2024年3月27日发(作者：泉州初中数学试卷答案解析)
2023年海南省高考数学三模试卷
一、单项选择题（共
8
小题）
.
1
．已知
z
＝（
1+2i
）
i
，则
|z|
＝（
A
．
B
．
）
C
．
3D
．
5
）
2
．已知集合
A
＝
{x∈Z|
﹣
2
≤
x
＜
2}
，
B
＝
{0
，
1}
，则下列判断正确的是（
A
．
B∈AB
．
A
∩
B
＝
∅C
．
A⊆BD
．
B⊆A
）
3
．已知，是不共线的非零向量，若（
2
﹣
k
）∥（
+2
），则实数
k
＝（
A
．﹣
4B
．
1C
．﹣
1D
．
2
4
．“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多．假设每个“臭皮匠”单独解
决某个问题的概率均为
0.6
，现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人
解决该问题的概率为（
A
．
0.6
）
C
．
0.8D
．
0.936
）
B
．
0.784
设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
3a
n
+S
n
﹣
2
＝
S
n+1
（
n
≥
3
），且
a
2
＝
1
，则
a
2021
＝（
5
．
a
3
＝
3
，
A
．
4041
6．已知
A．B．
B
．
4039C
．
2021
，则sinα＝（
C．
D
．
2019
）
D．
＝（
7．已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）﹣g（x）＝e
x
，则
A．B．C．D．
）
8
．直四棱柱
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
的所有棱长均相等，∠
ADC
＝
120
°，
M
是
BB
1
上一动点，当
A
1
M+MC
取得最小值时，直线
A
1
M
与
B
1
C
所成角的余弦值为（
A．B．C．
）
D．
二、多项选择题（共
4
小题）
.
9
．已知函数
f
（
x
）＝
|sinπx|
，下列说法正确的是（
A
．
f
（
x
）为偶函数
B
．
f
（
x
）的最小正周期为
2
C
．所有的整数都是
f
（
x
）的零点
D
．
f
（
x
）在
[0
，
1]
上单调递增
）
10
．已知正四面体
ABCD
的棱长为
a
，则（
A
．
AB
⊥
CD
B
．四面体
ABCD
的表面积为
C．四面体ABCD的体积为
a
2
a
3
a
）
D．四面体ABCD的外接球半径为
11
．从
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中（
A
．奇数有
60
个
B
．包含数字
6
的数有
30
个
C
．个位和百位数字之和为
6
的数有
24
个
D
．能被
3
整除的数有
48
个
）
12
．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心
F
为圆心
的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在
P
点处变轨进入以
F
为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月
飞行，最后在
Q
点处变轨进入以
F
为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径
为
R
，圆形轨道Ⅲ的半径为
r
，则（）
A
．椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为
2R
B
．椭圆轨道Ⅱ的焦距为
R
﹣
r
C
．若
r
不变，则
R
越大，椭圆轨道Ⅱ的短轴越短
D
．若
R
不变，则
r
越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越大
三、填空题（共
4
小题）
.
13
．任何疫苗在上市前都要经过反复试验和检测，以确保其安全有效，某种预防新冠肺炎的
疫苗在
5
个国家进行临床试验，统计得到的疫苗有效率分别为
95%
，
94%
，
69%
，
91%
，
86%
，则这组数据的平均数为
14．双曲线
．
，则b＝，过双曲线的右焦点F作＝1（b＞0）的离心率为
直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为
A
，设
O
为坐标原点，则
|OA|
＝
15．已知m＞0，n＞0，m+n＝1，则的最小值为．
的最小值为
．
16．已知点P（a，b）为曲线y＝ln（2x+1）上的一个动点，则
四、解答题：共
70
分
.
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
.
