2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)

2023年12月3日发(作者：湛江市初一作业数学试卷)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积VSh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合A{1,0,1,2},B{0,2,3}，则AB_____.2.已知i是虚数单位，则复数z(1i)(2i)的实部是_____.3.已知一组数据4,2a,3a,5,6的平均数为4，则a的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为2，则输入x的值是_____.x2y256.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心a52率是____.7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， fxx3，则f(-8)的值是____.8.已知sin(222)=，则sin2的值是____.349.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.ππ﹢)的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是10.将函数y=3sin(2x46____.11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和Snn2n2n1(nN)，则d+q的值是_______．12.已知5x2y2y41(x,yR)，则x2y2的最小值是_______．13.在△ABC中，AB4，AC3，∠BAC=90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3PAmPB(m)PC（m为常数），则CD的长度是________．214.在平面直角坐标系xOy中，已知P(1232A，B是圆C：x(y)36上的两个动点，满足PAPB，，0)，22则△PAB面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a3,c2,B45．（1）求sinC的值；4（2）在边BC上取一点D，使得cosADC，求tanDAC的值．517.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，OO为铅垂线(O在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1之间满足关系式h212a；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO的距离b(米)4013b6b.已知点B到OO的距离为40米.800（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价最低?3k(万元)(k>0).问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价2x2y218.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在43第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．19.已知关于x的函数yf(x),yg(x)与h(x)kxb(k,bR)在区间D上恒有f(x)h(x)g(x)．)，求h(x)的表达式；（1）若fxx22x，gx x22x，D(，)，求k的取值范围；（2）若f(x) x2x1，g(x) klnx，h(x) kxk,D (0，42224t2(0 t≤2)，D m, n2,2，（3）若f(x) x2x，g(x) 4x8 ，h(x) 4ttx 3t 2求证：nm7．20.已知数列an(nN)的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有*Sn1Snan1成立，则称此数列为“λ–k”数列．1k1k1k（1）若等差数列an是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列an是“32”数列，且an＞0，求数列an的通项公式；3（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列an为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]a121.平面上点A(2,1)在矩阵M对应的变换作用下得到点B(3,4)．1b（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵M1．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]ππ22.在极坐标系中，已知点A(1,)在直线l:cos2上，点B(2,)在圆C:4sin上（其中0，36．02）（1）求1，2的值（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．C．[选修4-5：不等式选讲]23.设xR，解不等式2|x1||x|4．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答．．．．．．．时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=1BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．425.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积VSh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合A{1,0,1,2},B{0,2,3}，则AB_____.【答案】0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵A1,0,1,2,B0,2,3∴AIB0,2故答案为：0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2.已知i是虚数单位，则复数z(1i)(2i)的实部是_____.【答案】3【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】∵复数z1i2i∴z2i2ii23i∴复数的实部为3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3.已知一组数据4,2a,3a,5,6的平均数为4，则a的值是_____.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据4,2a,3a,5,6的平均数为4∴42a3a5620，即a2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为6636个.点数和为5的基本事件有1,4，4,1，2,3，3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为P1941.369故答案为：1.9【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为2，则输入x的值是_____.