常见导数公式

2024年1月10日发(作者：山东高考三模数学试卷真题)

常见导数公式

常见导数公式包括：

① C\'=0（C为常数函数）；

② (x^n)\'= nx^(n-1)（n∈Q*）；

③ (sinx)\' = cosx，(cosx)\' = - sinx，(tanx)\'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2，(cotx)\'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2，(secx)\'=tanx·secx，(cscx)\'=-cotx·cscx；

④ (sinhx)\'=hcoshx，(coshx)\'=-hsinhx，(tanhx)\'=1/(coshx)^2=(sechx)^2，(coth)\'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2，(sechx)\'=-tanhx·sechx，(cschx)\'=-cothx·cschx；

⑤ (e^x)\' = e^x，(a^x)\' = a^xlna（ln为自然对数），(Inx)\' =

1/x（ln为自然对数），(logax)\' =(xlna)^(-1)，(a>0且a不等于1)，(x^1/2)\'=[2(x^1/2)]^(-1)(1/x)\'=-x^(-2)。

此外，还有复合函数的求导公式：

①(u±v)\'=u\'±v\'；

②(uv)\'=u\'v+uv\'；

③(u/v)\'=(u\'v-uv\')/ v^2.

高中阶段不需要掌握的求导公式包括：

arcsinx)\'=1/(1-x^2)^1/2，(arccosx)\'=-1/(1-x^2)^1/2，(arctanx)\'=1/(1+x^2)，(arccotx)\'=-1/(1+x^2)，(arcsecx)\'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)，(arccscx)\'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)，(arsinhx)\'=1/(x^2+1)^1/2，(arcoshx)\'=1/(x^2-1)^1/2，(artanhx)\'=1/(x^2-1) (|x|1)，(arsechx)\'=1/(x(1-x^2)^1/2)，(arcschx)\'=1/(x(1+x^2)^1/2)。

另外，还有一些极限公式：

1、x→0，sin(x)／x →1；

2、x→0，（1 + x）^（1／x）→e；

x→∞。（1 + 1／x）^（1/x）→ 1.

需要注意的是，其中e≈x。是一个无理数。

函数极限的运算法则

如果lim f(x)和lim g(x)都存在，且lim f(x) = A，lim g(x)

= B，则以下运算法则成立：

线性运算：

加减：

lim ( f(x) ± g(x) )= A ± B

数乘：

lim( c* f(x)）= c * A（其中c是常数）

非线性运算：

乘除：

lim( f(x) * g(x))= A * B

lim( f(x) / g(x)) = A / B (其中B≠0 )

幂：

lim( f(x) ) ^n = A ^ n

导数公式及证明

下面列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程：

1.y=c（c为常数） y\'=0

2.幂函数 y=x^n。y\'=nx^(n-1)（n∈Q*） 熟记1/X的导数

3.指数函数 (1) y=a^x。y\'=a^xlna；(2) 熟记y=e^x y\'=e^x唯一一个导函数为本身的函数

4.对数函数 (1) y=logaX。y\'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)；熟记y=lnx。y\'=1/x

5.三角函数 y=(sinx y)\'=cosx。y=(cosx y)\'=-sinx。y=(tanx

y)\'=1/(cosx)^2.y=(cotx y)\'=-1/(sinx)^2

6.反三角函数 y=(arcsinx y)’=1/√1-x^2.y=(arccos y)’=-1/√1-x^2.y=(arctanx y)’=1/(1+x^2)。y=(arccotx y)’=-1/(1+x^2)

在推导过程中需要用到以下几个常见的公式：

1.y=f[g(x)],y\'=f\'[g(x)]·g\'(x)（其中f\'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g\'(x)中把x看作变量）

2.y=u/v,y\'=(u\'v-uv\')/v^2

3.原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y\'=1/x\'证明：显然，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0.用导数的定义也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0.

6.同样地，我们可以推导出 y=cosx 时 y\'=-sinx 的导数公式。

7.对于 y=tanx=sinx/cosx，我们可以通过求导得到 y\' =

1/cos^2x。

8.对于 y=cotx=cosx/sinx，我们可以通过求导得到 y\' = -1/sin^2x。

9.对于 y=arcsinx，我们可以通过求导得到 x\'=cosy，y\'=1/x\'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2.

