）。以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B。直线AB与x轴相交于点C。

（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；

（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值。

20．（本小题满分13分）

在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔。以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数。

（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；

（Ⅱ）求数学期望Eξ；

（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）。

21．（本小题满分14分）

某国采用养老储备金制度。公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金－－就变为a1（1＋r）n1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。

（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；

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（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列。

2007年安徽高考数学（理科）参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分55分。

1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．C 7．A 8．C 9．D 10．B

11．D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

12．7 13．1111abc 14．

3244三、解答题

16．（本小题满分12分）

15．①③④⑤

本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力.本小题满分12分。

解：因为为f(x)cos(2xπ)的最小正周期，故π

81)2，

4因a·b=m，又a·b＝cosatan(a学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹 页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

故cosatan(a1)m2.

4π，所以

4由于0a2cos2sin2(a)2cos2sin(22π)

cossincossin2cos2sin22cos(cossin)=

cossincossin=2cos1tanπ2costan()2(2m)

1tan417．（本小题满分14分）

解法1（向量法）：

以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz如图，则有

A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).

（Ⅰ）证明：A1C1(1,1,0),AC(2,2,0),

D1B1(1,1,0),DB(2,2,0),

AC2A1C1,DB2D1B1.

AC与A1C1平行，DB与D1B1平行，于是A1C1与AC共面，B1D1与BD共面.

（Ⅱ）证明：DD1AC

＝（0，0，2）（2，2，0）＝0，DBAC＝（2，2，0）（2，2，0）＝0，

DD1AC，DBAC.

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内的两条相交直线，

DD1与DB是平面B1BDD1，AC平面B1BDD1.

又平面A1ACC1过AC，

平面A1ACC1平面B1BDD1.

（Ⅲ）解：AA1＝（1，0，2），BB1＝（1，1，2），CC1＝（0，1，2）.

设n(x1,y1,z1)为平面A1ABB1的法向量，

nAA1x12z10,nBB1x1y12z10,

于是y10,取z11,则z12,n(2,0,1).

设m(x2,y2,z2)为平面B1BCC1的法向量，

mBB1x2y22z20,mCC1y22z20.

于是x20,取z21,则y22,m(0,2,1).

cosm,nmn1

mn51二面角ABB1C的大小为πarccos

5解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：D1D平面A1B1C1D1,D1D平面ABCD，

D1DDA，D1DDC,平面A1B1C1D1∥平面ABCD.

于是C1D1∥CD，D1A1∥DA.

设E，F分别为DA，DC的中点，连结EF，A1E,C1F,

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有A1E∥D1D,C1F∥D1D,DE1,DF1.

∴A1E∥C1F,

于是A1C1∥EF.

由DE=DF=1,得EF∥AC，

故A1C1∥AC,

A1C1与AC共面.

过点B1作B1O平面ABCD于点O，则B1O // A1E,B1O // C1F.连结OE，OF，

OEOF. 于是OE // B1A1，OF // B1C1，B1A1A1D1,OEAD.

B1C1C1D1,OFCD.

所以点O在BD上，故D1B1与DB共面.

D1DAC, （Ⅱ）证明：D1D平面ABCD，又BD⊥AC（正方形的对角线互相垂直），

D1D与BD是平面B1BDD1内的两条相交直线，

AC平面B1BDD1.

平面A1ACC1平面B1BDD1, 又平面A1ACC1过AC，（Ⅲ）解：∵直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影，ACDB,

根据三垂线定理，有AC⊥B1B.

过点A在平面ABB1A1内作AMB1B于M，连结MC,MO,

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则B1B平面AMC，

于是B1BMC，B1BMO，

所以，∠AMC是二面角AB1BC的一个平面角.

根据勾股定理，有

A1A5,C1C5,B1B6.

OMB1B,有

OM＝B1OOB2,BMB1B321010,AM,CM,

333AM2CM2AC21cosAMC,

2AMCM51AMCπarccos,

5二面角ABB1C的大小为πarccos

18．（本小题满分14分）

本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力，本小题满分14分.

（Ⅰ）解：根据求导法则得f(x)1152Inx2a,x0.

xx故F(x)xf(x)x2Inx2a,x0,

于是F(x)12x2,x0.

xx列表如下：

x

F′（x）

F（x）

（0,2）

-

↓

2

0

极小值F（2）

（2,+∞）

+

↑

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故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F（2）＝2-2In2+2a.

（Ⅱ）证明：由a0知，F(x)的极小值F(2)2In22a0.

于是由上表知，对一切x(0,),恒有F(x)xf(x)0.

从而当x0时，恒有f(x)0,故f(x)在（0,）内单调增加.

所以当x1时，f(x)f(1)0,即x1Inx2aInx0.

22故当x1时，恒有xInx2aInx1.

19．（本小题满分12分）

本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.本小题满分12分.

解：

（Ⅰ）由题意知，A（a,2a）

因为OAt,所以a2at

22由于t0,故有ta22a.(1)

由点B（0，t）C（c,0）的坐标知，直线BC的方程为

xy1.

ct又因点A在直线BC上，故有

ac2a1,

t将（1）代入上式，得

a2a1,

ca(a2)解得ca22(a2).

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（Ⅱ）因为D(a2,2(a2)),所以直线CD的斜率为

kCD2(a2)2(a2)a2ca2(a22(a2))所以直线CD的斜率为定值.

20．（本小题满分13分）

2(a2)2(a2)1,

本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.

解：

（1）的分布列为

（Ⅱ）数学期望为E＝2(162534)2.

28（Ⅲ）所求的概率

P(E)P(2)

5432115.

282821．（本小题满分14分）

本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.

解：

（Ⅰ）我们有TnTn1(1r)an(n2).

（Ⅱ）T1a1,对n2反复使用上述关系式，得

TnTn1(1r)anTn2(1r)2aa1(1r)an

＝a1(1r)a1a2(1r)a2an1(1r)an. ①

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在①式两端同乘1+r，得

(1r)Tna1(1r)aa2(1r)n1an1(1r)2an(1r).

②-①，得

②

rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)an

＝d(1r)n1ra1(1r)nan,

r即Tna1rda1rddn

(1r)n22rrr如果记Ana1rda1rddn(1r),Bn,

nrr2r2则TnAnBn,

其中An是以a1rd(1r)为首项，以1r(r0)为公比的等比数列;Bn是以

2ra1rddd为首项，为公差的等差数列。

r2rr学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹 页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

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卖炭翁 白居易(唐)

字乐天 号香山居士

卖炭翁，伐薪烧炭南山中。满面尘灰烟火色，两鬓苍苍十指黑。卖炭得钱何所营?身上衣裳口中食。可怜身上衣正单，心忧炭贱愿天寒。夜来城外一尺雪，晓驾炭车碾冰辙。牛困人饥日以高，市南门外泥中歇。

翩翩两骑(jì)来是谁?黄衣使者白衫儿。手把文书口称敕，回车叱牛牵向北。一车炭，千余斤，宫使驱将(jiāng)惜不得。半匹红绡一丈绫，系(jì)向牛头充炭直(值)。

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