2024年3月9日发(作者：数学试卷含答案七下)

极坐标与参数方程知识点

（一）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即

xf(t)

yf(t)并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．

（二）常见曲线的参数方程如下：

1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：

xx0tcosyy0tsin （t为参数）

其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．

根据t的几何意义，有以下结论．

1．设○A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝tBtA＝(tBtA)24tAtB．

2．线段AB的中点所对应的参数值等于○2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：

tAtB．

2xx0rcosyy0rsin （为参数）

3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：

xacosxbcos （为参数） （或 ）

ybsinyasin中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程xx0acos,(为参数）

yybsin.04．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：

1

xasecxbtg （为参数） （或 ）

ybtgyasec5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：

x2pt2 （t为参数，p＞0）

y2pt直线的参数方程和参数的几何意义

xx0tcos过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是

 （t为参数）．

yy0tsin（三）极坐标系

1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋2k)或（，＋，(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则(2k1)）除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜2或<0，＜≤等．

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．

3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：

⑴0 ⑵⑷OM图1xaa ⑶

coscosaaa ⑸ ⑹

cos()sinsin2

M（ ， ）M0MaOxO图10aO图2acos图3acosM（ ， ）MaOMOaaON(a,)p图4图5asinasin图6acos()4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a0)：

⑴a ⑵2acos ⑶2acos

⑷2asin ⑸

2asin ⑹2acos()

aOMMxMx

OxOaa图1aMa图22acos图32acosOxMMx

aa(a,)O图42asin

图52asinOx图62acos()3

、极坐标与直角坐标互化公式：

yNx( , )MyH2xcosOx2y2ysintanyx(x0)（直极互化 图）

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