【答案】3【解析】【分析】根据指数函数的性质，判断出yx1，由此求得x的值.【详解】由于2x0，所以yx12，解得x3.故答案为：3【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.x2y256.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心a52率是____.【答案】【解析】【分析】根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.32x2y25b5【详解】双曲线21，故b5.由于双曲线的一条渐近线方程为yx，即a2，a52a2所以ca2b2453，所以双曲线的离心率为3223c3.a2故答案为：【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， fxx【答案】4【解析】，则f(-8)的值是____.【分析】先求f(8)，再根据奇函数求f(8)【详解】f(8)834，因为f(x)为奇函数，所以f(8)f(8)4故答案为：4【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知sin(【答案】【解析】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】Qsin2(22132)=，则sin2的值是____.34221)(cossin)2(1sin2)4222121(1sin2)sin22331故答案为：3【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】123【解析】【分析】2先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为63222=1234圆柱体积为()212222所求几何体体积为123故答案为：1232【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.ππ﹢)的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是10.将函数y=3sin(2x46____.【答案】x【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.524)]3sin(2x)64127k2xk(kZ)x(kZ)1222425当k1时x245故答案为：x24【详解】y3sin[2(x【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和Snn2n2n1(nN)，则d+q的值是_______．【答案】4【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前n项和公式的特点，分别求得an,bn的公差和公比，由此求得dq.【详解】设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，根据题意q1.等差数列an的前n项和公式为Pnna1nn12dd2dna1n，22等比数列bn的前n项和公式为Qnb11qn1qb1nbq1，1q1q依题意SnPnQn，即nn212nbbd2dna1n1qn1，221q1qd21ad112通过对比系数可知q2b111q故答案为：4d2a01，故dq4.q2b11【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，属于中档题.12.已知5x2y2y41(x,yR)，则x【答案】【解析】【分析】1y41y414y2222y2+根据题设条件可得x，可得xy，利用基本不等式即可求解.55y25y25y2224【详解】∵5xyy12y2的最小值是_______．451y4∴y0且x5y2214y23211y414y214y2422x,y时取等号.y+2∴xy，当且仅当，即255y102555y25y25y2522∴x2y2的最小值为4.54.5故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13.在△ABC中，AB4，AC3，∠BAC=90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3PAmPB(m)PC（m为常数），则CD的长度是________．2【答案】【解析】【分析】185根据题设条件可设PAPD0，结合PAmPBmPC与B,D,C三点共线，可求得，再根据2勾股定理求出BC，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵A,D,P三点共线，PAPD∴可设0，3∵PAmPBmPC，233m2，∴PDmPBmPC，即mPCPDPB23若m0且m3，则B,D,C三点共线，23，23m∴m21，即∵AP9，∴AD3，∵AB4,AC3,BAC90，∴BC5，设CDx，CDA，则BD5x，BDA.AD2BD2AB25x7AD2CD2AC2x，cos∴根据余弦定理可得cos，2ADBD65x2ADCD62∵coscos0，18x5x70，解得x∴，665x5∴CD的长度为218.53PC，C,D重合，此时CD的长度为0，2当m0时，PA33当m时，PAPB，B,D重合，此时PA12，不合题意，舍去.2218故答案为：0或.5【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出PAPD0．14.在平面直角坐标系xOy中，已知P(1232A，B是圆C：x(y)36上的两个动点，满足PAPB，，0)，22则△PAB面积的最大值是__________．【答案】105【解析】【分析】根据条件得PCAB,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.【详解】QPAPBPCAB设圆心C到直线AB距离为d，则|AB|=236d2,|PC|所以SVPAB311441236d2(d1)(36d2)(d1)22令y(36d2)(d1)2(0d6)y2(d1)(2d2d36)0d4（负值舍去）当0d4时，y0；当4d6时，y0，因此当d4时，y取最大值，即SPAB取最大值为105，故答案为：105【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）通过证明EF//AB1，来证得EF//平面AB1C1.（2）通过证明AB平面AB1C，来证得平面AB1C平面ABB1.【详解】（1）由于E,F分别是AC,B1C的中点，所以EF//AB1.由于EF平面AB1C1,AB1平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.（2）由于B1C平面ABC，ABÌ平面ABC，所以B1CAB.由于ABAC,ACB1CC，所以AB平面AB1C,由于ABÌ平面ABB1，所以平面AB1C平面ABB1.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a3,c2,B45．（1）求sinC的值；4（2）在边BC上取一点D，使得cosADC，求tanDAC的值．5【答案】（1）sinC【解析】【分析】25；（2）tanDAC.115（1）利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC.（2）根据cosADC的值，求得sinADC的值，由（1）求得cosC的值，从而求得sinDAC,cosDAC的值，进而求得tanDAC的值.