2023年12月2日发(作者：小学数学试卷的优点与缺点)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

一、选择题

1.设集合M{0|0x4}，N{x|13x5}，则MN（ ）

A.{x|0x13}

B.{x|13x4}

C.{x|4x5}

D.{x|0x5}

答案：

B

解析：

由图知，MN{x|13x4}.

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

答案：

C

解析：

A.低于4.5万元的比率估计为0.0210.0410.066%，正确.

B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.023)10.110%，正确.

C.平均值为(30.0240.0450.160.1470.280.290.1100.1110.04120.02130.02140.02)17.68万元，不正确.

D.4.5万到8.5万的比率为0.110.1410.210.210.64，正确.

3.已知(1i)2z32i，则z（ ）

A.132i

B.132i

C.32i

D.32i

答案：

B

解析：

z32i32(1i)2i2i23i2132i.

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L5lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（10101.259）（ ）

A.1.5

B.1.2

C.0.8

D.0.6

答案：

C

解析：

代入L5lgV，知lgV4.950.1，故V100.1110100.8.

5.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为（ ）

A.72

B.132

C.7

D.13

答案：

A

解析：

记r1|PF1|，r2|PF2|，由r13r2及r1r22a，得r13a，r2a，又由余弦定理知r221r222r1r2cosF21PF24c，得7a24c，从而eca72.

6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G，该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A. B.C.D.答案：

D

解析：

由题可得直观图，如下图.

故选D.

7.等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q0，乙：{Sn}是递增数列，则（ ）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案：

B

解析：

若q1，则Snna1.①a10，则{Sn}单调递增；②a10，则{Sn}单调递减，∴甲乙，又若{Sn}单调递增，则Snn1Sn恒成立，∴an10a1q0恒成立，∴a10，q0，∴甲乙.综上：甲乙，选B.

8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位:m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45，ABC60.由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100:由B点测得A点的仰角为45,则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为（ ）（31.732）

A.346

B.373

C.446

D.473

答案：

B

解析：

过C作BB\'的垂线交BB\'于点M，过B作AA\'的垂线交AA\'于点N，

由题意得BM100，BCM15，ABN45，即CM100tan15B\'C\'.

所以

100BNBABCsin45tan1522sin75sin75502sin15，

所以

ANBN502502sin1562273.得A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为273100373，4故选B。

9.若a(0,2)，tan2cos2sin，则tan（ ）A.1515

B.55

C.53

D.153

答案：

A

解析：

tan2cos2sin.

tan22tan2sincos1tan2cos2sin2cos2sin

∴2sin(2sin)cos2sin2

∴4sin2sin2cos2sin212sin2

∴sin14.

又∵(0,2).如图，tan1151515.

10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）

A.13

B.25

C.23

D.45

答案：

C

解析：

把位置依次标为1到6.

总数：先排2个0，有C2615种，再排4个1，有一种，故共有15种.

满足题设的排法：先排4个1，有1种.其间有5个空，选2个空插入有C2510种.故P101523.

满足题设排法的另一种解释：0的位置有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,6)，共10种.

11.已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，ACBC1，则三棱锥OABC的体积为（ ）

A.212

B.312

C.24

D.34

答案：

A

解析：

记O为A,B,C所在圆面的圆心，则OOABC.

又AB2，所以

OOOA2AO212(2222)2.

所以VOABC13SOO1122ABC3211212.故选A.

12.设函数f(x)的定义域为R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数，当x[1,2]时，f(x)ax2b.若f(0)f(3)6，则f(92)（ ）

A.94

B.32 C.74

D.52

答案：

D

解析：

∵f(x1)为奇函数，∴f(x)关于(1,0)中心对称，∴f(1)0.

因f(x2)为偶函数，故f(x)关于x2轴对称，周期为4.

∴f(0)f(2)，f(3)f(1).即f(1)f(2)6，f(2)6.

ab0，4ab6a2.

b2故

f(92)f(12)f(32)(29542)2.

故选D.

二、填空题

13.曲线y2x1x2在点(1,3)处的切线方程为 .

答案：

y5x2.

解析：

f(x)5(x2)2，f(1)5，f(1)313.

切线：y35(x1)y5x2.

14.已知向量a(3,1)，b(1,0)，cakb.若ac，则k .

答案：

103

解析：

c(3k,1)，ac03(3k)10.所以k103.

15.已知Fx2y21，F2为椭圆C:1641的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ||F1F2|，则四边形PFQF12的面积为 .

答案：

8

解析：

如图，由|PQ||F1F2|及椭圆对称性可知，四边形PFQF12为矩形.

设|PF|PFmn8①①2②1|m，2|n，则m2n2|F1F2|248②，2得2mn16.所以，四边形PFQF12面积为mn8.

16.已知函数f(x)2cos(x)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)f(74))(f(x)f(43))0的最小正整数x为 .

答案：

2

解析： 由图可知，f(x)的最小正周期T43(13123)，∴2.

∵f(1312)2，∴2cos(136)2，∴62k，kZ.

∴f(x)2cos(2x6)，∴f(43)0，f(74)1.

∴(f(x)1)(f(x)0)0f(x)0或f(x)1.