．
17．在①b+c＝11，②cosB＝，③sinC＝3sinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题
中，若问题中的三角形存在，求
b
和
c
的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△
ABC
，它的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
a
＝
7
，
bcosA
＝
4
，
_____
？
18
．已知等差数列
{a
n
}
满足
a
2
+a
3
＝
11
，
a
5
﹣
a
3
＝
6
．
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列
{b
n
}
满足
b
2
＝
a
2
，则
{b
n
}
前
7
项之和与数列
{a
n
}
的第几项相等？
b
3
＝
a
6
，
参考数据：
4
6
＝
4096
，
4
7
＝
16384
．
19
．某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环
节应聘者要回答
3
道题，第一题为教育心理学知识，答对得
2
分，答错得
0
分，后两题
为学科专业知识，每道题答对得
4
分，答错得
0
分．
（Ⅰ）若一共有
1000
人应聘，他们的工作经历评分
X
服从正态分布
N
（
63
，
13
2
），
76
分及以上达标，求进入面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；
（Ⅱ）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题
正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩
Y
的分布列及数学期望．
附：若随机变量
X
～
N
（
μ
，δ
2
），则
P
（
μ
﹣δ＜
X
＜
μ+
δ）＝
0.6827
，
P
（
μ
﹣
2
δ＜
X
＜
μ+2
δ）＝
0.9545
，
P
（
μ
﹣
3
δ＜
X
＜
μ+3
δ）＝
0.9973
．
20
．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体
PABC
中，
PA
⊥平面
ABC
，
AC
＝
BC
，
D
是棱
AB
的中点．
（Ⅰ）证明：并判断四面体
PACD
是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只
CD
⊥
PB
．
需写出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若四面体
PABC
是鳖臑，且
AP
＝
AB
＝
2
，求二面角
A
﹣
PB
﹣
C
的余弦值．
21
．已知直线
y
＝
2x
与抛物线
C
：
y
2
＝
2px
（
p
＞
0
）在第一象限内交于点
P
，点
P
到
C
的准
线的距离为
2
．
（Ⅰ）求抛物线
C
的方程；
（Ⅱ）过点
P
且斜率为负的直线交
C
于点
A
，点
A
与
AP
垂直的直线交
C
于点
B
，且
A
，
B
，
P
不重合，求点
B
的纵坐标的最小值．
22．已知函数f（x）＝的一个极值点为x＝1．
（Ⅰ）求
a
的值，并说明
x
＝
1
是
f
（
x
）的极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）函数
g
（
x
）＝
4e
m
﹣
2
﹣
m
2
f
（
x
）（
m
为常数且
m
＞
0
），讨论
g
（
x
）的零点个数．
参考答案
一、单项选择题（共
8
小题）
.
1
．已知
z
＝（
1+2i
）
i
，则
|z|
＝（
A
．
B
．
）
C
．
3D
．
5
解：
z
＝（
1+2i
）
i
＝﹣
2+i
，
所以
故选：
B
．
2
．已知集合
A
＝
{x∈Z|
﹣
2
≤
x
＜
2}
，
B
＝
{0
，
1}
，则下列判断正确的是（
A
．
B∈AB
．
A
∩
B
＝
∅C
．
A⊆B
）
．
D
．
B⊆A
解：∵
A
＝
{
﹣
2
，﹣
1
，
0
，
1}
，
B
集合的元素都在集合
A
中，∴
B⊆A
．
故选：
D
．
3
．已知，是不共线的非零向量，若（
2
﹣
k
）∥（
+2
），则实数
k
＝（
A
．﹣
4B
．
1C
．﹣
1D
．
2
）
解：，是不共线的非零向量，且（
2
﹣
k
）∥（
+2
），
所以
2
×
2
﹣（﹣
k
）×
1
＝
0
，
解得
k
＝﹣
4
．
故选：
A
．
4
．“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多．假设每个“臭皮匠”单独解
决某个问题的概率均为
0.6
，现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人
解决该问题的概率为（
A
．
0.6
）
C
．
0.8D
．
0.936B
．
0.784
解：根据题意，三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，都没有解决问题的概率
