数学高考试题含答案解析

2023年12月3日发(作者：中专清考数学试卷分析报告)

数学高考试题含答案解析一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合A{1,2,3,6},B{x|2x3},则AB=________▲________.【答案】1,2【解析】试题分析：AB{1,2,3,6}{x|2x3}{1,2}考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.2.复数z(12i)(3i),其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.【答案】5【解析】试题分析：z(12i)(3i)55i，故z的实部是5考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,(a,b,c.dR).其次要熟悉复数相关基本概念，如复数abi(a,bR)的实部为a、虚部为b、模为ab、共轭为abi.22x2y23.在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是________▲________.73【答案】210考点：双曲线性质【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，明确双曲线标准方程x2y2中量所对应关系是解题关键：221(a0,b0)揭示焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为abbca2b22c2ab，渐近线方程为yx，离心率为aaa22第1页共21页4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.【答案】0.1【解析】试题分析：这组数据的平均数为S21(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1．故答案应填：0.1，51(4.74.85.15.45.5)5.1，5考点：方差【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.5.函数y=3-2x-x的定义域是【答案】3,12▲.考点：函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲.【答案】9【解析】试题分析：第一次循环：a5,b7，第二次循环：a9,b5，此时ab循环结束a9，故答案应填：9考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选第2页共21页择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.5【答案】.6考点：古典概型概率【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.28.已知{an}是等差数列，{Sn}是其前n项和.若a1a23,S5=10，则a9的值是▲.【答案】20.【解析】由S510得a32，因此22d(2d)23d3,a923620.考点：等差数列性质【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如Snn(a1an)n(amat),(mt1n,m、t、nN*)及等差数列广义通项公式anam(nm)d.22▲.9.定义在区间[0,3]上的函数ysin2x的图象与ycosx的图象的交点个数是【答案】7【解析】由sin2xcosxcosx0或sinx考点：三角函数图像13551317，因为x[0,3]，所以x,,,,,,,共7个22226666【名师点睛】求函数图像交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图像，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其明确增长幅度.x2y2b10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆221(a＞b＞0)的右焦点，直线y与椭圆交于B,Cab2两点，且BFC90,则该椭圆的离心率是▲.第3页共21页【答案】63考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出a,c，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求a,c的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于a,c的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.xa,1x0,11.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1,1)上，f(x)25x,0x1,其中aR.若f()f()，则f(5a)的值是【答案】5292▲.2551911123【解析】f()f()f()f()aa，2222225532因此f(5a)f(3)f(1)f(1)155考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.x2y4012.已知实数x,y满足2xy20，则x2y2的取值范围是3xy304【答案】[,13]5▲.考点：线性规划第4页共21页【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.13.如图，在ABC中，D是BC的中点，E,F是A,D上的两个三等分点，BCCA4，BFCF1，则BECE的值是▲.【答案】784AO2BC236FO2BC24FO2BC2【解析】因为BACA4,BFCF1,444252134EO2BC216FO2BC27因此FO,BC，BECE82448考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的4AO2BC2平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：BACA414.在锐角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是【答案】8.▲.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC中恒有tanAtanBtanCtanAtanBtanC，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演第5页共21页算步骤.）15.（本小题满分14分）在△ABC中，AC=6，cosB=（1）求AB的长；（2）求cos(A-π)的值.64π，C=.54【答案】（1）52(2)【解析】72620试题分析：（1）利用同角三角函数关系求sinB=ACsinC3，再利用正弦定理求AB5sinB6352252.(2)利用诱导公式及两角和余弦公式分别求sinAsin(BC)式求cos(A722,cosAcos(BC)，最后根据两角差余弦公1010726)，注意开方时正负取舍.620434试题解析：解（1）因为cosB,0B,所以sinB1cos2B1()2,555ACsinCACAB，所以ABsinBsinBsinC6352252.由正弦定理知考点：同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，第6页共21页A1C1A1B1.求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.