结合图像可知，满足f(x)1的离y轴最近的正数区间(0,4)，无正数；

f(x)0的离y轴最近的正数区间为(53,6)，最小正整数x2.

三、解答题

（1）必考题

17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，

答案：

见解析

解析：

（1）由表格数据得：

甲机床生产的产品中一级品的频率为150200=34；

乙机床生产的产品中一级品的频率为12020035；

（2）由题意k2n(adbc)2400(ab)(cd)(ac)(bd)(1508012050)220020027013010.2566.635.

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

18.已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列{an}是等差数列：②数列{Sn}是等差数列：③a23a1.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，①，③②

答案：

见解析

解析：

①，③②,证明：设等差数列{an}的公差为d.因为a23a1，所以a1d3a1，

则d2an(n1)1.所以Snna12dna1n(n1)a1n2a1，所以

SnSn1na1(n1)a1a1.所以{Sn}是首项为a1，公差为a1的等差数列.

19.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA1B1.

（1）证明：BFDE； （2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

答案：

见解析；

解析:

（1）

连A1E，取BC中点M连B1M，EM，

由EM为AC，BC的中点，则EM//AB，

又AB//A1B1，A1B1//EM，则A1B1ME共面，故DE面A1B1ME.

又在侧面BCC1B1中FCBMBB1，则BFMB1

BFA1B1又MB1A1B1B1BF面A1B1ME，则BFDE.

MB1,A1B1面A1B1ME

（2）BFA2221B1，则BFABAFBFAB9.

又AF2FC2AC2AC28则ABBC.

如图以B为原点建立坐标轴，则B(0,0,0)，C(0,2,0)，A(2,0,0)，E(1,1,0)，F(0,2,1).

设DB1t则D(t,0,2),0t2.

则面BCC1B1法向量为m(1,0,0)，对面DEF设法向量为n(x,y,z)，则

EF(1,1,1)，EFn01,2)n(3,1t,2t)

ED(t1,EDn0则cosm,n332(1t)2(2t)232t22t14.

要求最小正弦值则求最大余弦值.

当t12时二面角余弦值最大，则B11D2时二面角正弦值最小.

20.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l:x1交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点M(2,0)，且M与l相切.

（1）求C，M的方程；

（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与M相切，判断直线A2A3，与M的位置关系，并说明理由.

答案：

见解析；

解析：

（1）C:y2x，M:(x2)2y21 .

（2）设A1(a2,a)，A22(b,b)，A3(c2,c).

l1A1A2:yaab(xa2)x(ab)yab0，所以

dr|2ab|1(ab)21①.

l1A1B3:yaac(xa2)x(ac)yac0，所以

dr|2ac|1(ac)21②.

所以b，c是方程|2ax|1(ax)21(a21)x22axa230的两根.又lA2A3:x(bc)ybc0，所以

3a2d|2bc||22||a21(bc)2a11(2a1|a42a211.

a21)所以dr，即直线A2A3与M相切.

0且a1，函数f(x)xa21.已知aax(x0).

（1）当a2时，求f(x)的单调区间；

（2）若曲线yf(x)与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

答案：

见解析；

解析：

1）a2时，f(x)x2（2x，

xx2f(x)2x22ln2xx(2xln2)ln2x(2ln2x)(2x)22x2x.

当x(0,2ln2)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(2ln2,)时，f(x)0，f(x)单调递减.

故f(x)在(0,2ln2)上单调递增，在(2ln2,)上单调递减.

（2）由题知f(x)1在(0,)有两个不等根；

f(x)1xaaxalnxxlnalnxxlnaa.

令g(x)lnx1xg(x)lnx，g(x)在(0,e)单调递增，在(e,)单调递减.

，x2又g(1)01，g(e)ex,g(x)0.

，所以0lnaa1ea1且ae.

四、选考题（2选1）

22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos.

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足AP2AM，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.

答案：

见解析

解析：

（1）222cosx2y222x(x2)2y22.

（2）设P(x,y)，M(x0,y0)，由

AP2AMOM22APOA22(x1,y)(1,0)(2222x21,2y).

又M在C上，所以

(22x3221)2(22y)22(x23)2y24.

则C1为(32,0)为圆心，半径为2的圆，所以C1Cr1r2

所以，两圆为内含关系，所以，圆C与圆C1无公共点.

23.已知函数f(x)|x2|，g(x)|2x3||2x1|.

（1）画出yf(x)和yg(x)的图象；

（2）若f(xa)g(x)，求a的取值范围.

答案：

见解析；

解析：

4,x32（1）f(x)x2,x2；312x,x2g(x)4x2,2x2

4,x12

（2）当a0时，恒不满足，此时f(2aa)0g(2a)4；

当a0时，f(xa)g(x)恒成立，必有

f(12a)g(13112)|a2|4a2.

当a112时，

x(,32)时，g(x)0，f(x)0，所以f(x)g(x).

x[32,12]时，g(x)4x2，f(x)xa2，F(x)F(12)a1120.

x(12,)时，f(x)xa2，g(x)4.

F(x)f(x)g(x)xa6，所以F(x)F(12)0.

所以，a[112,).

令F(x)f(x)g(x)3xa4，所以


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