多元向量函数的中值定理及应用

2023年12月24日发(作者：2023浙江高考数学试卷难吗)

多元向量函数的中值定理及应用

黄永忠;刘继成

【摘 要】中值定理是可微函数的重要性质,是证明某些等式和不等式的重要工具,而等式形式的向量函数的微分中值定理一般是不成立的,通常只能得到微分中值不等式.本文从一元函数的Newton-Leibniz公式出发,证明了一个多元向量函数等式形式的积分型中值定理.该定理揭示了多元向量函数等式形式的微分中值定理不成立的原因,也蕴含了微分中值不等式.

【期刊名称】《大学数学》

【年(卷),期】2016(032)004

【总页数】6页(P97-102)

【关键词】多元向量函数;积分型中值定理;微分中值不等式

【作 者】黄永忠;刘继成

【作者单位】华中科技大学数学与统计学院,武汉430074;华中科技大学数学与统计学院,武汉430074

【正文语种】中 文

【中图分类】O172.2

通用的数学分析教材在涉及多元向量函数时，只给出了微分中值不等式，例如文献[1]下册P 333定理23.14和文献[2]下册P 104定理16.2.3.特别地，文献[2]下册P 105说明了对于取值维数n≥2的向量函数只能得到微分中值不等式，而不能如数量函数那样得到等式形式的微分中值定理，并且给出下面的反例.

例1 考虑定义在R2上的二维向量函数

关于多元向量函数的中值定理除教材[1]中形式(即本文后面的定理6和推论7)外，文献[3]得到相应的Rolle中值定理，文献[4]-[5]研究了一元向量函数的中值定理.文献[4]，对区间[a,b]上的可微函数r:[a,b]→Rn，得到一定条件下存在ξ∈(a,b)使得r′(ξ)//r(b)-r(a)的结论, 此时n=2. 文献[5]得到：存在ξ∈(a,b)使得

对n>3，得到n=3时的类似形式(高阶导数型).本论文研究思路与现有文献都不相同.

本文将从一元函数的Newton-Leibniz公式出发，证明一个多元向量函数等式形式的积分型中值定理.我们也将用此定理解释多元向量函数等式形式的微分中值定理不成立的原因，作为推论得到了微分中值不等式.

首先叙述下面一元函数的Lagrange微分中值定理(参见文献[1]上册P 123定理6.2).

定理1 设函数F(t)在闭区间[a,x]上连续，在(a,x)上可导，则存在一点ξ∈(a,x)，使

在定理1中，若进一步要求导函数局部可积，则有下面形式的Newton-Leibniz公式，其证明用了Lagrange微分中值定理，参见文献[1]上册P206定理9.1和P207注2.

定理2 设函数F(t)在闭区间[a,x]上连续，在(a,x)上可导.若导函数F′(t)在(a,x)的所有闭子集上可积，则对每个c∈(a,x),极限和存在.记

证 由假设，对每个c∈(a,x)和所有的u∈(a,c]，F′(t)在[u,c]可积.由文献[1]上册P206定理9.1和P 207注2，有

定理3 设函数F(t)在(a,x)可导，导函数F′(t)在(a,x)的所有闭子集上可积，且存在c∈(a,x)，使极限和存在.记

证 由推广的确界原理(参见文献[1]上册P9)，记F′(t)及(t)，则对所有的ε>0，有

注1 设函数F(t)在闭区间[a,x]上连续，在(a,x)上可导.再假设a为F′(t)的瑕点，即F′(t)在a的任一右邻域上无界，但对任意的ε>0，F′(t)在[a-ε,x]有界、可积.定理2表明瑕积分

例2 设

注2 条件“设函数F(t)在闭区间[a,x]上连续，在(a,x)上可导”并不蕴含导函数F′(t)在(a,x)的所有闭子集上可积.因为Riemann可积要求函数是Lebesgue测度下几乎处处连续的(参见文献[10] P57 Theorem1.7.1和 P59 Problems 3，或者文献[9]P311 的定理)，但存在满足上述条件却在正Lebesgue测度集上间断的例子(参见[11]P115例35)，因此不是Riemann可积的.

注3 积分型中值定理增加了导函数F′(t)可积性的要求，因此积分型中值定理的条件比微分中值定理条件更强.但是，如果将定理中的Riemann积分换为Lebesgue积分，则积分型中值定理中对函数F(t)的要求可以减弱为F(t)绝对连续函数，其不要求F(t)在(a,x)上每点都有导数，参见文献[11]P178定理6.9.

对于多元函数情形，我们可以通过构造一个一元实值函数，利用一元函数的中值定理来得到多元函数的中值定理，具体如下.

定理4 设S是Rm中的凸区域，F是定义在S上的可微m元函数.则对任意两点x,y∈S，存在,使

证 考察辅助函数

例2 设F(x,y)=xey, 则DF(x,y)=(ey,xey)，且

对于多元向量函数情形，我们自然可以对每个分量得到相应的中值定理.但是，对于所有分量却只能得到积分型中值定理，一般不能得到等式的微分中值定理，具体结论如下.

定理5 设S是Rm中的凸区域， Φ是定义在S上的可微m元n维向量函数.对任意两点x,y∈S，若DΦ(y+θ(x-y))关于θ在(0，1)的所有闭子集上可积，则

证 对于Φ的第i个分量φi，1≤i≤n，应用定理4的结论得

例1′ 再看例1，注意到

注4 对于分量φi，i≤i≤n，用定理4的微分中值定理，则存在，使

定理6 设S是Rm中的凸区域，Φ是定义在S上的可微m元n维向量函数，则对任意两点x,y∈S，以及n维常向量α，存在∈(0,1)使得

证 考察辅助函数

由定理1知，存在，使

在定理6中取α=Φ(x)-Φ(y)，由Cauchy不等式以及矩阵范数与向量范数的相容性立得下面的微分中值不等式, 参见文献[1]下册P333定理23.14，或者文献[2]下册P104定理16.2.3，以及文献[10] P57 Theorem 2.5.3.

推论7 设S是Rm中的凸区域，Φ是定义在S上并且可微的m元n维向量函数，则对任意两点x,y∈S，存在∈(0,1)有

注5 若在推论7中增加要求DΦ(y+τ(x-y))关于τ在(0,1)的所有闭子集上可积，则由定理5及矩阵范数与向量范数的相容性可得推论7的结论.