近五年全国高中数学联赛选编——立体几何、计数、概率

2023年12月10日发(作者：江苏高三质检数学试卷)

近五年全国高中数学联赛选编——立体几何、计数、概率

2015.8.19

1. （2010年 一试3）双曲线x2y21的右半支与直线x100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .

9800 提示：由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设yk(k1,2,,99)与双曲线右半支于Ak,交直线x100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为

(99k)99494851.

k199又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为24851989800.

2.（2010年 一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .

12217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为

7112()2()4

2521711443. （2010年 一试7）正三棱柱ABCA1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角BA1PB1,则sin .

10 提示：解法一：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，OC所在直线为y轴，4建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则B(1,0,0),B1(1,0,2),A1(1,0,2),P(0,3,1)，从而，BA,3,1),B1A1(2,0,0),B1P(1,3,1).

1(2,0,2),BP(1设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量是m(x1,y1,z1)、n(x2,y2,z2)，则

mBA12x12z10,

mBPx13y1z10,nB1A12x20,

nB1Px23y2z20,由此可设

zA1C1B1PAOCBxym(1,0,1),n(0,1,3)，所以mnmcons，即

第

1

页 总结 趋势 提高！ 322coscos10.

46.

4所以

sinA1解法二：如图，PCPC1,PA1PB .

C1设A1B与AB1交于点O, 则OA1OB,OAOB1,A1BAB1 .

EB1OAP因为 PAPB1,所以 POAB1,从而AB1平面PA1B .

过O在平面PA1B上作OEA1P,垂足为E.

连结B1E,则B1EO为二面角BA1PB1的平面角.设AA12,则易求得PBPA15,A1OB1OCB2,PO3.

5OE,OE65. 在直角PA1O中，A1OPOA1POE,即

23又

B1O2,B1EB1O2OE22645.

55B1O210.

B1E4545sinsinB1EO

4. （2010年 一试8）方程xyz2010满足xyz的正整数解（x,y,z）的个数是 .

2336675 提示：首先易知xyz2010的正整数解的个数为

C200920091004.

把xyz2010满足xyz的正整数解分为三类：

（1）x,y,z均相等的正整数解的个数显然为1；

（2）x,y,z中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；

(3)设x,y,z两两均不相等的正整数解为k.

易知

1310036k20091004，

所以

6k20091004310031

200610052009321200610052004，

即

k1003335334335671.

第

2

页 总结 趋势 提高！ 从而满足xyz的正整数解的个数为

11003335671336675.

5. （2011年 一试5）现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）

15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：

1（1）有一个项目有3人参加，共有C735!C55!3600种方案；

1（2）有两个项目各有2人参加，共有(C72C52)5!C525!11400种方案；

2所以满足题设要求的方案数为36001140015000．

6. （2011年 一试6）在四面体ABCD中，已知ADBBDCCDA60，ADBD3，CD2，则四面体ABCD的外接球的半径为 ．

3. 提示：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P,M分别为AB,CD的中点，则N在DP上，且ONDP，OMCD．

因为CDACDBADB60，设CD与平面ABD所成角为，可求得cos1223CD1,DNDP33．

23321313,sin23．

在△DMN中，DM由余弦定理得

C

M

O

D

N

A

P

B

MN212(3)22132，

故MN2．四边形DMON的外接圆的直径

ODMNsin2233．

故球O的半径R3．

7. （2011年 一试8）已知anCn3620015. 提示：anCn200200n1(n1,2,,95)，则数列{an}中整数项的个数为 ．

2n3200n324005n6．

200n4005n均为整数，从而6|n4．

,36200n4005n和均为非负整数，所以an为整数，共有63要使an(1n95) 为整数，必有当n2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，第

3

页 总结 趋势 提高！ 14个．

当n86时，a86C8633825，在C86200200200!中，200!中因数2的个数为

86!114!2002002002002002002002222324252627197，

同理可计算得86中因数2的个数为!中因数2的个数为82，114!中因数2的个数为110，所以C86200197821105，故a86是整数．

当n92时，a92C92336210，在C92200200200!中，同样可求得92!中因数2的个数为88,108!中因数292!108!的个数为105,故C86中因数2的个数为197881054，故a92不是整数．

200因此，整数项的个数为14115．

8. （2012年 一试8）

9. （2012年 一试8）

第

4

页 总结 趋势 提高！ 10. （2012年 一试4）

11. （2013年 一试6）

12. （2013年 一试8）

第

5

页 总结 趋势 提高！

13. （2014年 一试5）

14. （2014年 一试8）

15. （2014年 一试8）

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6

页 总结 趋势 提高！ 第

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总结 趋势 提高！