10.对于 y=arccosx，我们可以通过求导得到 x\'=-siny，y\'=1/x\'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2.

11.对于 y=arctanx，我们可以通过求导得到 x\'=1/cos^2y，y\'=1/x\'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2.

12.对于 y=arccotx，我们可以通过求导得到 x\'=-1/sin^2y，y\'=1/x\'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2.

另外，在求解双曲函数shx、chx、thx以及反双曲函数arshx、archx、arthx等较复杂的复合函数的导数时，我们可以通过查阅导数表和运用公式4.y=u土v,y\'=u\'土v\'、5.y=uv,y=u\'v+uv\'来快速求得结果。

对于幂函数y=x^n，我们可以通过取自然对数并求导的方式得到导数公式y\'=n*x^(n-1)，对于指数函数y=a^x，我们可以通过直接求导得到导数公式y\'=a^xlna。

需要注意的是，导数本质上是曲线某一点的斜率，表示函数值的变化率。当分母趋于零时，导数可能不存在，但是当分子趋于某个数时，比值会很大，可以认为是无穷大。因此，在求导时需要注意分子和分母都可能趋于零。

此外，我们需要理解极限的概念，它是一个可望不可及的概念，可以无限接近但永远无法到达。同时，导数也是一个比值。最后，列出三角函数公式如下：

Sin2α=2sinαcosα

Tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))

Cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

这些字符在数学研究中起到重要作用，不要轻视它们。下面介绍三倍角公式、半角公式、万能公式、积化和差公式、和差化积公式以及其他公式。

三倍角公式：

Sin3α=3sinα-4sin^3(α)

Cos3α=4cos^3(α)-3cosα

Tan3α=tan(α)*(-3+tan^2(α)^2)/(-1+3*tan^2(α)^2)

半角公式：

Sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

Cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

Tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

XXX(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

万能公式：

Sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

Cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

Tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

积化和差公式：

Sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

Cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

Cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

Sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式：

Sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

Sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

Cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

Cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

其他公式：

Sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

Cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0

Sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

XXX(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

此外，还需要掌握以下导数公式：

① C\'=0(C为常数函数)；

② (x^n)\'= nx^(n-1) (n∈Q*)；

记住1/X的导数。

③ 正弦函数的导数为余弦函数；

余弦函数的导数为负正弦函数；

正切函数的导数为1除以余弦函数的平方，即正割函数的平方，也可以表示为1加上正切函数的平方；

余切函数的导数为1除以正弦函数的平方，即余割函数的平方，也可以表示为1加上余切函数的平方；

正割函数的导数为正切函数乘以正割函数；

余割函数的导数为负余切函数乘以余割函数；

反正弦函数的导数为1除以1减去自变量的平方的平方根；

反余弦函数的导数为负1除以1减去自变量的平方的平方根；

反正切函数的导数为1除以1加上自变量的平方；

反余切函数的导数为负1除以1加上自变量的平方；

反正割函数的导数为1除以自变量绝对值乘以自变量平方减1的平方根；

反余割函数的导数为负1除以自变量绝对值乘以自变量平方加1的平方根。

④ 双曲正弦函数的导数为双曲余弦函数；

双曲余弦函数的导数为双曲正弦函数的相反数；

双曲正切函数的导数为1除以双曲余弦函数的平方，即双曲正割函数的平方；

双曲余切函数的导数为负1除以双曲正弦函数的平方，即双曲余割函数的平方的相反数；

双曲正割函数的导数为双曲正切函数乘以双曲正割函数；

双曲余割函数的导数为双曲余切函数乘以双曲余割函数；

反双曲正弦函数的导数为1除以自变量平方加1的平方根；

反双曲余弦函数的导数为1除以自变量平方减1的平方根；

反双曲正切函数的导数为1除以自变量平方减1，自变量绝对值小于1；

反双曲余切函数的导数为1除以自变量平方减1，自变量绝对值大于1；

反双曲正割函数的导数为1除以自变量乘以自变量平方减1的平方根；

反双曲余割函数的导数为1除以自变量乘以自变量平方加1的平方根。

⑤ 指数函数的导数为自身；

以a为底的指数函数的导数为以e为底的指数函数的导数乘以lna；

自然对数函数的导数为1除以自变量；

以a为底的对数函数的导数为1除以自变量乘以lna，其中a大于0且不等于1；

平方根函数的导数为1除以2倍自变量的平方根。