【详解】（1）由余弦定理得b2a2c22accosB9223225，所以b5.2由正弦定理得cbcsinB5.sinCsinCsinBb5342（2）由于cosADC，ADC,，所以sinADC1cosADC.552由于ADC,，所以C0,，所以cosC1sin2C25225.所以sinDACsinDACsinADCC3254525.sinADCcosCcosADCsinC552555由于DAC0,所以tanDAC1152.，所以cosDAC1sinDAC225sinDAC2.cosDAC11【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，OO为铅垂线(O在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1之间满足关系式h212a；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO的距离b(米)4013b6b.已知点B到OO的距离为40米.800（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价最低?【答案】（1）120米（2）OE20米【解析】【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）由题意得3k(万元)(k>0).问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价211|OA|2403640|OA|8040800|AB||OA||OB|8040120米（2）设总造价为f(x)万元，|OO|1802160，设|OE|x，401331f(x)k(160x6x)k[160(80x)2],(0x40)800240f(x)k(1601332326xx),f(x)k(xx)0x20(0舍去)8008080080当0x20时，f(x)0；当20x40时，f(x)0，因此当x=20时，f(x)取最小值，答：当OE20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.x2y218.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在43第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）M2,0或【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得AF1AF24，从而可求出△AF1F2的周长；（2）设Px0,0，根据点A在椭圆E上，且在第一象限，AF2F1F2，求出A1,点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设Mx1,y1，点M到直线AB的距离为d，由点O到直线AB的距离与S23S1，可推出d根据点到直线的距离公式，以及Mx1,y1满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.212,.773，根据准线方程得Q29，5x2y2【详解】（1）∵椭圆E的方程为143∴F11,0,F21,0由椭圆定义可得：AF1AF24.∴△AF1F2的周长为426（2）设Px0,0，根据题意可得x01.∵点A在椭圆E上，且在第一象限，AF2F1F2∴A1,32∵准线方程为x4∴Q4,yQ2∴OPQPx0,0x04,yQx04x0x0244，当且仅当x02时取等号.∴OPQP的最小值为4.（3）设Mx1,y1，点M到直线AB的距离为d.∵A1,3，F11,023x143∵点O到直线AB的距离为，S23S15∴直线AF1的方程为y∴S23S13131ABABd252∴d95∴3x14y139①x12y12∵1②432xx1217∴联立①②解得，.12y01y17∴M2,0或212,.77【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据S23S1推出d9是解答本题的关键.519.已知关于x的函数yf(x),yg(x)与h(x)kxb(k,bR)在区间D上恒有f(x)h(x)g(x)．)，求h(x)的表达式；（1）若fxx22x，gx x22x，D(，)，求k的取值范围；（2）若f(x) x2x1，g(x) klnx，h(x) kxk,D (0，42224t2(0 t≤2)，D m, n2,2，（3）若f(x) x2x，g(x) 4x8 ，h(x) 4ttx 3t 2求证：nm7．【答案】（1）hx2x；（2）k0,3；（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）求得fx与gx的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得hx的表达式.（2）先由hxgx0，求得k的一个取值范围，再由fxhx0，求得k的另一个取值范围，从而求得k的取值范围.（3）先由fxhx，求得t的取值范围，由方程gxhx0的两个根，求得nm的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有x22xkxbx22x对任意的xR恒成立.令x0，则0b0，所以b0.因此kxx22x即x2kx0对任意的xR恒成立，2所以2k0，因此k2.故hx2x.（2）令Fxhxgxkx1lnxx0，F10.又Fxk2x1.x若k0，则Fx在0,1上递增，在1,+¥()()上递减，则FxF10，即hxgx0，不符合题意.当k0时，Fxhxgx0,hxgx，符合题意.当k0时，Fx在0,1上递减，在1,+¥()()上递增，则FxF10，即hxgx0，符合题意.综上所述，k0.由fxhxxx1kxkxk1xk1022当xk10，即k1时，yx2k1xk1在(0,+¥2)为增函数，因为f0h0k10，故存在x00,，使fxhx0，不符合题意.k10，即k1时，fxhxx20，符合题意.2k120，即k1时，则需k14k10，解得1k3.当x2当x综上所述，k的取值范围是k0,3.（3）因为x2x4ttx3t2t4x8对任意x[m,n][2,2]恒成立，423422x42x24t3tx3t42t2对任意x[m,n][2,2]恒成立，等价于(xt)2x22tx3t220对任意x[m,n][2,2]恒成立.故x22tx3t220对任意x[m,n][2,2]恒成立令M(x)x22tx3t22，当0t21，8t280,1t1，此时nm.2t217，当1t22，8t280，但4x84ttx3t2t对任意的x[m,n][2,2]恒成立.等价于4x4ttx3t4t20对任意的x[m,n][2,2]恒成立.223423224x24t3tx3t24t220的两根为x1,x2，3t42t28则x1x2tt,x1x2，43所以nm=x1x22x1x224x1x2t65t43t28.令t,1,2，则nm3235238.2构造函数P5381,2，P3103331，所以1,2时，P0，P递减，PmaxP17.所以nmmax7，即nm7.【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列an(nN)的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有*Sn1Snan1成立，则称此数列为“λ–k”数列．