P
1
＝（
1
﹣
0.6
）（
1
﹣
0.6
）（
1
﹣
0.6
）＝
0.064
，
则至少有一人解决该问题的概率
P
＝
1
﹣
P
1
＝
0.936
，
故选：
D
．
设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
3a
n
+S
n
﹣
2
＝
S
n+1
（
n
≥
3
），且
a
2
＝
1
，则
a
2021
＝（
5
．
a
3
＝
3
，
A
．
4041B
．
4039C
．
2021D
．
2019
）
解：∵
3a
n
+S
n
﹣
2
＝
S
n+1
（
n
≥
3
），
∴
3a
n
＝
S
n+1
﹣
S
n
﹣
2
＝
a
n+1
+a
n
+a
n
﹣
1
，
∴
2a
n
＝
a
n+1
+a
n
﹣
1
（
n
≥
3
），
∵
a
2
＝
1
，
a
3
＝
3
，∴
a
4
＝
5
，
a
4
﹣
a
3
＝
a
3
﹣
a
2
＝
2
，
∴数列
{a
n
}
从第二项开始，是以
a
2
＝
1
，公差为
2
的等差数列，
∴
a
2021
＝
a
2
+2019d
＝
1+4038
＝
4039
，
故选：
B
．
6．已知
A．
解：因为
B．
，
，则sinα＝（
C．
）
D．
所以＝，整理可得cos（）＝，
因为
所以sin（
则sinα＝sin[（
﹣
故选：
A
．
＝
）＝
，可得∈（0，），
＝，
）﹣]＝sin（）cos﹣cos（）sin＝
．
7．已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）﹣g（x）＝e
x
，则
A．B．C．D．
＝（）
解：根据题意，
f
（
x
）﹣
g
（
x
）＝
e
x
，则
f
（
1
）﹣
g
（
1
）＝
e
，
①
，
f（﹣1）﹣g（﹣1）＝﹣f（1）﹣g（1）＝e
1
＝，变形可得f（1）+g（1）＝﹣，②
﹣
联立①②可得：f（1）＝，g（1）＝﹣，
则有＝﹣＝，
故选：
C
．
8
．直四棱柱
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
的所有棱长均相等，∠
ADC
＝
120
°，
M
是
BB
1
上一动点，当
A
1
M+MC
取得最小值时，直线
A
1
M
与
B
1
C
所成角的余弦值为（
A．
解：如图，
B．C．
）
D．
设直四棱柱
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
2
，
当
A
1
M+MC
取得最小值时，
M
为
BB
1
的中点，
连接
A
1
D
，则
A
1
D
∥
B
1
C
，则∠
DA
1
M
为直线
A
1
M
与
B
1
C
所成角，
此时，，，
∵∠
ADC
＝
120
°，∴△
ABD
为等边三角形，得
BD
＝
2
，
∴，则△A
1
MD为等腰三角形，可得cos．
故选：
A
．
二、多项选择题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求全部选对的得
5
分，部分选对的得
3
分有选错的得
0
分
9
．已知函数
f
（
x
）＝
|sinπx|
，下列说法正确的是（
A
．
f
（
x
）为偶函数
B
．
f
（
x
）的最小正周期为
2
C
．所有的整数都是
f
（
x
）的零点
D
．
f
（
x
）在
[0
，
1]
上单调递增
解：
f
（
x
）的定义域为
R
，且
f
（﹣
x
）＝
|sin
（﹣
πx
）
|
＝
|sinπx|
＝
f
（
x
），
∴
f
（
x
）为偶函数，
f
（
x
）的最小正周期为
1
，
∵
f
（
k
）＝
|sinkπ|
＝
0
，
k∈Z
，
∴所有的整数都是
f
（
x
）的零点，
）
f（x）在
故选：
AC
．
上单调递增，在上单调递减，∴f（x）在[0，1]上没有单调性．
10
．已知正四面体
ABCD
的棱长为
a
，则（
A
．
AB
⊥
CD
B
．四面体
ABCD
的表面积为
C．四面体ABCD的体积为
a
2
a
3
a
）
D．四面体ABCD的外接球半径为
解：
A
，如图，取
CD
中点
M
，连接
BM
，
AM
，可得
CD
⊥
BM
，
CD
⊥
AM
，即可得
CD
⊥
面
ABM
，即有
CD
⊥
AB
，故正确；
B、∵正四面体ABCD的各棱长为a，∴正四面体ABCD的表面积＝4×
正确；
C、如图，设A在底面BCF的投影为H，则BH＝
AH＝＝，四面体ABCD的体积为
，
＝，故错；
a
2
＝．故
D
、将正四面体
ABCD
，补成正方体，则正四面体
ABCD
的棱为正方体的面上对角线，
∵正四面体ABCD的棱长为a，∴正方体的棱长为，正四面体的外接球，就是以
正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，所以
正方体的对角线为2R，2R＝
故选：
ABD
．
，∴R＝a．故正确．
11
．从
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中（
A
．奇数有
60
个
）
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