【答案】（1）详见解析（2）详见解析考点：直线与直线、平面与平面位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.第7页共21页(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高PO1的四倍.（1）若AB6m,PO12m,则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）PO123第8页共21页考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应数学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2y212x14y600及其上一点A(2,4)（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点，且BCOA,求直线l的方程；（3）设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得TATPTQ,,求实数t的取值范围。第9页共21页【答案】（1）(x6)2(y1)21（2）l:y2x5或y2x15（3）2221t2221(2)因为直线l||OA，所以直线l的斜率为402.20设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离d267m5m55.因为BCOA22224225,2BC而MCd,2m5所以25525，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.第10页共21页考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P为主元，揭示P在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.19.（本小题满分16分）已知函数f(x)axbx(a0,b0,a1,b1).设a2,b1.2（1）求方程f(x)2的根;（2）若对任意xR,不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求实数m的最大值；1，函数gxfx2有且只有1个零点，求ab的值。（3）若0a1,b＞【答案】（1）①0②4（2）1【解析】第11页共21页第12页共21页考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.20.（本小题满分16分）100.对数列annN记U1,2,…，*和U的子集T，若T,定义ST0;若Tt1,t2,…，tk，*定义STat1at2…+atk.例如：T=1,3,66时，STa1a3+a66.现设annN是公比为3的等第13页共21页比数列，且当T=2,4时，ST=30.（1）求数列an的通项公式；k，求证：STak1；（2）对任意正整数k1k100，若T1,2,…，（3）设CU,DU,SCSD,求证：SCSCD2SD.【答案】（1）an3n1（2）详见解析（3）详见解析【解析】（2）因为T{1,2,,k}，an3n10,nN*，k1所以Sra1a2ak133因此，Srak1.1k(31)3k.2第14页共21页考点：等比数列的通项公式、求和【名师点睛】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析第15页共21页考点：相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）11211已知矩阵A2，求矩阵AB.,矩阵B的逆矩阵B=020251【答案】401【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆：B1014，再根据矩阵运算求矩阵AB.1211ab10ab1试题解析：解：设B201，，则BBcdcd02第16页共21页考点：逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：d|A|ab1AAccd|A|b|A|abe,(|A|adbc0)gcda，|A|faebghcedgafbh类似求矩阵特征值及特cfdh，征向量也是如此.C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）1x1t2在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数3yt2xcos,方程为（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.y2sin【答案】167第17页共21页考点：直线与椭圆参数方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．D.【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设a＞0，|x-1|＜【答案】详见解析试题分析：利用含绝对值的三角不等式|a＋b|≤|a|＋|b|进行放缩证明试题解析：证明：因为|x1|aa，|y-2|＜，求证：|2x+y-4|＜a.33aa,|y2|33aaa.33所以|2xy4||2(x1)(y2)|2|x1||y2|2考点：含绝对值的不等式证明【名师点睛】利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、．．．．．．．．．．．．证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:xy20，抛物线C:y22px(p0)（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；第18页共21页（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2p,p).；②求p的取值范围.【答案】（1）y8x（2）①详见解析，②(0,)243（2）设P(x1,y1),Q(x2,y2)，线段PQ的中点M(x0,y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.y22px①由消去x得y22py2pb0(*)yxb因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2,从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程（*）的两根为y1,2pp22pb，从而y0y1y2p.2因为M(x0,y0)在直线l上，所以x02p.因此，线段PQ的中点坐标为(2p,p).②因为M(2p,p).在直线yxb上所以p(2p)b，即b22p.第19页共21页4由①知p2b0，于是p2(22p)0，所以p.34因此p的取值范围为(0,).3考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．23.（本小题满分10分）4（1）求7C36–4C7的值；（2）设m，nN*，n≥m，求证：mmmmm+2（m+1）Cmm+（m+2）Cm+1+（m+3）Cm+2+…+nCn–1+（n+1）Cn=（m+1）Cn+2.【答案】（1）0（2）详见解析第20页共21页考点：组合数及其性质【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考1mkm查运用算两次解决二项式有关模型.组合数性质不仅有课本上介绍的CkmCkm1Ckm，更有1、Ck=Ckkk1mm1kCnnCn1，现在又有(k1)Ck(m1)Ck1,(km,m1,,n)，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.第21页共21页