1k1k1k（1）若等差数列an是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列an是“32”数列，且an＞0，求数列an的通项公式；3（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列an为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，【答案】（1）1（2）an1,n1n234,n2（3）01【解析】【分析】（1）根据定义得Sn+1Snan1，再根据和项与通项关系化简得an1an1，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得Sn+1Sn121213(Sn+1Sn)2，根据平方差公式化简得Sn+1=4Sn，求得Sn，即得an；3（3）根据定义得Sn+113Snan1，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满1313足的条件，解得结果【详解】（1）Sn+1Snan1an1an1Qa11an101（2）Qa0SSSnn1nn1Sn01212QSn+1Sn(Sn+(Sn+1Sn)2311111Sn)(Sn+12Sn2)(Sn+12Sn2)31211111(Sn+12Sn2)Sn+12=2Sn2Sn+1=4SnSn4n13122Sn+1SnS1a11，Sn4n1an4n14n234n2,n21,n1ann234,n2（3）假设存在三个不同的数列an为\"3\"数列.Sn+1Snan1(Sn+1Sn)33(Sn+1Sn)Sn+1Sn或(Sn+1Sn)(Sn+1SnSn+1Sn)323313Sn+1Sn或(31)Sn+123(1)Sn(2)Sn+1Sn033231313∵对于给定的，存在三个不同的数列an为\"3\"数列，且an022111,n1333an或(1)S3(1)S3(2)S3S301有两个不等的正根.n+1nn+1n0,n2(1)Sn+1(1)Sn(2)Sn+1Sn01可转化为33323231313(1)Sn+1Sn23323(31)(2)Sn+1Sn1331301，不妨设Sn1xx0，则Sn13(31)x2(32)x(31)01有两个不等正根，设fx(31)x2(32)x(31)01.①当1时，(32)24(31)20034，即01，此时f010，3(32)x对0，满足题意.32(1)②当1时，(32)24(31)20034，即1334，此时(32)f010，x对0，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.2(31)综上，01【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]a121.平面上点A(2,1)在矩阵M对应的变换作用下得到点B(3,4)．1b（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵M1．12   5a251【答案】（1）；（2）M.12b2     55【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数a,b的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）∵平面上点A2,1在矩阵M a    1对应的变换作用下得到点B3,41   b a    1 2 3∴141   b∴2a13a2，解得2b4b2（2）设M1m   n 2mc      2nd1   0c    d，则MM1m2c  n2d=0   1m252mc1∴2ndn10m52c0，解得n2d1c15d25∴M1215   5125     5【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点A(1,π3)在直线l:cos2上，点B(2,π6)在圆C:4sin上（其中0，02）．（1）求1，2的值（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．【答案】（1）14，22（2）(22,4)【解析】【分析】(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，1cos32,14，因为点B为直线6上，故其直角坐标方程为y33x，又4sin对应的圆的直角坐标方程为：x2y24y0，由y33x解得x0或x3，x2y24y0y0y1对应的点为0,0,3,1，故对应的极径为20或22.（2）cos2,4sin,4sincos2,sin21，[0,2),当5,，44时22；45当时220，舍；即所求交点坐标为当(22,),44【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.C．[选修4-5：不等式选讲]23.设xR，解不等式2|x1||x|4．2【答案】2,3【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】x12x2x4或x01x0或2x2x42x2x4232x1或1≤x≤0或0x所以解集为2,32【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答．．．．．．．时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=1BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．4【答案】（1）【解析】【分析】15239（2）1513（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连COQBCCD,BOODCOBD以OB,OC,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(1,0,0),C(0,2,0),D(1,0,0)E(0,1,1)uuuruuuruuuruuur115AB(1,0,2),DE(1,1,1)cosAB,DE1553从而直线AB与DE所成角的余弦值为1515（2）设平面DEC一个法向量为n1(x,y,z),n1DC0x2y0DC(1,2,0),nDE0xyz01ur令y1x2,z1n1(2,1,1)设平面DEF一个法向量为17171uurxy10nDF021DFDBBFDBBC(,,0),2n2(x1,y1,z1),4442nDE02x1y1z10uur令y17x12,z15n2(2,7,5)uruurcosn1,n26678113因此sin122391313【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）p1【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求pn，qn，即得递推关系，构造等比数列求得2pnqn，最后根据数学期望公式求结果.1271612,q1；p2,q2；（2）2pnqn2pn1+qn133272733131232,q1，333333131211227p2p1+q1+，3333333927231122222516q2p1+q10+3333333927.131212+qn1pn1+qn1，（2）pnpn13333392311223212qnpn1+qn1(1pn1qn1)qn1+，33333393212因此2pnqnpn1+qn1，333121从而2pnqn(2pn1+qn1),2pnqn1(2pn1+qn11)，333【详解】（1）p1即2pnqn1(2p1+q11)又Xn的分布列为11,2pq1.nn3n13nXnP0121pnqnqnpn故E(Xn)2pnqn11.3n【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.